应用随机过程
1、 随机过程简介
随机过程这一学科最早起源于对物理学的研究，如吉布斯（美国物理化学家、数学物理学家）、玻尔兹曼（奥地利物理学家）、庞加莱（法国数学家）等人对统计力学的研究，及后来爱因斯坦、维纳(Wiener，美国数学家，控制论的创始人)、莱维(Levy，法国数学家)等人对布朗运动的开创性工作。1907年前后，马尔可夫(Markov)研究了一系列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链。1923年维纳给出布朗运动的数学定义，直到今日这一过程仍是重要的研究课题。随机过程一般理论的研究通常认为开始于20世纪30年代。1931年，柯尔莫哥洛夫发
表
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了《概率论的解析方法》，1934年辛饮发表了《平稳过程的相关理论》，这两篇著作奠定了马尔可夫过程与平稳过程的理论基础。1953年，杜布出版了名著《随机过程论》，系统且严格地叙述了随机过程基本理论。一般认为，随机过程整个学科的理论基础是由柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）和杜布(Doob)奠定的。
第一章 随机过程的基本概念
一、随机过程的定义
例1：医院登记新生儿性别，0表示男，1表示女，Xn表示第n次登记的数字，得到一个序列X1 ， X2 ， ···，记为{Xn，n=1,2, ···}，则Xn 是随机变量，而{Xn，n=1,2, ···}是随机过程。
例2：在地震预报中，若每半年统计一次发生在某区域的地震的最大震级。令Xn 表示第n次统计所得的值，则Xn 是随机变量。为了预测该区域未来地震的强度，我们就要研究随机过程{Xn，n=1,2, ···}的统计规律性。
例3：一个醉汉在路上行走，以概率p前进一步，以概率1-p后退一步（假设步长相同）。以X(t)记他t时刻在路上的位置，则{X(t), t
0}就是（直线上的）随机游动。
例4：乘客到火车站买票，当所有售票窗口都在忙碌时，来到的乘客就要排队等候。乘客的到来和每个乘客所需的服务时间都是随机的，所以如果用X(t)表示t时刻的队长，用Y(t)表示t时刻到来的顾客所需等待的时间，则{X(t), t
T}和{Y(t), t
T}都是随机过程。
定义：设给定参数集合T，若对每个t
T, X(t)是概率空间
上的随机变量，则称{X(t), t
T}为随机过程，其中T为指标集或参数集。
，E称为状态空间，即X(t)的所有可能状态构成的集合。
例1：E为{0,1}
例2：E为[0, 10]
例3：E为
例4：E都为
注：（1）根据状态空间E的不同，过程可分为连续状态和离散状态，例1，例3为离散状态，其他为连续状态。
（2）参数集T通常代表时间，当T取R, R+, [a,b]时，称{X(t), t
T}为连续参数的随机过程；当T取Z, Z+时，称{X(t), t
T}为离散参数的随机过程。
（3）例1为离散状态离散参数的随机过程，例2为连续状态离散参数的随机过程，例3为离散状态连续参数的随机过程，例4为连续状态连续参数的随机过程。
二、有限维分布与Kolmogorov定理
随机过程的一维分布：
随机过程的二维分布：
随机过程的n维分布：
1、有限维分布族：随机过程的所有一维分布，二维分布，…n维分布等的全体
称为{X(t), t
T}的有限维分布族。
2、有限维分布族的性质：
（1）对称性：对（1,2，…n）的任一排列
，有
（2）相容性：对于m
0 ，称为相对安全负荷.
假定3：调节系数存在唯一性假定
首先，要求个体索赔额的矩母函数
至少在包含原点的某个邻域内存在；
其次，要求方程
存在正解， 记为R.
定理4.4.1 若假定1~假定3成立，则有
（1）
;
（2）Lundberg不等式：
,
（3）Lundberg—Cramer 近似：存在正常数C，使得
~
,
. 即
习 题
1、判断下列命题是否正确：
（1）
< n
> t
（2）
n
t
（3）
> n
< t
2、更新过程的来到间隔
……
服从参数为
的
分布。
（1）试求
的分布；
（2）对更新过程，证明当
时，有
a.s. , 其中
（3）试证
a.s.
3.设
，
，计算
第五章 Brown运动
5.1 基本概念与性质
定义5.1.1：随机过程
如果满足：
（1）
（2）
具有平稳独立增量
（3）对每个
服从正态分布
则称
为Brown运动，也称为Wiener过程。常记为
或
注：如果
称之为
标准
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Brown运动。
如果
是标准Brown运动。
性质5.1.1：Brown运动是具有下述性质的随机过程
（1）（正态增量）
（2）（独立增量）
独立于过程的过去状态
（3）（路径的连续性）
是t的连续函数
注：性质5.1.1中没有假定
，因此称之为始于
的Brown运动。也记为
。易见
例5.1.1：设
是标准Brown运动，计算
和
定义5.1.2：Brown运动的二次变差
定义为当
取遍[0,t]的分割,且
时，依概率收敛意义下的极限
下面是Brown运动的路径性质。从时刻0到时刻T对Brown运动的一次观察称为Brown运动在区间[0,T]上的一个路径。Brown运动的几乎所有样本路径
都具有下述性质。
（1） 是t的连续函数
（2） 在任意区间（无论区间多么小）上都不是单调的
（3） 在任意点都不是可微的
（4） 在任意区间（无论区间多么小）上都是无限变差的
（5） 对任意t，在[0,t]上的二次变差等于t
5.2 Gauss过程
定义5.2.1：所谓的Gauss过程是指所有有限维分布都是多元正态分布的随机过程。
注：本节的主要目的是证明Brown运动是特殊的Gauss过程。
引理5.2.1 设
是相互独立的，则
。其中均值
，协方差矩阵
定理5.2.1 Brown运动是均值函数为m(t)=0,协方差函数为
的Gauss过程。
例5.2.1 设
是Brown运动，求B(1)+B(2)+B(3)+B(4)的分布
例5.2.2 求
的分布
例5.2.3 求概率
5.3 Brown运动的几种变化
5.3.1 Brown桥 (Brown Bridge)
定义5.3.1 设
是Brown运动。令
，则称随机过程
为Brown桥。 （数理金融中经常用到的过程）
注：因为Brown运动是Gauss过程，所以Brown桥也是Gauss过程，其n维分布由均值函数和协方差函数完全确定。且对
，有
5.3.2 有吸收值的Brown运动
设
为Brown运动
首次击中
的时刻，
，令
则
是击中
后，永远停留在
的Brown运动。
5.3.3 在原点反射的Brown运动
由
定义的过程
称为在原点反射的Brown运动。它的概率分布为：
5.3.4 几何Brown运动
由
定义的过程
称为几何Brown运动
例5.3.1 （股票期权的价值）设某人拥有某种股票的交割时刻为T，交割价格为K的欧式看涨期权，即他具有在时刻T以固定的价格K购买一股这种股票的权利。假设这种股票目前的价格为y，并按照几何Brown运动变化，我们计算拥有这个期权的平均价值。
5.3.5 有漂移的Brown运动
设B(t)是标准Brown运动，我们称
为漂移的Brown运动，其中常数
称为漂移系数。
例5.3.2 （行使股票期权）假设某人有在将来某个时刻以固定价格A购买一股股票的期权，与现在的市价无关。不妨取现在的市价为0，并假定其变化遵循有负漂移系数
的Brown运动。问在什么时候行使期权？
习题：
1、设
为标准Brown运动，验证
是Brown桥。
2、设
为标准Brown运动，计算条件概率
，问事件
与
是否独立？
3、设
、
为相互独立的标准Brown运动，试证
是Brown运动。
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