《复变函数与积分变换》辅导资料三

复变函数与积分变换辅导资料三 主 题：第一章 复数与复变函数1—3节 学习时间：2012年10月15日－10月21日 内 容： 这周我们将学习第一章复数与复变函数1—3节。在引进复数时，我们着重指出它们与实数类似的地方。复数在加、减、乘、除运算中和实数一样服从同样的代数运算法则，在描述几何和物理状态中它们有类似的作用。自变量为复数的函数就是复变函数，它是本课程的研究对象。本章着重描述复数的概念和基本运算。本周的学习要求及需要掌握的重点内容如下： 1、深刻理解复数的概念 2、非常熟练地掌握复数各种表示方法及其运算 基本概念：复数、复平面 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 ：复数 第一节、复数及其代数运算 （要求达到“领会”层次） 一、复数的概念 定义1：设 为复数，其中 , 是虚数单位；通常记为 , 和 分别称为 的实部和虚部，分别记作 。 当 时，那么 就是一个实数；当 ，则 称为纯虚数；当 ，那么 称为虚数。 （1）复数 和 相等是指它们的实部与虚部分别相等，记作 。 （2）加法： 减法： 乘法： 除法： 定义2：设复数 ，则称 为复数 的共轭复数，记作 。 定义3：如果复数 ，则称 为复数 的模，记作 二、复数的运算法则 1、交换律： 2、结合率： ； 3、分配律： 三、复数的共轭运算 1、 ，必须且只需 为实数 2、 3、 4、 5、 第二节、复数的几何表示 （要求达到“简单应用”层次） 一、复数的点表示 复数 对应有序实数对 ，另一方面，在平面直角坐标系中点 也对应有序实数对 ，因此复数 可用点 来表示。复数 与点 同义。 二、复数的向量表示 复数 等同于平面中的向量 ，所以，复数 可用向量 来表示。 三、复数的极坐标表示 设 的复数，复数 的模为 ， 是复数 的任意一个幅角，则 上式右端又称为复数 的三角表示。 注：一个复数的三角表示不是唯一的。 典型例题： 例1、写出复数 的三角表示 解：因为 ， 所以 也可以表示为 例2、设 ，求复数 的三角表示 解：因为 所以 四、复数的指数表示 由欧拉 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ，可得复数 的指数表示 。 典型例题： 计算题：将复数 化为指数式 解：因 ，所以 即为所求。 五、复球面 扩充复平面的一个几何模型就是复球面。 第三节、复数的乘幂与方根 （要求达到“简单应用”层次） 一、复数的乘积与商 定理1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积；幅角等于它们的幅角的和。 典型例题： 计算题：正方形的四个顶点按逆时针方向依次为A,B,C,O（见下图）。已知点B对应的复数 ，求点A与C对应的复数。 解：设点A与C对应的复数为 ，则 定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商；幅角等于被除数与除数的幅角之差。 典型例题： 计算题：设 试求复数 的三角式 解：由所给复数 化简得 于是得到复数 的三角式为 二、复数的乘方与开方 1、复数的乘方 设复数 ，则对正整数n， 典型例题： 计算题：设 ，求实数 与 。 解：由于 得 所以 根据复数相等的条件得 2、复数的开方 开方是乘方的逆运算，设 ，则称复数 为复数 的n次方根。记作 。 令 ， 于是就有 由此推出 故得 典型例题： 计算题：求 的所有值 解：由于 ，所以有 第1页 共6页 _1234567921.unknown _1234567953.unknown _1234567969.unknown _1234567977.unknown _1234567981.unknown _1234567985.unknown _1234567989.unknown _1234567991.unknown _1234567992.unknown _1234567993.unknown _1234567990.unknown _1234567987.unknown _1234567988.unknown _1234567986.unknown _1234567983.unknown _1234567984.unknown _1234567982.unknown _1234567979.unknown _1234567980.unknown _1234567978.unknown _1234567973.unknown _1234567975.unknown _1234567976.unknown _1234567974.unknown _1234567971.unknown _1234567972.unknown _1234567970.unknown _1234567961.unknown _1234567965.unknown _1234567967.unknown _1234567968.unknown _1234567966.unknown _1234567963.unknown _1234567964.unknown _1234567962.unknown _1234567957.unknown _1234567959.unknown _1234567960.unknown _1234567958.unknown _1234567955.unknown _1234567956.unknown _1234567954.unknown _1234567937.unknown _1234567945.unknown _1234567949.unknown _1234567951.unknown _1234567952.unknown _1234567950.unknown _1234567947.unknown _1234567948.unknown _1234567946.unknown _1234567941.unknown _1234567943.unknown _1234567944.unknown _1234567942.unknown _1234567939.unknown _1234567940.unknown _1234567938.unknown _1234567929.unknown _1234567933.unknown _1234567935.unknown _1234567936.unknown _1234567934.unknown _1234567931.unknown _1234567932.unknown _1234567930.unknown _1234567925.unknown _1234567927.unknown _1234567928.unknown _1234567926.unknown _1234567923.unknown _1234567924.unknown _1234567922.unknown _1234567905.unknown _1234567913.unknown _1234567917.unknown _1234567919.unknown _1234567920.unknown _1234567918.unknown _1234567915.unknown _1234567916.unknown _1234567914.unknown _1234567909.unknown _1234567911.unknown _1234567912.unknown _1234567910.unknown _1234567907.unknown _1234567908.unknown _1234567906.unknown _1234567897.unknown _1234567901.unknown _1234567903.unknown _1234567904.unknown _1234567902.unknown _1234567899.unknown _1234567900.unknown _1234567898.unknown _1234567893.unknown _1234567895.unknown _1234567896.unknown _1234567894.unknown _1234567891.unknown _1234567892.unknown _1234567890.unknown