null第二章 连续系统的时域
分析
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第二章 连续系统的时域分析微分方程的经典解法
0+和0-初始值
零输入响应与零状态响应
冲激响应和阶跃响应
卷积积分null2.1 LTI连续系统的响应
一、微分方程的经典解
微分方程的经典解:
y(t)(完全解) = yh(t)(齐次解) + yp(t)(特解)
齐次解是齐次微分方程
yh(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。特解的函数形式与激励函数的形式有关。 null 齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关,而与激励f(t)数形式无关,称为系统的固有响应或自由响应;
特解的函数形式由激励确定,称为强迫响应。 null 全响应=齐次解(自由响应)+特解(强迫响应)
齐次解:写出特征方程,求出特征根(自然频率或固有频率)。根据特征根的特点,齐次解有不同的形式。一般形式(无重根):
特解:根据输入信号的形式有对应特解的形式,用待定系数法确定。在输入信号为直流和正弦信号时,特解就是稳态解。
用初始值确定积分常数。一般情况下,n 阶方程有n 个常数,可用个 n 初始值确定。null[例2.1.1]描述某系统的微分方程为y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t),求(1)当f(t) = 2 ,t≥0;y(0)=2,y’(0)= -1时的全解;(2)当f(t) = ,t≥0;y(0)= 1,y’(0)=0时的全解。 null由
表
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2-2可知,当f(t) = 2 时,其特解可设为将其代入微分方程得
解得 P=1
于是特解为
全解为:
null其中待定常数C1,C2由初始条件确定。
y(0) = C1+C2+ 1 = 2,
y’(0) = – 2C1 – 3C2 – 1= – 1
解得 C1 = 3 ,C2 = – 2
最后得全解null(2)齐次解同上。
当激励f(t)= 时,其指数与特征根之一相重。
由表知:其特解为 yp(t) = (P1t + P0)
代入微分方程可得 P1 =所以 P1= 1
但P0不能求得。全解为null将初始条件代入,得:
y(0) = (C1+P0) + C2=1 ,
y’(0)= –2(C1+P0) –3C2+1=0
解得 C1 + P0 = 2
C2= –1
最后得微分方程的全解为
上式第一项的系数C1+P0= 2,不能区分C1和P0,因而也不能区分自由响应和强迫响应。null二、关于 0- 和 0+ 初始值
1、0- 状态和 0+ 状态
0- 状态称为零输入时的初始状态。即初始值是由系统的储能产生的;
0+ 状态称为加入输入后的初始状态。即初始值不仅有系统的储能,还受激励的影响。
从 0- 状态到 0+ 状态的跃变
当系统已经用微分方程表示时,系统的初始值从0- 状态到 0+ 状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含(t)及其各阶导数。
null如果包含有(t)及其各阶导数,说明相应的0-状态到0+状态发生了跳变。
0+ 状态的确定
已知 0- 状态求 0+ 状态的值,可用冲激函数匹配法。
求 0+ 状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值定理求出。各种响应用初始值确定积分常数
在经典法求全响应的积分常数时,用的是 0+ 状态初始值。
在求系统零输入响应时,用的是 0- 状态初始值。
在求系统零状态响应时,用的是 0+ 状态初始值,这时的零状态是指 0- 状态为零。null2、冲激函数匹配法
目的: 用来求解初始值,求(0+)和(0-)时刻值
的关系。
应用条件:如果微分方程右边包含δ(t)及其各阶导
数,那么(0+)时刻的值不一定等于(0-)
时刻的值。
原理: 利用t=0时刻方程两边的δ(t)及各阶导数
应该平衡的原理来求解(0+)null①m≤n,则设null②m>n,则设将y(t)及其各阶导数带入原方程,求出C0….Cm ;
对y(t)及各阶导数求(0-,0+)的积分.null [例2.1.2]:描述某系统的微分方程为y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t),已知y(0-)=2,y’(0-)= 0,f(t)=u(t),求y(0+)和y’(0+)。解: 将输入f(t)=u(t)代入上述微分方程得
y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2δ(t) + 6u(t) 代入原方程得 a=2,b=0 null 由上可见,当微分方程等号右端含有冲激函数(及其各阶导数)时,响应y(t)及其各阶导数中,有些在t=0处将发生跃变。但如果右端不含时,则不会跃变。 null三、零输入响应和零状态响应
1、定义:
(1)零输入响应:没有外加激励信号的作用,只有起始状态所产生的响应。
(2)零状态响应:不考虑起始时刻系统储能的作用,由系统外加激励信号所产生的响应。
LTI的全响应:y(t) = yx(t) + yf(t)null2、零输入响应
(1)即求解对应齐次微分方程的解
①特征方程的根为n个单根
当特征方程的根(特征根)为n个单根(不论实根、虚根、复数根)λ1,λ2, …,λn时,则yx(t)的通解表达式为null ② 特征方程的根为n重根
当特征方程的根(特征根)为n个重根(不论实根、虚根、复数根) λ1=λ2=…=λn时,yx(t)的通解表达式为: null (2)求yx(t)的基本步骤
①求系统的特征根,写出yx(t)的通解表达式。
③将确定出的积分常数C1,C2, …,Cn代入通解表达式,即得yx(t)。 null3、零状态响应
(1)即求解对应非齐次微分方程的解
(2)求yf(t)的基本步骤
①求系统的特征根,写出的通解表达式yfh(t)。
②根据f(t)的形式,确定特解形式,代入方程解得特解yfp(t)
④将确定出的积分常数C1,C2, …,Cn代入全解表达式,即得。 ③求全解,若方程右边有冲激函数(及其各阶导数)时,根据冲激函数匹配法求得 ,确定积分常数C1,C2, …,Cnnull
几种典型自由项函数相应的特解 null[例2.1.3]:描述某系统的微分方程为y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t),已知y(0-)=2,y’(0-)=0,f(t)=u(t)。求该系统的全响应,零输入响应和零状态响应。
解:(1)y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2δ(t) + 6u(t)
利用系数匹配法分析列式得: y’’(t)=aδ(t) +b,
y’(t)=a ,
y(t)=0
代入原方程得a=2,b=0
null根据微分方程经典求法:
齐次解:
齐次解形式为:
特解,根据特解形式得到:
解得 B=3
解得全响应为:null利用初始值解得:
全响应为: null(2)零输入响应yx(t), 激励为0 ,
yx(0+)= yx(0-)= y(0-)=2
yx’(0+)= yx’(0-)= y’(0-)=0
根据特征根求得通解为: 解得系数为
代入得null(3)零状态响应yf(t)
满足 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2δ(t) + 6u(t)
利用系数匹配法解得:null对t>0时,有 yf”(t) + 3yf’(t) + 2yf(t) = 6
其齐次解为
其特解为常数 3 ,
于是有
根据初始值求得:
null自由响应+强迫响应
(Natural+forced)零输入响应+零状态响应
(Zero-input+Zero-state)暂态响应+稳态响应
(Transient+Steady-state)四.系统响应划分null相互关系
零输入响应是自由响应的一部分,零状态响应有自由响应的一部分和强迫响应构成 。自由响应强迫响应零输入响应零状态响应null一.冲激响应
1.定义
系统在单位冲激信号δ(t) 作用下产生的零状态响应,称为单位冲激响应,简称冲激响应,一般用h(t)表示。2.2 冲激响应和阶跃响应 null[例2.2.1] 描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应h(t)。
解:根据h(t)的定义有h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ(t)
h’(0-) = h(0-) = 0,
利用冲激函数匹配法,设: h”(t) =a δ(t)+b
h’(t) =a
h(t) =0
解得:a=1, b=-5
h(0+)=h(0-)=0
h’(0+) =1 + h’(0-) = 1 null
微分方程的特征根为
故系统的冲激响应为
代入初始条件求得C1=1,C2=-1, 所以
对t>0时,h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = 0,故系统的冲激响应为齐次解。null[例2.2.2] 描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)= f”(t) + 2f’(t) + 3f(t),求其冲激响应h(t)。
解:根据h(t)的定义有
h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t) (1)
h’(0-) = h(0-) = 0
先求h’(0+)和h’(0-),根据冲激函数匹配法得:
h”(t) = aδ”(t) +b δ’(t) +cδ(t)+ d
h’(t) = aδ’(t) +bδ(t) + c
h(t) = aδ(t) + b
带入方程求得: a =1 ,b = - 3,c = 12,d=-42null故 h(0+) = – 3,
h’(0+) =12
对t>0时,有 h”(t) + 6h’(t) + 5h(t) = 0
微分方程的特征根为
故系统的冲激响应为所以: h(t) = δ(t) + b
h’(t) = δ’(t) - 3δ(t) + c
h”(t) = δ”(t) - 3 δ’(t) + 12δ(t)+ dnull代入初始条件h(0+) = – 3, h’(0+) =12
求得C1=3,C2= – 6, 所以
结合式h(t) = δ(t) + b得:null 系统的输入 e(t)=u(t) ,其响应为 r(t)=g(t) 。系统方程的右端将包含阶跃函数u(t) ,所以除了齐次解外,还有特解项。 我们也可以根据线性时不变系统特性,利用冲激响应与阶跃响应关系求阶跃响应。 二.阶跃响应
1.定义
系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应,称为单位阶跃响应,简称阶跃响应,一般用g(t)表示。null2.阶跃响应与冲激响应的关系
线性时不变系统满足微、积分特性null解:s由1转向2后,
列写回路方程:R1 i(t)+vc(t)=e(t)
vc(t)=L i’L(t)+iL(t)R2
列写结点方程:
i(t)=Cv’c(t)+iL(t)[例2.2.4]电路如图所示,求电流i(t)对激励e(t)=u(t)的阶跃响应,t=0时,s由1转向2。null整理得到:
i’’(t)+7i’(t)+10i(t)=e’’(t)+6e’(t)+e(t)
阶跃响应满足: g(0+)=g(0-)=0 ,得null特解B代入得: 10B=4,B=2/5
利用冲激函数匹配法求解初始值,所以: a=1,b=-1,c=1 得: g(0+)=g(0-)+1=1
g’(0+)=g’(0-)-1=-1
得到:A1+A2+2/5=1
-2A1-5A2=-1
解得: A1=2/3, A2=-1/15
得: 2.3 卷积积分2.3 卷积积分一、信号的时域分解
1、任意信号的分解 nullnull2、任意信号作用下的零状态响应3、卷积积分
(1)定义:已知定义在区间( – ∞,∞)上的两个函数f1(t)和f2(t),则定义积分null记为 :任意信号的零状态响应即为:(2)卷积积分的求解null[例2.3.1]求卷积:解:null[例2.3.2]:
解:null(b)卷积积分的图解:
卷积过程可分解为四步:
(1)换元: t换为τ→得f1(τ), f2(τ)
(2)反转平移:由f2(τ)反转→ f2(–τ)右移t → f2(t-τ)
(3)乘积: f1(τ) f2(t-τ)
(4)积分: τ从–∞到∞对乘积项积分。 null[例2.3.3] f (t) ,h(t) 如图所示,求yf(t)= h(t) * f (t) 。 解:nullnull[例2.3.4]:f1(t)、f2(t)如图所示,已知f(t) = f2(t)* f1(t),求f(2) . 解:null
(1)换元
(2) f1(τ)得f1(–τ)
(3) f1(–τ)右移2得f1(2–τ)
(4) f1(2–τ)乘f2(τ)
(5)积分,得f(2) = 0(面积为0) 三、卷积积分的性质三、卷积积分的性质1、卷积的代数性质
交换律:ƒ1(t)ƒ2(t)=ƒ2(t)ƒ1(t)
分配律:ƒ1(t)[ƒ2(t)+ƒ3(t)]=ƒ1(t)ƒ2(t)+ƒ1(t)ƒ3(t)
结合律:[ƒ1(t)ƒ2(t)]ƒ3(t)=ƒ1(t)[ƒ2(t)ƒ3(t)] 2、主要性质:2、主要性质:nullf(t)与阶跃函数的卷积:f(t)与冲激函数的卷积: ƒ(t)(t)=f(t)
ƒ(t)(t-t0)= ƒ(t-t0)
ƒ(t-t1)(t-t2)= ƒ(t-t1-t2)
(t-t1)(t-t2)= (t-t1-t2)
f(t)与冲激偶函数的卷积: ƒ(t)'(t)= f'(t)(t)= ƒ'(t)
ƒ(t)''(t)=ƒ"(t)null 时移性质
若ƒ1(t)ƒ2(t)=ƒ(t),
则有ƒ1(t-t1)ƒ2(t-t2)=ƒ(t-t1-t2)
利用卷积积分的性质来计算卷积积分,
可使卷积积分的计算大大简化,
下面举例说明。 null[例 2.3.6] 计算下列卷积积分: null解 :
(1) 先计算u(t)*u(t)。因为u(-∞)=0,故可应用卷积运算的微积分性质求得
根据时移特性得null (2) 利用卷积运算的分配律和时移性质, 可将给定的卷积计算式表示为 nullnull[例2.3.8]求图所示两函数的卷积积分。 null 解:null[例2.3.9]已知
求 f1(t) 。 解: 将原式等号两端同时求一阶导数得 null本章
总结
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:
1、LTI连续系统的响应:
全响应=齐次解(自由响应)+特解(强迫响应)
2、关于0-和0+初始值
当系统已经用微分方程表示时,如果包含有(t)及其各阶导数,说明相应的0-状态到0+状态发生了跳变。
冲激函数匹配法:null3、零输入响应和零状态响应
y(t) = yx(t) + yf(t)
自由响应+强迫响应;暂态响应+稳态响应;零输入响应+零状态响应
4、冲激响应和阶跃响应
5、卷积积分
卷积过程可分解为四步:
(1)换元: t换为τ→得f1(τ), f2(τ)
(2)反转平移:由f2(τ)反转→ f2(–τ)右移t →
f2(t-τ)
(3)乘积: f1(τ) f2(t-τ)
(4)积分: τ从–∞到∞对乘积项积分。
null6、卷积积分的性质 [ƒ1(t)ƒ2(t)]ƒ3(t)=ƒ1(t)[ƒ2(t)ƒ3(t)] null