求梁单元的刚度矩阵

一. 求梁单元的刚度矩阵 1、 已知平面刚架单元的单元的变形可以有三种：轴向伸缩、横向弯曲和扭曲。此处只考虑轴向伸缩和横向 弯曲。因此，位移函数为 0 1 2 3 0 1 2 3 u a a x v b b x b x b x        并已知各截面的转角 dv dx   求其单元位移模式。（即用节点位移来 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示单元内任一点 x的位移 ,u v） 提示：位移模式的表达式为 [ ] i i i j j j u v u Nv u v                                 求出[ ]N 即可。 解：由位移模式有 0 1 2 3 0 1 2 3 2 1 2 32 3 u a a x v b b x b x b x dv b b x b x dx            写成矩阵形式， 0 1 02 3 12 2 3 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 3 a a u x b v x x x b x x b b                                     取 0,i jx x l  ，有， 0 1 0 1 2 3 2 2 3 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 3 i i i j j j u a v a b u bl v bl l l bl l                                                         即 1 0 1 0 1 2 3 2 2 3 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 3 i i i j j j ua va b ub l vb l l l b l l                                                         θθ 从而有， 0 1 02 3 12 2 3 1 2 3 2 2 3 2 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 3 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 0 0 1 0 0 0 1 2 3 i i i j j j a a u x b v x x x b x x b b u v x x x x ul x x vl l l l l                                                                  2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 1 0 0 0 0 3 2 2 3 2 0 1 0 [ ] 6 6 4 3 6 6 2 3 0 1 0 i i i i i i j j j j j j u ux x v vl l x x x x x x x x x N u ul ll l l l l l v vx x x x x x x x l ll l l l l l                                                                                       关于此题的说明： 此处取逆时针方向角度为正，那么 dv dx   。 图 2 图 3 证明：图 2中， 1 2,m m 在中性层的挠度曲线上，当弯曲一个 d 时， 考虑到挠度很小， 有 dy dv tg dx dx     ， 2 2, dx ds ds dx dy dx    ， 由 ds d   有 2 2 1d d d dv d v ds dx dx dx dx             再考察图 3,, a点为离中性层距离为 y的点，此时弧长     1 dx y ab y d y dx                   ， A点其相对于中性层的弧长伸长量     1y y y l ab ds ab dx dx dx dx                 此时，由弯曲引起的线应变为 2 2 y b l y d v y dx dx       （考虑到随着 x的增大而减小，所以， dx为正时， d 是负的。） 在上面的推导中，采用的是传统的材料力学的坐标系——x轴正方向指向右，y轴指向挠曲的方向，即 向下。此时的 y是正的。 而在有限元中，y轴的方向是按右手螺旋定则决定的，应指向上方。所以，图 3所示 y点的位置是-y。 从而在下面的公式中，有 2 2 y b l y d v y dx dx         2、 求单元的应变向量和应力向量      0 2 2 0 , 0b du Edx Ed v y dx                              （注：这里 0 表示拉压时的应变， b 表示受纯弯曲时的沿弯曲方向的正应变，y表示点沿杆件偏离中轴 线方向的位置） 利用虚功原理，求出其单元刚度矩阵。（也可使用平衡法）。 结果中将 2 A y dA I 解：求解应变向量和应力向量： 由第 1题的结果有：   1 0 0 0 0 i i i j j j u v x x u ul l v                               2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 2 3 2 0 1 0 i i i j j j u v x x x x x x x x v x ul ll l l l l l v                                    代入  0 2 2 b du dx d v y dx                       得到单元应变向量和单元应力向量分别为：      2 3 2 2 3 2 1 1 0 0 0 0 6 12 4 6 6 12 2 6 0 0 i i i e j j j u v l l B uy xy y xy y xy y xy l l vl l l l l l                                                 eD D B    于是，单元刚度矩阵      ( ) Te V K B D B d vol            2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 3 2 4 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 1 1 0 0 0 0 36 4 4 12 6 7 36 4 4 12 6 5 0 1 2 0 1 1 12 6 7 4 9 12 12 6 7 4 9 9 0 2 4 0 2 2 T l l y x x y x x y x x y x x l l l ll l l l l l l l y x x y x x y x x y x x l l l ll l l l l l l l B D B E                                                             2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 3 2 4 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 1 1 0 0 0 0 36 4 4 12 6 7 36 4 4 12 6 5 0 1 2 0 1 1 12 6 5 4 9 9 12 6 5 4 9 6 0 1 2 0 1 l l y x x y x x y x x y x x l l l ll l l l l l l l y x x y x x y x x y x x l l l ll l l l l l l l                                                                    1                                          积分后可 以得到单元刚度矩阵 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2 2 2 0 0 0 0 12 6 12 6 0 0 6 4 6 2 0 0 0 0 0 0 12 6 12 6 0 0 6 2 6 4 0 0 e EA EA l l EI EI EI EI l l l l EI EI EI EI l ll l K EA EA l l EI EI EI EI l l l l EI EI EI EI l ll l                                         其中 2 A I y dA  ，为横截面的惯性矩； l为单元的长度；A为单元的横截面面积。 解法二：用直接平衡法求解刚度矩阵 单元节点力向量为：   ix iy e iie e jxj jy j F F MF F FF F M                              这里M表示作用在节点处的弯矩。 又   2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 2 3 2 0 1 0 i i i j j j u v x x x x x x x x v x ul ll l l l l l v                                    根据材料力学知识（参考《材料力学》第三版上册，刘鸿文主编，高等教育出版社）： ( )ix i j EA F u u l   3 3 3 2 3 2 (0) 12 6 12 6 0 0 i i i iy j j j u v d v EI EI EI EI F EI udx l l l l v                              2 2 2 2 (0) 6 4 6 2 0 0 i i i i j j j u v d v EI EI EI EI M EI ul ldx l l v                               ( )iy j i EA F u u l   3 3 3 2 3 2 ( ) 12 6 12 6 0 0 i i i jy j j j u v d v l EI EI EI EI F EI udx l l l l v                                2 2 2 2 ( ) 6 2 6 4 0 0 i i i j j j j u v d v l EI EI EI EI M EI ul ldx l l v                              写成矩阵形式有 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2 2 2 0 0 0 0 12 6 12 6 0 0 6 4 6 2 0 0 0 0 0 0 12 6 12 6 0 0 6 2 6 4 0 0 i ix i iy i i j jx j jy j EA EA l l EI EI EI EI u F l l l l v FEI EI EI EI Ml ll l u FEA EA l l v F EI EI EI EI M l l l l EI EI EI EI l ll l                                                   j                     即       e e e K F 