对于平面应力和平面应变问题,若讨论的物体截面形状及侧面受力相同,则它们所需满足的基本方程和边界条件也相同,所得到的解和应力函数均相同。
因此,它们的应力分量x,y和xy也相同, 应力分量xz和yz均等于零, 所不同的是 z 向应力分量z,应变z和位移分量w。
下表列出了两种平面问题的主要差别。
平面应变问题
平面应力问题
z向应力分量
z =(x + y )
z=0
z向位移分量
w=0
w≠0
正应变分量
上述分析表明,平面应力和平面应变问题的主要不同在于z向应变,位移和正应力的计算公式。
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虽然平面应力和平面应变问题的主要不同在于z向应变,位移和正应力的计算公式。但是应该注意的问题是平面应力问题解的近似性。
由于讨论平面应力问题时,仅用了一个变形协调方程,其余五个方程未做检验。这五个方程对于平面应变问题来讲是完全满足的,而对于平面应力问题,变形协调方程除了第四,五两式自动满足外,第二,三,六式还要求
这要求ez 为x,y的线性函数,因此ez = ax+by+c, 但平面应力问题又要求。 这要求sx+ sy满足线性分布。这只有均匀应力分布,例如单向、双向拉伸,纯弯曲和纯剪切等可以满足。这将使求解受到极大的限制,通过双调和方程和边界条件得到的弹性力学解,一般是不可能满足此条件的。
由于平面应力问题ez≠0,这使得问题的求解困难相对。为了简化分析,对于薄板问题,ez很小,可以认为ez近似为零。这样平面应力问题也可以像平面应变问题一样求解。
对于这样的假设,将不可避免产生误差,下面将讨论其误差。
假如重新假定应力分量sx,sy,txy是x,y,z的函数,应力分量sz,txz 和tyz 仍然等于零,则可以选取新的应力函数
求解平面应力问题。如果上式中函数(x,y)为双调和函数,则应力函数Y(x,y,z)完全满足平衡微分方程和六个变形协调方程。
显然,新的应力函数Y(x,y,z)与平面应力问题近似解应力函数的主要差别在于补充项的影响。
根据上述分析,可以对平面应力简化解的误差做量级上的分析。由于平面应力问题讨论的板厚很小,补充项含有z的平方项,因此补充项对应力计算的贡献就是一个z的平方项。
对于薄板问题,一般来讲,此项影响很小,因此可以忽略不计。
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