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型训练：第9章 第1节 变化率与导数、导数的计算 Word版含解析（ 2014高考）
第一节 变化率与导数、导数的计算
考点一 导数的计算
[例1] 求下列函数的导数:
1xln ,,1，(1),(1,);(2),; yxy,,xx,,
xxx(3)y,tan x; (4)y,3e,2，e;
x，(5)y,. 2x，1
1111,,1，[自主解答] (1)?y,(1,x),,x,x,,x， ,,22x,,x
111311?)′,,y′,(x,)′,(xx,,x,. 222222
1?x,ln xxln xxx,x′ln xx1,ln ,,(2)y′,′,,,. ,,222,x,xxx
sin xxx,sin xos x,,(3)y′,′,,,,2cos xcosx,,
cos xcos x,sin x,sin x1,. 22cosxcosx
xxxxxxxxxxxx(4)y′,(3e)′,(2)′，e′,(3)′e，3(e)′,(2)′,3(ln 3)?e，3e,
xxx2ln 2,(ln 3，1)?(3e),2ln 2.
22x，x，,x，x，(5)y′, 22x，
x，2x，1,2xx，22x，3，,2，，xxxx,,. 2222x，x，x，【互动探究】
xx2,,1,2cos若将本例(3)中“tan x”改为“sin ”，应如何求解, ,,42,,
xxxx112,,1,2cos解:?y,sin ,,sin cos ,,sin x，?y′,,cos x( ,,422222,,
【方法规律】
导数的计算方法
(1)连乘积形式:先展开化为多项式的形式，再求导(
(2)分式形式:观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导( (3)对数形式:先化为和、差的形式，再求导(
(4)根式形式:先化为分数指数幂的形式，再求导(
(5)三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导( (6)复合函数:确定复合关系，由外向内逐层求导(
求下列函数的导数:
5x，x，sin x11(1)y,;(2)y,(x，1)(x，2)(x，3);(3)y,，;(4)y,2x1,x1，xcos 2x2x;(5)y,3,x，e. sin x，cos x
15x，x，sin x2x3sin 3解:(1)?，y,,x,，x， 222xx
3353,22,3,2y′,(x,)′，(x)′，(xsin x)′,,x,，3x,2xsin x，xcos x. 222
2322(2)?，，，11，y,(x3x，2)(x，3),x6xx，6，?y′,3x12x，11.
2112,x2,,,(3)?y,，,，?y′,′,,. ,,221,x1,x,x,x,,1,x1，x
cos 2x(4)?y,,cos x,sin x，?y′,,sin x,cos x. sin x，cos x
11112x2x(5)′,(3,),(3,)′，e(2)′,,(3,),，2e. yxxxx2222
[例2] (1)已知函数()的导函数′()，且满足(),2′(1)，ln ，则′(1)fxfxfxxfxf
,( )
A(,e B(,1 C(1 D(e
(2)等比数列{a}中，a,2，a,4，函数f(x),x(x,a)?(x,a)?„?(x,a)，则f′(0)n18128
,( )
6912 15A(2 B(2 C(2 D(2
xx(3)(2013?江西高考)设函数f(x)在(0，，?)内可导，且f(e),x，e，则f′(1),
________.
[]2xf[自主解答] (1)?f(x),2xf′(1)，ln x，?f′(x),′，(ln x)′,
12f′(1)，， x
?f′(1),2f′(1)，1，即f′(1),,1.
[]x,ax,ax,a128′(),′?，(2)因为fxx
[],,,xaxaxa128′?x,(x,a)(x,a)„(x,a)，128[]x,ax,ax,a128′?x，所以f′(0),(0,a)(0,a)„(0,a)，0,128
412„.因为数列{}为等比数列，所以,,,,8，所以′(0),8,2. aaaaaaaaaaaaf128n27364518
1x(3)令t,e，故x,ln t，所以f(t),ln t，t，即f(x),ln x，x，所以f′(x),，x1，所以f′(1),2.
[答案] (1)B (2)C (3)2
【方法规律】
导数运算的两个技巧
(1)求函数的导数要准确地把函数分解为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数(
(2)在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，记准公式，预防犯运算错误(
πππ,,,,,,,1(若函数f(x),cos x，2xf′，则f与f的大小关系是( ) ,,,,,,633,,,,,,
ππππ,,,,,,,,,,A(f,f B(f>f ,,,,,,,,3333,,,,,,,,
ππ,,,,,C(f
f. ,,,,33,,,,
2((2014?台州模拟)已知f(x),sinx，cosx，f(x)是f(x)的导函数，即f(x),1n，1n2
*f′(x)，f(x),f′(x)，„，f(x),f′(x)，n?N，则f(x)等于 ( ) 132n，1n2 014
A(,sin x,cos x B(sin x,cos x
C(,sin x，cos x D(sin x，cos x
解析:选C f(x),sin x，cos x，f(x),f′(x),(sin x，cos x)′,cos x,sin x， 121
f(x),f′(x),(cos x,sin x)′,,sin x,cos x，f(x),f′(x),sin x,cos x， 3243
(),′(),sin ，cos .故()是以4为周期的周期函数，又2 014,503×4fxfxxxfx54n
，2，
?f(x),f(x),,sin x，cos x. 2 0142
高频考点考点二 导数的几何意义
1(导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题(
2(高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度:
(1)已知切点求切线方程;
(2)已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程;
(3)已知曲线求切线倾斜角的取值范围(
[例3] (1)(2012?新课标全国卷)曲线y,x(3lnx，1)在点(1,1)处的切线方程为________________(
2(2)(2013?广东高考)若曲线,ln y,axx在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a,________.
α(3)(2013?江西高考)若曲线,，1(α?R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则αyx
,________.
4(4)(2014?南京模拟)已知点P在曲线y,P处的切线的倾斜角，上，α为曲线在点xe，1
则α的取值范围是________(
3[自主解答] (1)y′,3ln x，1，x?,3ln x，4，k,y′|,4，故切线方程为y,x,1x
1,4(x,1)，即y,4x,3.
112(2)?f(x),ax,ln x，则f′(x),2ax,，?f′(1),2a,1,0，得a,. x2
α,1(3)求导得y′,αx，切线的斜率k,α，由点斜式得切线方程为y,2,α(x,1)(
x4,4e?切线经过原点(0,0)，?,2,α×(,1)，α,2.(4)?y,y′,，?xx2e，1e，1
x,4e,41xx,>0，?e，?2，?y′?[,1,0)，?tan α?[,1,0)(又,.?e2xxxe，2e，1e1x，，2exe
3π，,，πα?[0，π)，?α?. ,,4，,
3π1，,，π[答案] (1),4,3 (2) (3)2 (4) yx,,42，,
与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略 (1)已知切点求切线方程(解决此类问题的步骤为:?求出函数y,f(x)在点x,x处的0
导数，即曲线y,f(x)在点P(x，f(x))处切线的斜率; 00
?由点斜式求得切线方程为y,y,f′(x)?(x,x)( 000
(2)已知斜率求切点(已知斜率k，求切点(x，f(x))，即解方程f′(x),k. 111(3)求切线倾斜角的取值范围(先求导数的取值范围，即确定切线斜率的取值范围，然
后利用正切函数的单调性解决(
31(已知直线y,kx，b与曲线y,x，ax，1相切于点(2,3)，则b的值为( )
A(,3 B(9 C(,15 D(,7
3解析:选C 将点(2,3)分别代入曲线y,x，ax，1和直线y,kx，b，得a,,3,2k，b
2,3.又k,y′|,(3x,3)|,9，?b,3,2k,3,18,,15. x,2x,2
22(已知a为常数，若曲线y,ax，3x,ln x存在与直线x，y,1,0垂直的切线，则
实数a的取值范围是( )
11，,,，,，，?,?，,A. B. ,,,,22，,,，
[),1，，?(],?，,1C. D.
1解析:选A 由题意知曲线上存在某点的导数为1，所以y′,2ax，3,,1有正根， x
2即2ax，2x,1,0有正根(当a?0时，显然满足题意;当a<0时，需满足Δ?0，解11得,?a<0.综上，a?,. 22
23(若点P是曲线y,x,ln x上任意一点，则点P到直线y,x,2的最小距离为________(
1解析:设P(x，y)到直线y,x,2的距离最小，则y′|x,x,2x,,1，得x,100000x0
1|1,1,2|或x,,(舍)(?P点坐标为(1,1)(?P到直线y,x,2的距离d,,2. 021，1
答案:2
————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————
个区别——“过某点”与“在某点”的区别
曲线y,f(x)“在点P(x，y)处的切线”与“过点P(x，y)的切线”的区别:前者0000
P(x，y)为切点，而后者P(x，y)不一定为切点( 0000
个注意点——导数运算及切线的理解应注意的问题
(1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆(
(2)利用导数公式求导数时，只要根据几种基本函数的定义，判断原函数是哪类基本函数，再套用相应的导数公式求解，切不可因判断函数类型失误而出错(
(3)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点(
3(4)曲线未必在其切线的同侧，如曲线y,x在其过(0,0)点的切线y,0的两侧.
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