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补充函数求微分方程通解.doc

补充函数求微分方程通解

胡Bernice
2017-09-27 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《补充函数求微分方程通解doc》,可适用于战略管理领域

补充函数求微分方程通解安康师专(综合版)年第期(总第l勰)补充函数求微分方程通解原砟PRamankutty赵临龙编译摘要PRamankutty在文中,通过补充函数,给出高阶线性微分方程通解的一种求法关键词线性方程通解隶法常系数方程引理对常数和常系数多项式p(x),则』(X)dx=ekxQ(x)C(,)其中常系数多项式Q(X)次数为:Q=p十)脚()证:对=,结论真对h::,假设p(x)=n,则对p(X)=nl,有:』p(x)dx=譬p(x)一』p(x)dx=p(x)一((x)C)()…,,,',,,其中aQ=j~p:'fp(x)dx=Q(x)一()其中多项式Ql(x):()(p(x)一Q(x))次数为(nI)即引理获证定理对常系数方程:Noaky【Nk=o(a)()若特征方程:P()=Nakh(Nk)=()的不同根^,k,…,的重数分别是mI,rn,…m口,则y=aPk(x)()其中多项式Pk(X)次数是n,l,证:引人微分算子D=,则D当N=时()为:y=P(D)Y(,)P()=aa()有特征单根=一la(m=)(i)P(D)y=博(D一I)y=e:*D(ey)=,~e~,lxy=c茸y=c()若Y=P(x),则pl(X)此时,pl==,结论真现设N,k(N)阶方程结论真特征根的重数为m】,则此时,P()=Q()()()其中多项式Q(X)次数为N一,则()的特征根,,…,重数分别是m,啦,…,nan假设P(D)Y=甘Q(D)(D一I)Y=甘(D一I)y=NlQk(X)()其中aQk=mk一,当k,'Q=rrll一但(D一I)y=:Qk(X)甘D(e一y)=NIle(,X)Qk(x)甘ey=N=l(e(一hPk(X))(引理)()其中a=mk一,当k,apl=oQ=m则P(D)y=学e~xy=Ne{一)Pk(x)()其中NlCk被多项式P,(x)合并于是Y=Npk(X)(N)()即定理获证推论在定理中,若方程()为akY'=f(x)()则()的解是:Y(X)='oIN=Pk(x)()其中yn为()的特解变系数方程引理记P(x,D)=Nak(x)D,,则对可微函数Q(x)和v(x),有:P(x,D)(V(x))=eQ(xp(x,DQ(x)I)V(x)()证:由于D(eqK'V(x))=e((DQ(x)I)v(x)()则Dl【(eq(v(x))=ecKx(DQ(x)I)v(x)()于是,P(X,D)(eqV(x))=Noak(x)D一(eqfv(x))=ak(x)(DQ(x)I)NKV(x)=eqcP(X,DQ(X)I)v(x)()定理记P(X,D)=a(X)(Db(x)I)Q(X,D)(a(x))()则方程:P(x,D)y=f(x)甘Q(x,D)y=(P(X)gm(x))eB()其中aPl(x)=ml,且:B(x)=b(t)dt()Bm(x)=I(Xt)一f(tt)eB(t)dt()证:将()记为:(Db(x)I)T|Q(x,D)y=g(x){(Db(x)I)n(eBx)e'Q(x,D)y)=g(x)(B(x)=fb(t)dt)甘xD(eB('Q(x,D)y)=g(x)(引理)甘eB(xQ(x,D)y=p(x)g叭(x)(Pl(x)=m)甘Q(x,D)y=(p(x)g(x))eB(()其中gn(x)满足()推论(】记R(D)y=(DbI)Y(b为常数)()若方程Q(x,D)R=g(x)()有解,则方程()转化方程:R(D)y=Ro()对定理,还有推广结论:定理记p(x,D)=(a(x)一b(x)I)mQ(x,D)()舜j方程:P(x,D)y:f(x)甘Q(x,D)y=(fm(x)q(x))()其中Ak(k=,,,…,m一)为常数,且:Q(x)=Jdt()c(x)=,q(x)=面f:dt()()fm(x)=f:(Xt)一dt()由(),得:此时p(x,D)=am(x)(D一I)T|Q(x,D)(l)取aD(x)=am(x),b(x)=},由定理,得结论应用倒y,一y"y一y=导(x)解:p(D)=D一DDI=(DI)取b(x)=刘B(x)=jdx=x,于是(DI)y=妄甘(DI)(e~ye一)=妄甘ex(ye)=l甘y=exCIxx等lnx例Xy(x)yx(x)y=xx(x)"】解:P(x,D)=xD()一)Dx(x)I=(DxI)(DxI)取b(x)=一x一,则B(x)=f一tdt=,于是x(D~I)(Dx)y=)甘(Dx一)(e{xe{x(DxI)y)xx一x甘eD(e一(DxI)y)x{甘e一{(DxI)y=CIe一{(x)甘(Dx)y=Ce{'(x)甘y=eJ)odxj(ce{x(x)):e一{(cIJxel(xdxcdx例xy"一(x)Y(x)y=(xx一)e,解:P(x,D):xD一(x)D(X)(xD一(x)I)(DI)取R(D)Y=(D一)Y,则(xD一(x)I)(D,I)Y=(xx一)甘xR一(x)R=(xx一)e甘R=ex(』x(x一)eXe…』dxdxc=ex(x)cxe'Y一Y=(ex(x)CxexY=ef((x)Cx)exd=ex(xex)参考文献PI~mmkutty,ConptemonturyFunctionandtheGenerdSolntionMathematiMne,:赵矗缶龙,高阶线性变系数微分方程通解的一种求法安康师专,,:"寐凡,一类变系数线性微分方程的求解数学通报,,:~(译者单位:陕西安康师专数学系,)

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