微分流形上的Stokes公式

微分流形上的Stokes公式微分流形上的Stokes公式第27卷第4期 2006年7月通化师范学院 JOURNALOFT0NGlIA1EACH匮RSCOLLEGE Vo1.27No.4 July2006 微分流形上的Stokes公式? 于书敏 (通化师范学院数学系.吉林通化134002) 摘要:介绍了微分流形上的kes公式,以及Stokes公式的意义覆应用.进一步指出了Stokes公式的重要性关键词:微分流形;带边区域;诱导定向;Stokes公式 @Rll{r}~-:0175文献标识码:A文章编号:1008—79...

微分流形上的Stokes公式第27卷第4期 2006年7月通化师范学院 JOURNALOFT0NGlIA1EACH匮RSCOLLEGE Vo1.27No.4 July2006 微分流形上的Stokes公式? 于书敏 (通化师范学院数学系.吉林通化134002) 摘要:介绍了微分流形上的kes公式,以及Stokes公式的意义覆应用.进一步指出了Stokes公式的重要性关键词:微分流形;带边区域;诱导定向;Stokes公式 @Rll{r}~-:0175文献标识码:A文章编号:1008—7974(2006)04—0121—02 StokeS公式是数学中非常重要的基础性定理.大范围微分几何的很多定理实质上都是Stokes公式的应用.如.黎曼几何中的Gauss—Bonnet定理.散度定理.关于调和函数的Green公式都是Smkm公式的推论[1I 根据光滑流形的定义,开区间口.b是光滑流形,但是闭区间[口,b]不是光滑流形.同理,在平面上的开圆盘{(“,)?R; U+<1}是光滑流形.而闭的圆盘{(U,)?R;U+?1}不是光滑流形.由此可见,一些最常见的空间.不属于光滑流形之列.这自然是不合理的,可以通过上面光滑的例子能够发现,问题在于有没有边界以及如何刻画边界定义设M是,l维光滑流形,D是M的子集.如果对于每一点P?D.有PI-Fi~种情形之一发生;(1)存在点P的坐标卡(U,,5).使得UD;(2)存在点P的坐标卡(U.,5).使得?(,5(P))=0Vi.并且,5(DnU)=,5(Dnu)=,5(U) n{(Xl,…)?R;?0}=,5(U)nR 那么称D为M的一个带边区域. 带边区域D的第一类点称为D的内点.第二类点称为D的边界点,D的全体边界点的集合记为aD称为D的边界,显然 ,5(DDnu)=,5(u)n{(1,…)?R;=0}(1) 满足上述条件的坐标卡(U,,5)称为边界点P的适用坐标卡.很明显.闭区间[口,b]是光滑流形R的带边区域,平面上的闭圆盘{(U,)?R:U+?1}是光滑流形R的带边区域. 带边区域D的内点的集合D是M的开子流形,在带边区域D的边界DD非空的情况下.其边界DD是一1维光滑流形. 并且是单一地浸入光滑流形M中的子流形.其浸入就是包含映射i) 给出的,其中(U;蕾)是D的边界点P?019的与M的定向相符的适用局部坐标系例1设D是平面R的一个带边区域,在DD上惯用的定向是如下规定的:如果沿边界DD的正向行进,则区域D本身位于行进者的左侧.在另一方面,如果(U;l.2)是边界点P的适用局部坐标系.其定向与R的定向一致(即反时针旋转方向为平面的正方向),那么与OD相切,而指向D的内部,即指向沿aD的正向行进者的左侧,根据规定,在aD上诱导的正定向是由(一1)dx1=dx2给出的,显然,这两种正定向的规定是一般地,维有向光滑流形M在带边区域D的边界aD上诱导的定向在为偶数时以内法向为正定向,在为奇数时以外法向为正定向. 定理(Stokes定理)设D是满足第2可数公理的n维有向光滑流形M上的一个带边区域,是在M上具有紧致支撑集的—1次外微分式,则』=』.(3) 其中aD具有从D诱导的定向,如果aD=,则』=o. 证明任意取M的一个定向相符的局部有限的可数坐标覆盖?0={(,)},设(k)是属于?0的单位分解,因此叫=(?k)?叫=?k?叫(4) 由于支撑集Suppw是紧致的,故Suppw只与{}中有限多个成员相交,所以(4)式右端只有有限多项的和,于是 J=J(叫).…并且 J=.叫. 由此可见,只要对每一个指标a证明式子 J2(ha?叫)Ja..叫? 成立即可.事实上,外微分式h.?叫的支撑包含在坐标域内,即Supp(h.?叫)cSupp(h.)nSupp叫c. 这样,问题就归结为在一个坐标域内的情形.这正是文[3]定理已经证明的事实. 例3复变函数论中的Cauchy积分定理:设D是复平面C中的一个区域,f:D—C是在内解析的映射,并且它在上是连续的,则它在有诱导定向的有向边界aD上的积分为零. 证明设C的复坐标是z=+厅,,(z)=“(,)+厅v(x,).所谓”fr(ED内是解析的”是指在任意一点z0 ?D,极限 .)= 呻0n??O 是存在上述条件等价于,的实部和虚部满足Cauchy—Ri~xnann方程 (:兰)一【:兰2()一一(:兰)一 „一? 令叫=f(z)dz=(“(,)+一1v(x,))(da:+4-一1) (“(,)如一v(x,))+一1(v(x,)如+u于任意一点z0 ?D以及围绕z0的任意一条光滑的简单闭区线C在它所包围的区域整个地落在D内时都有 I一厂()如=0. 则『r在D内是解析的. 参考文献: [1】陈省身,陈维桓着.微分集合讲义[M】.(第二版).北京:北京大学出版社,2001. [2]陈维桓,李兴校着.黎曼几何引论(上册)[M].北京:北京大学出版社,2002. [3]于书敏.Newton—Leibniz公式及其在高维的推广[J】.通化师范学院,2006(2):7—9 ?122?

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