第1章 矩阵知识补充
矩阵是多元统计
分析
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的基本工具。考虑读者已学过线性代数，本章补充一些必不可少的矩阵知识，作为多元统计分析的基础。未学过线性代数的读者，可以先自学一本线性代数书，再阅读本章 。
本书中向量和矩阵全用黑体字表示。
以
为对角线上元素的矩阵记为diag(
),即
diag(
)=
1.1矩阵的谱分解
定理1.1（矩阵的谱分解） 设实对称矩阵
的特征值和相应的单位特征向量是
，其中
两两正交；则
。 (1.1)
证明 因为
实对称，存在正交阵
，使得
，其中
是以
为元素的分块矩阵；
是对角阵，对角线上元素为
。于是
。
根据分块矩阵乘法原理，
。
定义1.1 （1.1）式称为
的谱分解。当特征值无重根时，单位特征向量在不计正负号条件下是唯一的，即同一个矩阵只有同一形式的谱分解。
当特征值有重根时，由于单位特征向量不唯一，同一个矩阵可以有不同形式的谱分解。
例1.1
。
的特征值和相应的单位特征向量是
所以
例1.2（谱分解形式不唯一）若
A的特征值为1，1；相应的特征向量是
，
其中
是任意常数。A的谱分解就可以是
容易证明，当
全不为零时，
。
1.2 矩阵开平方与比较
定义1.2（半正定矩阵）设
为实对称矩阵，对任何实向量
有
，则称
为半正定矩阵。
容易看出，正定矩阵也是半正定矩阵，且有
定理1.2 正定矩阵的特征值必为正实数。半正定矩阵的特征值必为非负实数。
定义1.3（半正定矩阵的算术平方根）：设
是半正定矩阵，它的谱分解是
，则
(1.2)
称为
的算术平方根，简称为
的平方根。
显然，当特征根无重根时，半正定矩阵谱分解形式上唯一，从而矩阵的平方根是唯一的。当特征根有重根时，学者可以自证：半正定矩阵谱分解形式上不一定唯一，但这时矩阵的平方根是唯一的。例如
其中
，
这时
与
无关。
例1.3
的特征值和相应的单位特征向量是
，
所以
定理1.3
是半正定矩阵且
。
证明 由(1.2)可见
是半正定阵；(1.2)两边平方，左边是
，由特征向量的正交性，右边是
，
从而命
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
得证。
一般矩阵是不能比较大小的，但是对于半正定矩阵，在一定条件下，可以比较
定义1.4 设
都是半正定矩阵，且
半正定，则称
。
由半正定定义容易证明，当
时，
对角线上元素全大于
对角线上相应元素，例如
是正定阵，所以
这时
，
。
1.3.矩阵的迹
定义1.5 设
是方阵，其对角线上元素之和
，称为
的迹，记为
。
定理1.4 （1）设A,B是同阶方阵，c,d是常数，则 tr(cA+dB)=c*tr(A)+d*tr(B),
(2)设A 是
阵,B 是
阵，则 tr(AB)=tr(BA)
如果A是对称的
矩阵，其特征值为
（I=1,2,3,,n），则
(3) tr(A)=
,
（4）
（5）
（若A非奇异）
证明 （1），（2）可直接由迹的定义验证。
（3）因为存在正交阵
，使
，所以
（4）因为
，所以
。
（5）因为
，所以
。
1.4 矩阵微商
矩阵微商
内容
财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容
较多，根据需要，仅介绍如下定理。
定理1.5 设
是常数，
是n维常数向量，
是n阶常数矩阵，
是自变量，记自变量向量
，
是n元函数；记梯度
；
则
；
证明
。其余各式同样得证。
1.5 分块矩阵的逆
定理1.6 设
和
都是对称的，且
和
的逆都存在，则
（1.3）
其中
。
证明 经化简，
。
1.6 有关矩阵不等式
下列矩阵不等式和极值定理可导出多元统计的极值定理。
定理1.7（二次型极值）设
是p阶正定矩阵，其特征值
，对应的彼此正交单位向量是
，则对一切p维是向量
，
且
，
。
证明 因为
实对称，存在正交阵
，使得
，其中
是以
为元素的分块矩阵；
是对角阵，对角线上元素为
。令
，则
当
时，由矩阵谱分解
定理的其余部分类似可证，留为作业。
练习题
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1.1设矩阵
求A的谱分解和算术平方根。
1.2 设
用SAS软件求A的谱分解，把特征值从大到小排序，指出最大，第2大特征值对应的单位特征向量，并求
。
1.3设
求
。
1.4设
用矩阵微商公式求
。
1.5证明
浙公网安备 33021202002483