四边形复习培优提高练习测试

四边形 提高 2．如图，ABCD为正方形，E是CF上一点，若DBEF是菱形，则∠EBC=________。 （A）15° （B）22° (C)30° (D)25° 3．如图，若△ABC的边AB=2，AC=3，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示以AB、BC、AC为边的正方形，则图中三个阴影部分面积之和最大值为________。 4．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC(BC＞AD),∠D=90°,BC=CD=12, ∠ABE=45°。若AE=10，则CE的长为________。 5．已知在ABCD中，点E、F分别在AB、AD上。 （1）若AB=10，AB与CD间距离为8，AE=BE，BF=FC，求△DEF的面积； （2）若△ADE、△BEF、△CDF的面积分别为5、3、4，求△DEF的面积。 6．如图，P为ABCD内一点，过P点分别作AB、CD的平行线，交平行四边形于E、F、G、H四点，若SAHPE=3，S PFCG=5，求S△PBD。 7．如图，梯形ABCD中，AB∥DC，DE∥BC。问S△ABE与S△ACD相等吗？请说明理由。 8．ABCD中，有一点P，使∠APD=∠ADP。连接AP、BP、DP、CP，求证∠PAD=∠PCB。 9．如图，△ABC的两条高AD、BE交于点H，边BC、AC的垂直平分线FO与GO相交于点O。求证：OF=0.5AH，OG=0.5BH。 18．若四边形的四条边长a、b、c、d满足a4+b4+ c4+ d4=4abcd。求证：该四边形是菱形。 19．如图，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P。 （1）若AG=AE，证明：AP=AH； （2）若∠FAH=45°，证明：AG+AE=FH； （3）若Rt△GBH的周长为1，求矩形EPHD的面积； （4）若矩形AEGP的面积为矩形PFCH面积的一半，求∠FAH的度数。 23．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AC，∠BAC=90°，BD=BC，BD交AC于O。求证：CO=CD。 1．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ） （A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007 10．如图，在ABCD中，AE⊥BC于点E，E恰为BC的中点，tanB=2。 （1）求证：AD=AE； （2）如图，点P在线段BE上，作EF⊥DP与点F，连接AF。求证：DF－AF=AF； （3）请你在图中画图探究：当P为线段EC上任意一点（P不与点E重合时），作EF⊥直线DP，垂足为点F，连接AF。线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论。 11．如图，在菱形ABCD与菱形BEFG中，点A，B在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC，若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG与PC的位置关系及PG：PC的值。 （1）写出上面问题中PG与PC的位置关系及PG：PC的值； （2）将菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一直线上，原问题中其他条件不变。你在（1）中得到两个结论，它们是否变化？写出你的猜想并加以证明。 （3）若∠ABC=∠BEF=2а（0°＜а＜90°），将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中其他条件不变，请你直接写出PG：PC的值。 12．在ABCD中，∠A的平分线分别与BC及DC的延长线交于点E、F，点O、O1分别为△CEF、△ABE的外心． (1)求证： O、E、O1三点共线； (2)求证：若∠ABC = 70°，求∠OBD的度数。 13．如图，EFGH的顶点分别在矩形ABCD的四条边上，且HG∥ AC。求证：EFGH的周长为定值。 14．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片还原，使点D与P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点，再将纸片还原。 （1）当x=0时，折痕EF的长为 ；当点与E与A重合时，折痕EF的长为 ； （2）请求出使四边形EPFD为菱形的x的取值范围，并求出x=2时练习的边长： （3）令EF2为y，当点E在AD，点F在BC上时，写出y与x的函数关系式。当y取最大值时，判断△EAP与△PBF是否相似；若相似，求出x的值；若不相似，请说明理由。 15．有矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合。 （1）如果折痕FG分别与AD、AB交于点F、G，AF=，求DE的长； （2）如果折痕FG分别与CD、DA交于点F、G，△AED的外接圆与直线BC相切，求证折痕FG的长。 16．在矩形ABCD中，有一内接菱形PQRS。P、Q、R、S分别在AB、BC、CD、AD上，且BP=15，BQ=20，PR=30，QS=40。若矩形ABCD的周长为一个即约分数，分子为m，分母为n，求m+n的值。 17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（－8，0），直线BC经过点B（－8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转а度得到四边形OAB'C'，此时直线OA’、直线B’C’分别与直线BC相交于点P、Q。 （1）四边形OABC的现状是 ，当а=90°时，BP：BQ的值是 ； （2）①如图，当四边形OA’B’C’的顶点B’落在y轴正半轴时，求BP：BQ的值； ②如图，当四边形OA’B’C’的顶点B’落在直线BC上时，求△OPB'的面积； （3）在四边形OA’B’C’旋转过程中，当0＜а°≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使BP=0.5BQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 20．正方形ABCD中，有一小正方形EFGH。连接AE、BF、CG、DH，取它们各自的中点W、X、Y、Z。求证：四边形WXYZ是正方形。 21．过正方形ABCD的顶点A作线段AE使DC=DE，交DC于G，作DF⊥AE，连接CE。 （1）若∠CDE=60°，AB=1，求DF的长； （2）作∠CDE平分线，交AE于P，交CE与Q，连接BP，求证：DP+BP=AP； （3）若AD=2，DF=1，求PQ的长。 22．如同，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD于点F。（1）EF+0.5AC =AB； （2）点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点A1从点A出发，沿着BA的延长线运动，点C1与点A1运动速度相同，当动点C1停止运动时，另一动点A1也随之停止运动。如图，AF1平分∠B A1 C1，交BD于F1，过F1作F1E1⊥A1 C1，垂足为E1，试猜想F1E1，0.5 A1 C1与AB之间的数量关系，并证明你的猜想。 （3）在（2）的条件下，当A1 C1=3，C1 E1=2时，求BD的长。 23．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AC，∠BAC=90°，BD=BC，BD交AC于O。求证：CO=CD。 24．如图，在等腰梯形ABCD中，G为对角线交点，△ADG、△GBC为正三角形。F、E、H为AG、BG、DC的中点。 （1）求证：△EFH为正三角形；（2）若AD=2，BG=3，求S△EFH； （3）若S△EFG：S△AGB=7：8，求AD：BC。 （选做）★★★25．如图，在西洋棋盘上，有四位骑士。请把棋盘分成四个全等的部分，使每部分都有一位骑士。 （选做）★★26．平行四边形ABCD四边AB、BC、CD、DA上依次有P、Q、R、S四点。求证：△APS、△BPQ、△CQR、△DRS的外心相连构成一个平行四边形。 参考答案 1．B；2．C；３．由等底等高得三个部分面积等，所以∠BAC=90°时,S总和为９；4．6； 5．(1)略（2）8；6．1；7．略；8．过P作BC平行线，交AB于Z，交CD于X，用“边角边”证明△APZ 、△PCX相似；9．取CH中点为V，连接GV、FV，得OGVF为一个平行四边形；10．（2009北京模拟）（1）略；（2）作∠DAG=∠FAE，交BC于G；（3）略；11．（2008北京）（1）PG⊥PC，PG：PC=（2）没变，延长GP交AD于H，证△CDH≌△CBG（3）PG：PC=tan（90°－а）；12．（2006全国初中数学联合竞赛决赛）（1）用相似三角形（2）35°,在AD上截取AX=AB，∠XBC=70°，用相似三角形证明∠XBD=∠OBC；13．设AC与EH、FG交于Z、X，通过角的转化证明∠AEH=∠FGC，再证明△AEZ≌△GCX；14．（1）3，（2）1≤x≤3，1.25（3）作EH⊥BC，得△DAP∽△EHF，所以y=9x2+9，得△EAP∽△PBF，x=3－；15．（2006南京）（1）（2）列方程，FG=；16．即约分数为，m+n=677；17．（2009宁波）（1）略（2）①②18.75（3）P在线段OA’上，P（－1.75，6），P在OA’延长线上,P(－9－1.5，6)；18．得a4—2a2b2+b4+c4—2c2d2+d4=4abcd—2a2b2—2c2d2→（a2—b2）+（c2—d2）=﹣2（a2b2—c2d2）；19．（第一二三为2009广东）（1）略（2）把△DAH顺时针旋转90°（3）0.5（4）45°，方法为（2）中的逆式；20．把BYFHWC逆时针旋转90°；21．（1）略（2）证∠DPF=∠ABD=45°，根据四点共圆得∠APB=∠ADB=45°，再作BP垂线构造等腰RT△；（3）略；22．（1）略（2）F1E1+0.5 A1 C1=AB，证∠DF1A1=∠DA1F1，得DF1= DA1，过F1作AB垂线，交AB于X，交CD于Z，得X F1= F1E1，ZF1=0.5 A1 C1（3）BD=3.5；23．得梯形的高为底的一半，即为BD的一半，所以∠BDC=30°；24．EF为CD一半，连接DF、CE，用斜中线定理得EH、FH为CD一半（2）（3）AD：BC=1：2；25．答案如下；26．证明该四个外心构成的四边形的一组对边在大平行四边形的一组临边所在的两个方向上的竖直投影相等，再写同理可证……