高二第一学期校本教材4

第十一章 坐标平面上的直线 卢伟 11．1、直线的方程(1)——点方向式方程 一、主要内容 学习目标1．了解方程的图形．图形的方程． 2．了解直线的方向向量．了解直线的法向量． 3．掌握求直线的点方向式方程的方法．掌握求直线的点法向式方程的方法． 二、典型例 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 例1、下列各点中，在直线x-2y-6=0上的是(B) (A)(1，0) (B)(2，-2) (C)(2，3) (D)(4，1) 解：分别代入个选项，1-2×0≠0，A不符合，同理C，D不符合，2-2×(-2)-6=0，所以选(B) 点评 点是否在直线上，即点的坐标是否符合直线的方程．几何的位置关系坐标化 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示，式研究解析几何的已知基本方法． 例2、已知 的三个顶点分别为A(1，2)．B(5，8)．C(3，6)，点M为AB的中点，点N为AC的中点，求直线MN的方程． 思路点拨：MN为三角形的一条中位线，则 可以看做是直线MN的一个方向向量． 解：由中点 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ，得 是直线MN的一个方向向量， 所以直线MN的方程为： ． 点评：点方向求方程的关键是求出直线的方向向量． 例3、已知 的三个顶点分别为A(1，1)．B(5，4)．C(3，8)，过点A作直线 ，它把 的面积分成1：3两部分，求直线 的方程． 思路点拨：可设 于BC相交于点D，D式向量 的四等分，先求出D的坐标． 解：设D的坐标为 ，则 =3 或 = EMBED Equation.DSMT4 ，由定比分点公式可求得D点坐标为 或 ，则直线 的方向向量为 = 或 ，因此直线 的 为 或 ． 点评：由两点求直线，两点所确定的向量可以看做一个方向向量． 三、精选习题 A组习题 1．判断 (1)经过点 且与向量 = 平行的直线L的点方向式方程为 ( ) (2)直线L的方向向量都相等． ( ) (3)直线 的一个方向向量为 ． ( ) 2．选择题 (1)若直线L的点方向式方程为 ，则直线L经过点( )． (A)(1，2) B(1，-2) (C)(1，3) (D)(1，-3) (2)若直线L的点方向方程为 ，则直线L的有一个方向向量可以是( )． (A)(-1，2) (B)(-1，1) (C)(1，-2) (D)(2，-1) 3．求国电p且与向量 平行的直线L的点方向式方程； (1) (2) (3) (4) 4．求经过点 5．已知直线L的方程为 ，求直线L的一个方向向量． 6．已知平行四边形ABCD的三个顶点 ，求四条边A(B)B(C)CD和 DA所在的直线的点方向式方程． 7．点 在 两点所连得直线上，求y的值． 8．已知 的三个顶点 ．求： (1)AC边上的中线所在直线的点方向式方程； (2)BC边上的中垂线的点方向式方程． 9．直线L过点(3，1)，方向向量为(5，2)，求L与坐标轴所围成三角形的面积． 10 ． 的三个顶点的坐标为A(1，1)．B(5，4)．C(3，8)，过点A作直线L，它把 的面积分成1：3两部分，求直线L的方程． 11．1、直线的方程(2)——点法向方程 一、主要内容 学习目标：1．了解直线的法向量． 2．掌握求直线的点方向式方程的方法．掌握求直线的点法向式方程的方法． 二、典型例题 例1 、已知A(2，3)，D(5，-1)是正方形ABCD的两个顶点，试求正方形的边AB所在的直线方程． 解：因为 ，所以直线AB的法向量 ，则AB所在的直线方程是3(x-2)-4(y-3)=0． 点评：求点法方向方程，关键是找出直线的法向量． 例2 、求过点C(1，-2)且与连坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程． 思路点拨 结合图像，将题意转化为直线的法向量． 解：由题意知，所求直线的法向量为 =(1，1)或 =(-1，1)则直线的方程是 或 ． 点评 点的坐标和直线的法向量是求点法向量式方程的关键． 例3 、若坐标原点O在直线 的射影点H的坐标是(-4，2)，求直线 的方程． 解：由题意知，所求直线的法向量为 ，则所求直线的方程为(-4) (x+4)+2 (y-2)=0． 点评：关键是得出 ，为直线 的法向量． 三、精选习题 A组习题 1．求经过点P且垂直于向量 的直线的点法向式方程： ； ． 2．求经过点P，且与经过P，Q两点的直线垂直的直线的点法向式方程： 3．原点在直线L上的投影为 ，求L的方程． 4．求下列直线的一个法向量： ； ； ； ； 5．求过点 ，且以直线 的法向量为方向向量的直线程． 6．(1)直线 轴交于 ，与轴交于 ，求直线 的方程； (2)将(1)所求的直线 ，绕点 逆时针旋转 ，得新直线 ，求直线 的方向向量与法向量； (3)求直线 的方程． 7．已知 是正方形ABCD的两个顶点，试求正方形四边所在的直线方程． 11．1、直线的方程(3)——综合 一、主要内容 学习目标1．掌握点方向式方程．点法向式方程运用的条件． 2．熟练的求解点方向式方程．点法向式方程． 3．灵活运用点方向式方程．点法向式方程解决具体问题． 二、典型例题 例1、三角形ABC中，已知 ，求： (1) 边所在的直线方程． (2) 边上的高AH所在的直线方程． 解： =(-5，1) (1)BC边所在直线经过点B(3，4)且与BC平行，根据点方向式方程，所求直线方程为 ． (2)高AH所在直线经过点 ，且与BC垂直，根据点法向式方程，所求直线方程为 ． 点评：根据题目条件寻找确定直线的两个独立条件(位置和方向)，从而求出直线方程． 例2、正方形ABCD的顶点A坐标为(-4，1)，它的中心M的坐标为(0，3)，求正方形的两条对角线AC，BD所求直线方程． 解： ，对角线AC所在的直线方程经过点A，且 是它的一个方向向量． 所以其它方程为 ． 对角线BD所在直线方程经过点M，且以 是它的一个法向量， 所以其方程为 ． 点评：本题直线AC的求解，也可以利用两点式方程．直线BD的方程，也可利用BD上任意一点 到(A)C的距离相等来求的． 例3、(1)求过点 ，且平行于直线 的直线方程；(2) 是 的一个法向量，也是所求直线的方向向量，由点方向式方程知，所求直线方程是 ． 点评 本题解题的关键是利用直线的法向量和方向向量的关系互相转化． 三、精选习题 A组习题 1．已知点A(1，2)和B(-2，-1)是直线 上两点，则直线 的一个方向向量为__________，一个法向量为__________． 2．若直线 的一个法向量 =(2，3)，点A(-1，-2)和点B(m，4)是直线 上的两点，则m=__________． （1） 3．已知 的三个顶点分别为 ，求： （2） AB边所在直线 的方程； （3） AC边上的高BH所在直线的方程； （4） 设AB中点与AC中点分别为点E．F，求EF所在直线的方程． 4．已知矩形ABCD中，点A和C的坐标分别为(2，4)和(-8，2)，且AB边所在直线与向量 =(1，1)平行．求： (1)A(D)CD两边所在直线的方程； (2)点B的坐标． 5．若平行四边形的两条对角线交点为(1，1)，一条边所在直线方程为 ，求该边的对边所在直线方程． 6．已知两点 ，在坐标轴上求一点P，使得 ． 7．如图，设 证明：BC边所在的直线必过定点，并求此定点． 11．2、直线的倾斜角和斜率(1)——点斜式方程 一、主要内容 学习目标1．了解直线倾斜角和斜率的意义． 2．掌握直线的倾斜角．斜率．方向向量之间的关系及相互转化． 3．掌握已知直线的倾斜角和斜率．求直线方程． 二、典型例题 例1、已知 ， ，求过A，B两点直线的斜率． 解：过A，B两点直线的方向向量是 ，因为 ，所以 ． 点评：这个结论运用是否广泛所以应将其当做一个公式记住，并且合理运用． 例2、已知两点 ，求直线AB的斜率 和倾斜角 ． 解：当 =3时，直线AB平行于y轴，所以 不存在， 当 时， 当 >3时， 当 <3时， 点评 利用斜率求倾斜角时，往往用到反三角知识． 例3、(1)过点(-3，2)，求直线 ，使其倾斜角为x-y+5=0的两倍； (2)过点(-3，2)求直线 ，使其倾斜角为2x+y-1=0的两倍． 解：(1)因为x-y+5=0的斜率k=1，倾斜角 ，所以 的倾斜角 ， 这时斜率不存在，所以方程为x=-3． (2)因为2x+y-1=0的斜率k=-2，倾斜角 ，所以 的倾斜角 ， 则由于 ，所以 ，所以直线方程为y-2= (x+3)， 整理得4x-3y+18=0． 点评：点斜式求直线方程，对斜率是否存在，需分别处理． 三、精选习题 A组习题 1．求经过下列两点的直线的斜率和倾斜率： 2．已知直线 经过点P且倾斜率为a，求直线 的点斜式方程： 3．已知直线 的倾斜角为 ，直线 的斜率是 的斜率的 倍，求直线 的倾斜角． 4．已知直线 经过点 和点 ，求直线 的斜率和倾斜率． 5．若直线的倾斜角a满足 ≤1，求倾斜角a的取值范围． 6．已知直线 的点斜式为 ，直线 过点 且倾斜角比 的倾斜角大 ，求直线 的直线方程． 7．已知直线 经过点 ，且与以 ． 为端点的线段AB相交，求 此直线的斜率 的取值范围． 8．(1)将过 ，且一个方向向量为 EMBED Equation.DSMT4 的直线 的方向式方程化为点斜式方程； (2)将过 ，且一个方向量 的直线 的点法向式方程化为点斜式方程； (3)将过 ，且斜率为 的直线 的点斜式方程分别化为点方向式方程．点法向式方程． 11．2、直线的倾斜角和斜率(2)——一般式方程 一、主要内容 学习目标1．了解直线方程一般式的形式． 2．掌握直线方程一般式的系数与方向向量．法向量之间的关系． 二、典型例题 例1、已知直线方程5x-2y+=0，试求直线的一个方向向量．法向量． 解：原方程已经变形为5(x-1)-2(y-3．5)=0，也可变形为， ， 由直线的点法向式，向量(5，2)式直线的一个法向量； 由直线的点方向式知，向量(2，5)是直线的一个方向向量． 点评：本题式一道开发题，在解题过程中，变形后的方程可以多种多样，求解的结果也可以不唯一． 例2、已知直线 过点M(2，4)，且与直线2(x-4)+3(y-2)=0垂直，求直线 的方程． 解：由直线方程2(x-4)+3(y-2)=0知，向量 =(2，3)是它的一个法向量，又直线 与直线2(x-4)+3(y-2)=0垂直，所以 =(2，3)是直线 的方向向量．而 过点M(2，4)，所以直线 的点方向方程为 ，即3x-2y+2=0． 点评：通过位置和关系求解直线方程，往往化为一般式． 例3、求经过P(-3，4)，Q(2，-1)的直线 的方程，将直线 围绕点P顺时针转 ，得到直线m，再求m的方程． 解：方向向量 =(5，-5)，直线 的点方向式方程： ，即x+y-1=0 由题意知，直线m的法向量为 =(5，-5)， 所以直线m的点法向量方程为5(x+3)+(-5)(y-4)=0，整理得到m的一般式方程为x-y+7=0 点评：根据不同的条件，选择不同的直线方程． 三、精选习题 A组习题 1．请将下列直线方程化为一般式方程； 2．求直线方程： (1)直线过点 ，且与 平行； (2)直线过点 ，且 垂直； (3)直线与y轴交点为(0，3)，且 垂直； (4)直线过 ，且与 平行． 3．已知 ，写出A(B)B(C)AC所在的直线方程，并判断 是什么三角形？ 4．已知 是以 为直角的三角形，三个顶点的坐标分别是 ，求 的值及直线AC的方程． 5．求直线 EMBED Equation.DSMT4 关于原点对称的直线方程． 6．直线 经过 ，且与 围成的三角形的面积为4，求直线 的方程． 7．一条光线从点 ，经过 轴上点 反射后，通过点 ，求点 的坐标． 11．2、直线的倾斜角和斜率(3)——直线方程互化 一、主要内容 学习目标1．掌握直线方程的四种形式． 2．掌握四种形式之间的转化． 当直线的方向向量 时，直线的不同形式的方程之间可以互化的， 如下表： 直线方程 方向向量 法向量 斜率 二、典型例题 例1、求直线 的斜率．倾斜角．一个方向向量和一个法向量． 解：对于一般的直线方程 ，斜率 ，方向向量 ，法向量 ． 点评：本题考察学生对方程形式的识别，是否掌握斜率．倾斜角．方向向量和法向量的求解． 例2、求下列直线方程所表示的斜率． (1) (2) 解：(1)对于方程 ，其斜率 ，则 的斜率 (2)对于方程 ，其斜率的求取． 例3、直线 经过点 ，求直线 的倾斜角 ． 解：直线 的方向向量 当 时，直线 垂直于 轴， ；当 时， 若 ＞1， ＞0， 若＜1， ＜0， 综上：倾斜率 点评：本题主要考察分类思想的应用． 三、精选习题 A组习题 1．已知直线 与向量 平行，指出 的斜率与倾斜率： (1) EMBED Equation.DSMT4 ； (2) EMBED Equation.DSMT4 ＜ < EMBED Equation.DSMT4 ； (3) ． 2．求下列方程所表示的直线的斜率．一个方向向量与一个法向量： (1) (2) (3) (4) 3．已知直线 ： 与直线 ： ，若 的方向向量是 的法向量，求a的值． 4．直线 的方向向量也是直线 的方向向量，求a的值． 5．已知直线 的方程是 若 与 轴平行，求a的值． 6．(1)将过 EMBED Equation.DSMT4 ，且一个方向向量为 = 的直线 的点方向式方程化为点斜式方程； (2)将过 EMBED Equation.DSMT4 ，且一个法向量为 = 的直线 的点法向式方程化为点斜式方程； (3) 将过 EMBED Equation.DSMT4 ，且斜率为 的直线 的点斜式方程分别化为点方向式方程，点法向式方程和一般式方程． 7．已知直线 的方程率为 EMBED Equation.DSMT4 ．(1)求直线 的斜率；(2)当 变化时，求 的倾斜角的取值范围． 8．已知直线 ， ，其中 ＜ ＜ ，当 ． 与两坐标轴围成一个四边形，且该四边形的面积是小时，求 与 的方程． 11．3、两条直线的位置关系(1)——相交，平行于重合 一、主要内容 学习目标：1．会根据两条直线的方程的系数行列式，判断两条直线是否相交，平行或重合． 2．能利用直线的法向量(或方向向量)，讨论两条直线具有平行关系或垂直关系时它们的方程的系数应满足的条件． 3．对于两条相交直线，能求出交点的坐标和夹角． 二、典型例题 例1 判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标． (1) ， ． (2) ． (3) ． 解：(1)解方程组 ． D=-64， =-148， =-81． ， ． 因此两直线相交，交点为 ． (2)解方程组 ． 两直线相交，交点为 ． (3)解方程组 ． D=0， =-116． 所以方程组无解，两直线平行． 例2 讨论下列各组直线之间的位置关系： (1) ． (2) ． 解：(1)对于方程组 ． D=-m(m+1)(m-3)． =2m(m+3)(m-3)． =4(m-3)． 所以当D≠0，即m≠0，-1，3时，方程组有唯一解，即两直线相交． 当D=0，即m=0，-1，3时 当m=0时， =0， =-12，方程组无解，两直线平行． 当m=-1时， =16， =-16，方程组无解，两直线平行． 当m=3时， =0， =0，方程组有无穷多组解，两直线重合． (2)先把直线方程改写成一般方程，得到方程组． ． D= ， = ， = ． 当D≠0，即 时，两直线相交． 当D=0，即 时， ．所以，当 =0时 ，两直线重合；当 ≠0时， ，两直线平行． 三、精选习题 A组习题 1．判断下列各组直线的位置关系；如果他们相交，求其交点坐标： (1) (2) ． (3) ． (4) ． 2．讨论下列各组直线之间的位置关系： (1) (2) ． 3．直线 与直线 的交点在第二象限，求实数 的取值范围． 4． 为何值时， ， 这三天直线不能构成三角形． 5．已知直线 ，则它们的图像可能是( ) 6．写出直线 ， 互相平行．重合．垂直的充要条件 7．求证：不论 为何实数时，直线 恒通过一个定点． 11．3、两条直线的位置关系(2)——夹角 一、主要内容 学习目标：1．对于两条相交直线，能求出交点的坐标和夹角． 二、典型例题 例1 已知两条直线的方程分别是 ， ，求两直线的夹角 解： ； 因为 ，所以 ，即两直线的夹角为 ． 例2、已知直线 经过点 ，且与直线m： 的夹角为 ，求直线 的方程 解：方法一： 分两种情况讨论 (1)如果直线 的斜率存在，那么设 的方程为 ， 即 ． 因为 与m的夹角为 ，所以有 ． 解得 ． 的方程为 ． (2)如果直线 的斜率不存在，那么可得直线 的倾斜角为 ，由 经过点 ，得 的方程为x+2=0，它与m的夹角 满足 ． 即两直线的夹角也是 ． 由(1)(2)可知， 的方程为 或x+2=0． 方法二，设直线 的一个法向量为 ，则直线 的点法向式方程为： ． 整理，得 ． 因为 与m的夹角为 ，由两条直线的夹角公式，得 ． 整理，得 即 ． 当b=0时，直线 的方程为x+2=0． 当b≠0时， ，直线 的方程为 ． 所以，直线 的方程为x+2=0或 ． 三、精选习题 A组习题 1．求下列两条直线的夹角： (1) (2) (3) 2．已知直线 若 何 的夹角为 ，求 的值． 3．求直线 关于直线 对称的直线方程． 4．已知 的一个顶点是 ，内角(B)C的角平分线所在直线方程分别是 和 ，求BC所在的直线方程． 5．点 是直线 上的点，将直线 绕 沿逆时针方向旋转角 EMBED Equation.DSMT4 ＜ ＜ EMBED Equation.DSMT4 ，得到直线 ，若将它继续旋转角 EMBED Equation.DSMT4 ，得到直线方程是 ，求直线 的方程． 6．若直线 和 与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，求实数 的值． 7．(1)已知三点 ，试求向量 与 的夹角和直线BA与直线BC的夹角之间的关系． 8．已知 是公差 的等差数列，前 项和为 ． (1) 求证：点 在同一条直线 上； (2) 过点 作直线 ，设 于 的夹角为 ，求证： ≤ ． 11．3、两条直线的位置关系(3)——综合练习 1．如果直线 与直线 互相垂直，那么 的值等于( ) (A)-3 (B) (C) (D)3 2．两直线 和 都平行于直线 ，则 的 值应该是( )． (A) -3 (B) EMBED Equation.DSMT4 (C) EMBED Equation.DSMT4 (D) 3 3．过原点且与直线 成 角的直线方程是( ) (A) EMBED Equation.DSMT4 (B) (C) (D) 4．已知过点 和 的直线与直线 平行，则 ． 5．直线 绕它和 轴的交点按逆时针方向旋转 所得的直线方程为 ． 6．已知直线 与直线 平行，和两坐标的正半轴相交，且在第一象限内所成三角形的面积为18，求直线 的方程． 7．过点 作一条直线，使它被两条直线 和 所截得线段平分于点 ，求此直线方程． 8．如图，正方形ABCO中， ，求直线AO．O(C)A(B)BC的方程． 9．已知直线 ． (1) 求直线 与直线 的夹角的正切值； (2) 设直线 经过点 ，且与 的夹角等于 ，求直线 的方程． 10．已知 是边长为 的正三角形ABC所在平面内的任意一点，求证： ≥ 11．4、点到直线的距离(1) 舒适 一、主要内容： 1．理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式； 2．会用点到直线距离公式求解两平行线距离． 3．认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题． 二、典型例题： 例1、求点 到下列直线的距离． (1) ；(2) ． 解：(1)根据点到直线的距离公式得 ． (2)因为直线 平行于 轴，所以 ． 评述：此例题(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握； (2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没局限于公式． 例2、已知点 到直线 的距离不小于3，求 的取值范围． 解：由题意得 ， 即 ． 例3、求两平行线 ： ， ： 的距离． 解法一：在直线 上取一点P(４，0)，因为 ∥ ，所以点 到 的距离等于 与 的距离．于是 ． 解法二： ∥ 又 ． 由两平行线间的距离公式得 ． 例4、过点 的直线 与过点 直线 平行，且它们之间的距离为 ，求 与 的方程． 解 设 ： ． ： ． 由题意得 ． 解得 ， ． 当 时， ： ， ： ． 当 时， ： ， ： ． 三、精选习题 A组习题 1．求原点到下列直线的距离： (1) ；(2) ． 2．求下列点到直线的距离： (1) ， ；(2) ， ； (3) ， ． 3．求下列两条平行线的距离： (1) ， ，(2) ， ． 4．点 到直线 的距离为 ． 5．点 到直线 的距离是( ) (A) (B) (C) (D) 6．已知点 到直线 的距离d取下列各值，求 的值： (1) ，(2) ． 7．已知点 到直线x-y+3=0的距离为1，则 = ． 8．如果直线 过两直线 和 的交点，且与直线 垂直，则原点到直线 的距离是 ． B组习题 1、原点到直线的距离为 ( ) (A)1 (B) (C)2 (D) 2、点 到直线 的距离不大于4，则 的取值范围是 ． 3、到 轴， 轴和直线 的距离都相等的点的坐标是 ． 4、已知实数 满足 ，则 的最小值是 ． 5、与直线 垂直，且原点到其距离为1的直线方程是 ． 6、在坐标平面内，与点 的距离为1，且与点 的距离为2的直线共有( ) (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条 7、已知直线 在两坐标轴上截距相等，且点 到 的距离为5，求直线m的方程． 8．证明：已知两条平行线直线 和 的一般式方程为 ： ， ： ，则 与 的距离为 ． 11．4、点到直线的距离(2) 一主要内容 1、 能判断两点是在已知直线的同侧，还是在已知直线的异侧； 2、 进一步巩固点到直线的距离相关内容． 二、主要例题： 例1、已知点 ， ，试判断 、 是否在直线： 的同一侧． 解 ， ． 与 同号 、 两点在直线的同一侧． 例2、已知直线 ： ，与两点 ， ，若直线 与线段 相交，求 的取值范围． 解： ． ． 或 ． 所以 的取值范围是 ． 例3、已知 ， 当 变化时，坐标原点到经过 与点 的直线的距离是否变化？ 解：观察题目中两等式的特征，可构造直线是 ，原点到此直线的距离为 为定值． 故当 变化时，原点到经过 与点 的直线的距离为定值． 例4、已知直线 过点 ，且与点 的距离为4，求直线 的倾斜角． 解：当直线 的斜率存在时，设 的方程为 ，即 ． 由题意得 ． 即 ． 解得 ． 当 的斜率不存在时，则直线 的方程为 ，也满足与 的距离等于4． 所求直线 的倾斜角为 或 ． 三、精选习题 A组习题 1．点 到直线 的距离是( ) (A) (B) (C) (D) 2．已知点 和直线 ，点 到直线 的距离是 ，则 ． 3．已知两条平行直线 的距离是 ，则 ． 4．设点 ，若直线 与线段 有交点，则 ． 5．求两条平行线 和 的距离． 6．两平行直线 和 的距离为 ，则 ． 7．直线 经过点 且到原点的距离为1，则直线 的方程为 ． 8．已知直线 和 分别过点 和 ，且两直线间的距离为2，求直线 和 的方程． B组习题 1．点 到直线 的距离 的最大值是 ． 2．与平行直线 和 距离相等的直线方程是 ． 3．点 关于直线 对称的点的坐标是 ． 4．经过点 且与两点 、 距离相等的直线方程是 ． 5．与直线 平行，并且距离等于3的直线的方程为 ． 6．已知直线 过点 ，且被两平行直线 ： 和 ： 截得的线段长为 ，求直线 的方程． 7．若点 和点 到直线 的距离都等于5，求直线 的方程． 8．判断 两点是否在直线 的同一侧，并说明原因． 11．4、点到直线的距离(3) 一、 主要内容 能熟练运用点到直线的距离公式解决相关问题 二、典型例题 例1、已知两条互相平行的直线分别过点 和 ，并且各自绕点 、 以相同速度旋转，在旋转过程中，这两条平行线间的距离 是否有取值范围?若有，求出 的取值范围，并求出 取最大值时这两条直线的方程；若没有，说明理由． 解 有取值范围，且 ． 当 时，所求方程为 和 ． 设过 的直线方程为 ． 点 到该直线的距离为 即 ． ． 解得 当 时，两直线重合，故0舍去． 当 时， ． ． 过 、 的平行直线为 和 ． 即 和 ． 例2、已知三直线 ： ，直线 ： 和 ： ，且 与 的距离是 ． (1) 求 的值． (2) 能否找到一点 ，使 同时满足下列三个条件； eq \o\ac(○,1) 是第一象限的点． eq \o\ac(○,2) 到 的距离是 点到 的距离的 ． eq \o\ac(○,3) 点到 的距离与 点到 的距离之比是 ． 若能，求 点坐标；若不能，说明理由． 解：(1) 为 ， 与 的距离为 ． ， ． (2) 设存在点 满足 eq \o\ac(○,2)，则 点在与 ， 平行的直线 ： 上且 ． 即 或 ． 或 ． 若 点满足条件 eq \o\ac(○,3)，由点到直线的距离公式有 ． 即 ． 或 ． 在第一象限， 舍去． 联立方程 和 ． 解得 ． ． 即为同时满足条件的点． 例3、用解析法证明：等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于定值． 证明：建立直角坐标系，如图，设边长为2a，则A(0， a)，B(-a，0)，C(a，0)，直线AB的方程为 直线AC的方程为 直线BC的方程为y=0 设 是△ABC内任意一点， 则 ． ∵点P在直线AB，AC的下方， ∴ (定值)． 例4、已知三角形的三边AB、AC、BC所在的直线方程分别为3x+4y+2=0、3x-4y+12=0、4x-3y=0，求其内切圆的圆心坐标和半径． 解：设 为△ABC的内心，则P在AC的下方，在BC、AB的上方，于是有 ． ∴内切圆圆心的坐标为( )， 半径 ． 三、精选习题： A组习题 1．直线 过点 ，直线 过点 ；若 ∥ 且 表示 到 之间的距离，则d的取值范围是 ． 2．若 的三个顶点为 ， ， ，则 的面积为 ． 3．过点 且与两定点 、 等距离的直线方程为 ． 4．若点 和点 在直线 的两侧．则 的取值范围是 ． 5若动点 分别在直线 ： 和 ： 上移动，则 中点 到原点距离的最小值为( ) (A) (B) (C) (D) 6．求平行于直线 ，且与它的距离是7的直线的方程． 7．求垂直于直线 ， 且与点 的距离是 的直线的方程． 8．已知直线 的方程为 ，其中 为实数，点 到直线 的距离为 ，求 的最大值． B组习题 1．已知点 在直线 上，则 的最小值是__________． 2．若直线 与直线 是同一个圆的两条切线，则该圆的面积等于( ) 3．已知点 和直线 ： ，当 _______ 时，点P到直线 的距离最大． 4．已知两平行直线 分别过点 与点 ，且 的距离为5，求直线 的方程． 5．直线 过两直线 和 的交点，且与 的距离相等，求直线的方程． 6．正方形的中心在 ，一条边所在的直线方程是 ，求其它三边所在的直线方程． 7．过点 的直线 与以 ， 为端点的线段 有交点，求直线 的斜率与倾斜角的取值范围． 8．已知两点 ， 和直线 ．(1)若 到 的距离都等于3，求直线 的方程．(2)若 到 的距离都等于 ，这样的直线有几条？ 坐标平面上的直线单元基础练习 一、填空题 1．直线过原点且倾角的正弦值是 ，则直线方程为 ． 2．直线mx＋ny＝1(mn≠0)与两坐标轴围成的三角形面积为 ． 3．直线 当 变动时，所有直线都通过定点 ． 4．点(2，1)到直线3x (4y + 2 = 0的距离是 ． 5．直线x ( y ( 3 = 0的倾斜角是 ． 6．点((1，2)关于直线y = x (1的对称点的坐标是 ． 7．已知三条直线l1：y＝eq \r(3)x－1，l2：y＝1，l3：x＋y＋1＝0，l1与l2的夹角为α，l2与l3的夹角为β，则α＋β的值为 ． 8．直线xcosθ＋y－1＝0(θ∈R)的倾斜角的范围是 ． 9．直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平1个单位后，又回到原来位置，那么l的斜率为 ． 10．与直线l：3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程为 ． 11．直线过点 (－3，－2)且在两坐标轴上的截距相等，则这直线方程为 ． 12．已知两条直线l1：y＝x；l2：ax－y＝0(a∈R)，当两直线夹角在(0， )变动时，则a的取值范围为 ． 二、选择题 13．直线x+6y+2=0在x轴和y轴上的截距分别是( ) (A) (B) (C) (D)－2，－3 14．直线3x+y+1=0和直线6x+2y+1=0的位置关系是( ) (A)重合 (B)平行 (C)垂直 (D)相交但不垂直 15．直线x=3的倾斜角是( ) (A)0 (B) (C)( (D)不存在 16．设a、b、c分别为(ABC中(A、(B、(C对边的边长，则直线xsinA＋ay＋c＝0与直线bx－ysinB＋sinC＝0的位置关系( ) (A)平行； (B)重合； (C)垂直； (D)相交但不垂直 三、解答题 17．若0≤θ≤eq \f(π,2)，当点(1，cosθ)到直线xsinθ＋ycosθ－1＝0的距离是eq \f(1,4)时，求这条直线的斜率． 18．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程： (1)过定点A(－3，4)； (2)斜率为eq \f(1,6)． 19．已知点P(－1，2)、A(－2，－3)、B(3，0)，经过点P的直线l与线段AB有公共点时，求直线l的斜率k的取值范围． 20．已知直线l经过点(1，0)，且被两平行直线3x＋y－6＝0和3x＋y＋3＝0所截得的线段长为9，求直线l的方程． 坐标平面上的直线单元提高练习 一、填空题 1．已知a>0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝ ． 2．设直线l经过点A(－1，1)，则当点B(2，－1)与直线l的距离最远时，直线l的方程为 ． 3．直线2x＋3y－6＝0关于点M(1，－1)对称的直线方程是 ． 4．已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝x对称，直线l3⊥l2，则l3的斜率为 ． 5．设A、B为x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为 ． 6．已知点A(－3，－4)，B(6，3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于 ． 7．已知直线l经过A(2，1)，B(1，m2)(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是 ． 8．过点P(1，2)且在坐标轴上的截距相等的直线方程为 ． 9．过点(1，3)作直线l，若经过点(a，0)和(0，b)，且a∈N*，b∈N*，则可作出的l的条数为 ． 10．经过点P(1，4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为 ． 11．如果三条直线mx+y+3=0，x(y(2=0，2x(y+2=0不能成为一个三角形三边所在的直线，那么m的一个值是 ． 12．如上图，在平面直角坐标系xOy中，设三角形ABC的顶点分别为A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)；点P(0，p)为线段AO上的一点(异于端点)，这里a，b，c，p为非零常数．设直线BP、CP分别与边AC、AB交于点E、F．某同学已正确求得直线OE的方程为(eq \f(1,b)-eq \f(1,c))x+(eq \f(1,p)-eq \f(1,a))y=0．请你完成直线OF的方程：( ) 二、选择题 13．m＝－1是直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋3＝0垂直的( ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要要件 14．．已知直线l过点(a，1)，(a＋1，tanα＋1)，则( ) (A)α一定是直线l的倾斜角 (B)α一定不是直线l的倾斜角 (C)α不一定是直线l的倾斜角 (D)180°－α一定是直线l的倾斜角 15．已知A(－3，8)和B(2，2)，在x轴上有一点M，使得|AM|＋|BM|为最短，那么点M的坐标为( ) (A)(－1，0) (B)(1，0) (C)(eq \f(22,5)，0) (D)(0，eq \f(22,5)) 16．若点A(2，－3)是直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的公共点，则相异两点(a1，b1)和(a2，b2)所确定的直线方程是( ) (A)2x－3y＋1＝0 (B)3x－2y＋1＝0 (C)2x－3y－1＝0 (D)3x－2y－1＝0 三、解答题 17．直线l经过点P(－2，1)，且点A(－1，－2)到l的距离等于1，求直线l的方程． 18．已知A(0，3)、B(－1，0)、C(3，0)，求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A、B、C、D按逆时针方向排列)． 19．已知△ABC的一个顶点是A(3，－1)，∠B，∠C的平分线方程分别为x＝0，y＝x，求直线BC的方程． 20．过点P(3，0)作一直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程． 第12章 圆锥曲线 12．1、曲线与方程(1) 一、主要内容 1．理解曲线与方程的概念，能正确叙述曲线的方程和方程的曲线的定义． 2．能判断点是否在曲线上；能证明满足已知条件的曲线C的方程是给定的方程 ． 二、典型例题 例1、解答下列问题，且说出各依据了曲线的方程和方程的曲线定义中的哪一个关系？ (1)点 是否在方程为 的圆上？ (2)已知方程为 的圆过点 ，求 的值． 依据关系(1)，可知点 在圆上， 不在圆上． 依据关系(2)，求得 ． 例2、证明以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程是 ． 证明：i)设圆上任意一点 ， 由条件， ， 整理得 ； ii)以满足方程 的任意一组解 为坐标的点 ， ，即 ， 点 在以坐标原点为圆心，半径等于5的圆上． 综上，以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程是 ． 例3、认定以 为圆心，2为半径的圆的方程是 ．问 能否代替 ，为什么？ 解 以方程 的任一解 为坐标的点 满足 ，即 ，两边平方得， ，所以， 在以原点为圆心，2为半径的圆上．但是，以原点为圆心，2为半径的圆点上的点(如 在圆上)，却不是方程 的解(方程的解必须满足 )．所以 不能代替 ． 例4、若点 在曲线 上，则 ． 解 带入到曲线 上， 得： ． 因式分解得： ． 解方程得： 或 ． 三、精选习题 A组习题 1．如果曲线 上的点满足方程 ，则以下说法正确的是( ) (A)曲线 的方程是 ． (B)方程 的曲线是 ． (C)坐标满足方程 的点在曲线 上． (D)坐标不满足方程 的点不在曲线 上． 2．判断下列结论的正误，并说明理由． (1)过点 且垂直于 轴的直线的方程为 ； (2)到 轴距离为2的点的直线方程为 ； (3)到两坐标轴的距离乘积等于1的点的轨迹方程为 ； (4) 的顶点 ， ， ， 为 中点，则中线 的方程为 ． 3．方程 的曲线经过点 、 、 、 中的( ) (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 4．已知点A(-3，0)，B(0， )，C(4，- )，D(3secθ， tanθ)，其中在曲线 上的点的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 5．点 、 、 是否在方程 的图形上？ 6．(1)在什么情况下，方程 的曲线经过原点？ (2)在什么情况下，方程 的曲线经过原点？ 7．求证：由到 轴的距离等于５的点所组成的曲线的方程不是 8．证明动点 到定点 的距离等于 的轨迹方程是 B组习题 1．到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是( ) (A)x－y=0 (B) x+y=0 (C)|x|－y=0 (D)|x|－|y|=0 2．若点 在曲线 上，则 ____________ 3．条件 ：点 在直线 上，条件 ：点 在曲线 上，则 成立是 成立的__________条件． ４．当 ___________时，直线 与直线 的交点在圆 上． 5．设曲线C1和C2的方程分别为 和 ，则点 EMBED Equation.3 C1∩C2的一个充分条件为 __________． ６．方程 表示的图形是( ) 一条直线 两条相交直线 两条平行直线 圆 ７．如果两条曲线的方程 和 ，它们的交点 ，求证：方程 表示的曲线也经过 点．( 为任意常数) ８．已知直角三角形 的顶点是 ，求证直角顶点 的轨迹 的方程是 12．1、曲线与方程(2) 一、主要内容 1．了解什么叫轨迹，并能根据所给的条件，选择恰当的直角坐标系求曲线的轨迹方程； 2．掌握求曲线方程的一般步骤 二、典型例题 例1、设 两点的坐标是 、 ，若 ，求动点 的轨迹方程． 解：设M的坐标为 ，M属于集合P=｛Ｍ｜ ｝．由斜率公式，点M所适合的条件可表示为 ， 整理后得 ( ≠±1)． 下面证明 (x≠±1)是点M的轨迹方程． (1)由求方程的过程可知，M的坐标都是方程 (x≠±1)的解； (2)设点 的坐标 是方程 (x≠±1)的解， 即 ， ． ∴ ． 由上述证明可知，方程 (x≠±1)是点M的轨迹方程． 说明：所求的方程 后面应加上条件ｘ≠±１． 例2、已知一条曲线在 轴的上方，它上面的每一个点到 的距离减去它到 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程． 分析：这条曲线是到A点的距离与其到 轴的距离的差是2的点的集合或轨迹的一部分． 解：设点 是曲线上任意一点，MB⊥ 轴，垂足是B，那么点M属于集合P={M｜｜MA｜-｜MB｜=2}． 即 =2． 整理得 ， ∴ ． 因为曲线在 轴的上方，所以y＞0，虽然原点O的坐标(0，0)是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应是： ( ≠0)． 它的图形是关于 轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点． 例3、在△ABC中，已知顶点A(1，1)，B(3，6)且△ABC的面积等于3，求顶点 的轨迹方程． 解：设顶点 的坐标为 ，作 H⊥AB于H，则动点C属于集合P=｛ ｜ ｝，∵ ．∴直线AB的方程是 ，即 ． ∴｜ＣＨ｜＝ 化简，得｜ -3｜=6，即 -9=0或 +3=0，这就是所求顶点 的轨迹方程． 点评：顶点 的轨迹方程，就是定直线AB的距离等于 的动点的轨迹方程． 例4、已知定点A(4，0)和圆 上的动点B，点P分AB之比为2∶1，求点P的轨迹方程． 分析：设点P ，B ，由 =2，找出 与 的关系． 利用已知曲线方程消去 ，得到 的关系 (这种方法叫相关点法)． 解：设动点P 及圆上点B ．∵λ= =2， ． 代入圆的方程 ，得 ． 即 ． ∴所求轨迹方程为： ． 三、精选习题 A组习题 1．到 轴的距离等于２的点组成的曲线的方程是( ) 2．已知动点到两坐标轴距离之和等于3，则此动点的轨迹方程是( ) 3．定长为６的线段，其端点分别在 轴， 轴上移动，则线段AB的中点M的轨迹方程是 ． 4．已知点 和 ，则与点A的距离等于A与B的距离的点的轨迹方程是 ． 5．已知两点 和 ，则到这两点的距离的差的绝对值为10的点的轨迹方程是 ． 6．已知两定点 和 ，一动点 与 连线的夹角为 ，则动点 的轨迹方程是 ． 7．在 中， 的坐标分别是 和 ， 边上中线的长为3，求顶点 的轨迹方程． 8．求点P到点 的距离比它到直线 的距离小1的点的轨迹方程． Ｂ组习题 1．已知 ， ，是面积为4的 的两个顶点，则顶点 的轨迹方程为( ) 2．与 轴的距离和与点 的距离相等的点的轨迹方程是_______ 3．动点 与点 的连线斜率比它与点 连线的斜率大4，则点 的轨迹方程是______________ 4．已知平面上两定点 间的距离为2，与两定点距离的平方差等于常数1的点的轨迹方程是______________ 5．已知曲线 ，下列命题：(1)曲线关于 轴对称；(2)曲线关于 轴对称；(3)曲线关于原点对称；(4)曲线关于直线 对称；(5)曲线关于直线 对称．其中正确命题的序号是_______________ 6．过点P(2，4)作互相垂直的直线 ， ，若 交 轴于A， 交 轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程 7．已知 ， ，第三个顶点 在曲线 上移动，求 的重心的轨迹方程 8．已知曲线C的方程是 (1)曲线C关于点 对称的曲线 的方程； (2)曲线C关于直线 对称的曲线 的方程． 12．1、曲线与方程(3) 一、主要内容： 1．掌握求两曲线的交点的方法． 2．知道如何求两交点间的距离． 二、典型例题 例1、求直线： 与曲线 的交点坐标． 解 ， ． 两交点坐标为 ， ． 例2已知方程 和 ，当 为何值时，它们的曲线有两个交点？一个交点？没有交点？ 解 由 当 时，有两个交点；当 时，有一个交点；当 时，没有交点． 例3当 分别取什么值时，直线 与 (1)有两个交点； (2)有一个交点； (3)没有交点． 解 由图像得，该题目是直线与半圆之间的关系． (1) 当 ，有两个交点； (2) 当 ，有一个交点； (3) 当 ，没有交点． 例4若直线 与曲线 的两个交点恰好关于直线 对称，求 的值． 解 设两交点 分别为 ， ． 把 带入 得： ． 由对称知道： ，由韦达定理知： ． ． 三、精选习题 A组习题 1．若直线 与双曲线 仅有一个公共点，则实数 ． 2．直线 被抛物线 截得的线段长是 ． 3．若直线 的斜率是1，被圆 截得的弦长是2，则直线 的方程是 ． 4．若点 在曲线 上， 是原点，则 的最小值是 ． 5．若直线 与抛物线 交于两点 ，且 ，则实数 的值为 ． 6．若直线 和 有两个交点，求 的取值范围． 7．求直线： 与曲线C： 的交点坐标． 8．过不在坐标轴上的定点M 任作一直线，分别交 轴、 轴于A、B，求线段AB中点P的轨迹方程 B组习题 1．直线 与曲线 有两个公共点，则 的取值范围是 ． 2．曲线 与 的交点的个数为 ． 3．直线 被抛物线 截得的弦长为 ，则直线方程为 ． 4．已知直线l1：2x－y＋4＝0与直线l2平行，且l2与抛物线y＝x2相切，则直线l1、l2间的距离等于 ． 5．已知直线eq \r(3)x－y＋2m＝0与圆x2＋y2＝n2相切，其中m，n∈N*，且n－m<5，则满足条件的有序实数对(m，n)共有 个． 6．方程 在平面直角坐标系中所围成的封闭图形的面积是 ． 7．方程 和 的曲线有两个交点，则 的取值范围是 ． 8．设 ， ( )为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a( )，求P点的轨迹． ｙ ｘ Ｏ ｍ - 52 - _1406991430.unknown _1408087131.unknown _1408099697.unknown _1408102623.unknown _1408384684.unknown _1408386989.unknown _1408389216.unknown _1408475260.unknown _1408771569.unknown _1408773997.unknown _1408774586.unknown _1408775807.unknown _1408776465.unknown _1408781788.unknown _1408782013.unknown _1408782152.unknown _1408782248.unknown _1408782050.unknown _1408781961.unknown _1408781626.unknown _1408781723.unknown _1408776535.unknown _1408776090.unknown _1408776246.unknown