分块矩阵求逆方法的探讨

分块矩阵求逆方法的探讨 高　颖 （陕西国际商贸学院　７１２０４６） 【摘　要】介绍可逆矩阵的分块求逆方法，并针对不同类型的分块矩阵 给出相应的几种求逆方法 【关键词】分块矩阵；满秩矩阵；广义初等变换 对于阶数比较高的矩阵，我们常应用矩阵分块的技巧对其求 逆，下面分析并给出了不同分块矩阵的几种不同求逆方法． １解线性方程组法 设ｎ阶可逆矩阵Ｒ＝ Ａ１　Ａ２ Ａ３　Ａ〔 〕４ ，其中Ａ１，Ａ４分别是ｋ，ｎ－ｋ阶可 逆矩阵，Ａ２，Ａ３分别是ｋ×（ｎ－ｋ），（ｎ－ｋ）×ｋ阶矩阵，求Ｐ－１． 解 设Ｒ的逆矩阵Ｒ－１＝ Ｅ　Ｆ Ｇ　〔 〕Ｈ ，其中Ｅ，Ｈ分别是ｋ，ｎ－ｋ阶可逆 矩阵，根据逆矩阵的定义ＲＲ－１＝Ｉ， 有 Ａ１　Ａ２ Ａ３　Ａ〔 〕４ Ｅ　Ｆ Ｇ　〔 〕Ｈ ＝ Ａ１Ｅ＋Ａ２Ｇ　Ａ１Ｆ＋Ａ２Ｈ Ａ３Ｅ＋Ａ４Ｇ　Ａ３Ｆ＋Ａ４〔 〕Ｈ ＝ Ｉｋ　０ ０　Ｉｎ－〔 〕ｋ ，故得 下列方程组 （Ⅰ） Ａ１Ｅ＋Ａ２Ｇ＝Ｉｋ Ａ３Ｅ＋Ａ４Ｇ｛ ＝０，（Ⅱ） Ａ１Ｆ＋Ａ２Ｈ＝０ Ａ３Ｆ＋Ａ４Ｈ＝Ｉｎ－｛ ｋ ． 得：Ｇ＝－Ａ－１４ Ａ３Ｅ，Ｅ＝（Ａ１－Ａ２Ａ－１４ Ａ３）－１， 将（２）代入（１）得Ｇ＝－Ａ－１４ Ａ３（Ａ１－Ａ２Ａ－１４ Ａ３）－１．关于方程 组 （Ⅱ），Ｈ ＝ （Ａ４ － Ａ３Ａ－１１ Ａ２）－１，Ｆ ＝ － Ａ－１１ Ａ２ （Ａ４ － Ａ３Ａ－１１ Ａ２）－１，故Ｒ－１＝ Ａ１　Ａ２ Ａ３　Ａ〔 〕４ －１ ＝ （Ａ１－Ａ２Ａ－１４ Ａ３）－１　　　－Ａ－１１ Ａ２（Ａ４－Ａ３Ａ－１１ Ａ２）－１ －Ａ－１４ Ａ３（Ａ１－Ａ２Ａ－１４ Ａ３）－１　　（Ａ４－Ａ３Ａ－１１ Ａ２）〔 〕－１ （３） 例１　已知Ｐ＝ ３　３ －４ －３ ０　６　 １　 １ ５　４　 ２　 １ 烒 烓 烖 烗２ ３ ３ ２ ，求证Ｐ可逆，并求其逆． 解　令Ｐ＝ Ａ１　Ａ２ Ａ３　Ａ〔 〕４ ，Ａ１＝ ３　３ ０　〔 〕６ ，Ａ２＝ －４ －３〔 〕１　 １ ，Ａ３＝ ５　４ ２　〔 〕３ ，Ａ４＝ ２　１ ３　〔 〕２ ．显然Ａ１，Ａ４ 均为２阶可逆矩阵，易求得Ａ－１１ ＝ １ ３ － １ ６ ０ 烒 烓 烖 烗 １ ６ ，Ａ－１４ ＝ ２　－１ －３　〔 〕２ ，而Ａ１－Ａ２Ａ－１４ Ａ３＝ ２　５ ３　〔 〕７ ， Ａ４－Ａ３Ａ－１１ Ａ２＝ ５３ ６ ３７ ６ ３３ ６ ２３ 烒 烓 烖 烗６ ．故（Ａ１－Ａ２Ａ－１４ Ａ３）－１＝ －７　５ ３　〔 〕－２ ， （Ａ４ － Ａ３Ａ－１１ Ａ２）－１ ＝ －６９　１１１ ９９　〔 〕－１５９ ，从 而 － Ａ－１４ Ａ３ （Ａ１ － Ａ２Ａ－１４ Ａ３）－１＝－ ２　－１ －３　〔 〕２ ５　４ ２　〔 〕３ －７　５ ３　〔 〕－２ ＝ ４１　－３０ －５９　〔 〕４３ －Ａ－１１ Ａ２（Ａ４－Ａ３Ａ－１１ Ａ２）－１ ＝ １ ３ － １ ６ ０ 烒 烓 烖 烗 １ ６ －４ －３〔 〕１ １ －６９　１１１ ９９　〔 〕－１５９ ＝ １２　－１９ －５　〔 〕８ 故由（３）得 Ｐ－１＝ －７　 ５　 １２ －１９ ３ －２ －５　 ８ ４１ －３０ －６９　 １１１ 烒 烓 烖 烗－５９ ４３ ９９ －１５９ ２广义初等变换法 例１　设ｒ＋ｓ阶方阵Ａ＝ Ａ１　Ａ２ ０　Ａ〔 〕４ ，其中Ａ１，Ａ４ 分别是ｒ，ｓ 阶可逆矩阵，则Ａ可逆，求Ａ－１． 解　利用广义初等行变换 故Ａ－１＝ Ａ－１１ －Ａ－１１ Ａ２Ａ－１４ ０ Ａ－１〔 〕４ （４） 类似地可以证明ｒ＋ｓ阶方阵Ｂ＝ Ａ１　０ Ａ３　Ａ〔 〕４ 可逆，其中Ａ１，Ａ４ 分 别是ｒ，ｓ阶可逆矩阵，且 Ｂ－１＝ Ａ－１１ ０ －Ａ－１４ Ａ３Ａ－１１ Ａ－１〔 〕４ （５） 例２　已知Ｐ＝ ２　１ －１　 ２ １　１　 １ －１ ０　０　 ２　 ５ 烒 烓 烖 烗０ ０ １ ３ ，求Ｐ－１． 解　设Ｐ＝ Ａ１　Ａ２ ０　Ａ〔 〕４ ，Ａ１＝ ２　１ １　〔 〕１ ，Ａ４＝ ２　５ １　〔 〕３ ，显然Ａ１，Ａ４ 均为２阶可逆阵，易求得Ａ－１１ ＝ １　－１ －１　〔 〕２ ，Ａ－１４ ＝ ３　－５ －１　〔 〕２ ，即得 —８４１— Ｐ－１＝ Ａ－１１ －Ａ－１１ Ａ２Ａ－１４ ０ Ａ－１〔 〕４ ＝ １ －１　 ９ －１６ －１　 ２ －１３　 ２３ ０　 ０　 ３ －５ 烒 烓 烖 烗０ ０ －１ ２ ３三角分解法 定理　设Ａ＝ ａ１１ ａ１２ … ａ１ｎ ａ２１ ａ２２ … ａ２ｎ ┇ ┇ ┇ ┇ ａｎ１ ａｎ２ … ａ 烒 烓 烖 烗ｎｎ 是一个ｎ阶满秩方阵，若 Ａ中存在某一ｒ阶顺序主子式 ａ１１ … ａ１ｒ ┇ ┇ ┇ ａｒ１ … ａｒｒ ≠０（１＜ｒ＜ｎ），对Ａ 进行分块，令Ａ＝ Ａ１１　Ａ１２ Ａ２１　Ａ〔 〕２２ ．其中 Ａ１１＝ ａ１１ … ａ１ｒ ┇ ┇ ┇ ａｒ１ … ａ 烒 烓 烖 烗ｒｒ ，Ａ１２＝ ａ１，ｒ＋１ … ａ１ｎ ┇ ┇ ┇ ａｒ，ｒ＋１ … ａ 烒 烓 烖 烗ｒｎ Ａ２１＝ ａｒ＋１，１ … ａｒ＋１，ｒ ┇ ┇ ┇ ａｎ１ … ａ 烒 烓 烖 烗ｎｒ ，Ａ２２＝ ａｒ＋１，ｒ＋１ … ａｒ＋１，ｎ ┇ ┇ ┇ ａｎ，ｒ＋１ … ａ 烒 烓 烖 烗ｎｎ ． 那么Ａ一定可以分解成一个下三角分块矩阵Ｌ 与一个上三 角分块矩阵Ｕ 的乘积形式． Ｌ＝ Ｉ１　０ Ｍ　〔 〕Ｎ ，Ｕ＝ Ａ１１　Ａ１２ ０　　Ｉ〔 〕２ ． 其中Ｉ１，Ｉ２ 分别为ｒ×ｒ，（ｎ－ｒ）×（ｎ－ｒ）阶单位阵，Ｍ＝Ａ２１ Ａ－１１１ ，Ｎ＝－Ａ２１Ａ－１１１Ａ１２＋Ａ２２，由定理的结论可知，求一个满秩矩阵 的逆就比较容易了． 例３　求Ａ＝ １　２　０　１　１ ２　２　２　３　２ ３　１　０　２　１ １　１　１　３　１ 烒 烓 烖 烗２ ０ ０ １ ２ 的逆矩阵Ａ－１． 解　Ａ的三阶顺序主子式 １　２　０ ２　２　２ ３　１　０ ＝１０≠０，所以利用定理 对Ａ 分 块，Ａ＝ Ａ１１　Ａ１２ Ａ２１　Ａ〔 〕２２ ，其 中 Ａ１１ ＝ １　２　０ ２　２　２ ３　１　 烒 烓 烖 烗０ ，Ａ１２ ＝ １　１ ３　２ ２　 烒 烓 烖 烗１ ， Ａ２１ ＝ １　１　１ ２　０　〔 〕０ ， Ａ２２ ＝ ３　１ １　〔 〕２ ， Ａ－１１１ ＝ －１５ ０ ２ ５ ３ ５ ０ １ ５ －２５ １ ２ － 烒 烓 烖 烗 １ ５ ．而Ｕ＝ Ａ１１　Ａ１２ ０　　Ｉ〔 〕２ ，所以 Ｕ－１＝ －１５ ０ ２ ５ － ３ ５ － １ ５ ３ ５ ０ － １ ５ － １ ５ － ２ ５ －２５ １ ２ － １ ５ － ７ １０ － ２ ５ ０　 ０　 ０　 １　 ０ 烒 烓 烖 烗０ ０ ０ ０ １ ． 又（Ｍ，Ｎ）＝（Ａ２１，Ａ２２）Ｕ－１ 所以Ａ－１＝ （ＬＵ）－１＝Ｕ－１　Ｌ－１＝ －１４ ５ ２４ １ ２ － ５ １２ － １ ８ １ ２ １ １２ ０ － １ ６ － １ ４ －１２ ３ ４ ０ － １ ２ － １ ４ ０ －１３ ０ ２ ３ ０ １ ４ － １ ２４ － １ ２ １ １２ 烒 烓 烖 烗 ５ ８ ． ４几个特殊矩阵的逆． ① 对于形如Ｑ＝ Ａ２　Ａ１ Ａ４　Ａ〔 〕３ 的ｍ＋ｎ阶可逆方阵，Ａ１，Ａ４ 是分 别位于次对角线上的ｍ，ｎ阶可逆阵．此时，Ｑ可经过适当的列变 换变成Ｑ＇＝ Ａ１　Ａ２ Ａ３　Ａ〔 〕４ 的形式．所以Ｑ－１＝ Ａ２　Ａ１ Ａ４　Ａ〔 〕３ －１ ＝ －Ａ－１４ Ａ３（Ａ１－Ａ２Ａ－１４ Ａ３）－１　　（Ａ４－Ａ３Ａ－１１ Ａ２）－１ （Ａ１－Ａ２Ａ－１４ Ａ３）－１　　　－Ａ－１１ Ａ２（Ａ４－Ａ３Ａ－１１ Ａ２）〔 〕－１ ② 对于ｎ阶可逆矩阵Ｒ＝ Ａ１　Ａ２ Ａ３　Ａ〔 〕４ 与Ｒ＝ Ａ２　Ａ１ Ａ４　Ａ〔 〕３ 两种 分块形式，当ｋ＝ｎ－ｋ，即ｎ＝２ｋ时，分块方阵Ａ１，Ａ２，Ａ３，Ａ４ 的行 列式均不为零，即Ａ１，Ａ２，Ａ３，Ａ４ 均可逆时，利用式（３）和（６）得 Ｒ－１＝ Ａ１　Ａ２ Ａ３　Ａ〔 〕４ －１ ＝ （Ａ１－Ａ２Ａ－１４ Ａ３）－１　　（Ａ３－Ａ４Ａ－１２ Ａ１）－１ （Ａ２－Ａ１Ａ－１３ Ａ４）－１　　（Ａ４－Ａ３Ａ－１１ Ａ２）〔 〕－１ ． 【参考文献】 ［１］徐仲．高等代数（北大·第三版）导教·导学·导考（第２版）［Ｍ］． 西北工业大学出版社，２００６． ［２］苏明珍，陈晓萌．分块矩阵求逆方法的探讨［Ｊ］．滨州教育学院学报， １９９６，５（２）：４９－５２． ［３］毛汉清．可逆矩阵的分块求逆方法［Ｊ］．上海铁道学院学报，１９９４， １５（３）：１１０－１１６． ［４］龚爱玲．矩阵分解及其求逆矩阵［Ｊ］．天津理工学院学报，１９９５，１１ （３）：３５－３９． —９４１—