第23卷第5期
2009年9月
甘肃联合大学学报(自然科学版)
JournalofGansuLianheUniversity(NaturalSciences)
V01．23No．5
sept．2009
文章编号：1672-691X(2009)05-0110-05
函数项级数一致收敛的判别法
金玮
(宁夏大学，数学计算机学院，宁夏银川750021)
摘要：给出了判断函数项级数一致收敛的多种方法，并对每种新方法给予严格证明，内容丰富，方法多样，以
利于对函数项级数一致收敛的深入了解和更为广泛的应用．
关键词：函数项级数；一致收敛；判别法
中图分类号：0174．41 文献标识码：A
对于函数项级数，研究函数的解析性质至关
重要，函数项级数必须具有一致收敛性，而判断函
数项级数的一致收敛性往往是比较困难的，本文
对在教材上常见的一致收敛的判法不再赘述，对
教材之外的一些判别进行总结归纳．
1判别函数项级数一致收敛的基本
方法
定理l设“。(z)为定义在数集D上正的函
数列，记吼(上)=‰+l(x)／u。(z)，若
limq。(z)一g(z)≤q<1，
且t‘。(z)在D上一致有界，则函数项级数
∑“。(z)在D上一致收敛．
H一1
定理2设“。(z)为定义在D上的函数列，
若lim巧：忑万=q(z)≤q<1对Vz∈D成立，则函
n1●∞
数项级数∑‰(z)在D上一致收敛．
H掌1
定理3设“。(z)为定义在D上的函数列，若1im二掣=户(z)存在，那么
Ir+∞ 上n尥
。
1)若对Vz∈D，p(z)>p>1，则函数项级数
∑Un(z)--．-燃
n=l
2)若对Vz∈D，夕(z)
o，jN使得对
V九>N，有
夕(z)一e<一lnu。(x)／lnn<夕(z)+￡，
即 1／np‘曲+·户>1对Vz∈D成立时，有
Un(x)l时收敛，
由优级数判别法知函数项级数≥：“。(z)在D上
二=l
一致收敛；而当P(z)<夕<1对Vz∈D成立时，
有Un(x)>llnp，而P级数∑1／np当P<1时发
散，从而函数项级数∑‰(z)在D上不一致收
n毫1
敛．
定理4设函数列{越。(z))在闭区间[口，6]上
连续，可微，且存在一点z。∈[口，6]，使得∑‰
nll
(z)在点XO处收敛；∑“。7(z)在[口，6]上一致收
_一l
敛，则函数项级数∑Un(z)在[口，6]上一致收敛．
证明 已知∑"。(z)在点z。∈[口，6]收敛，
n=1
即Ve>0，了N1(￡)，使得，l≥Nl(￡)时，对VP∈
时，有I∑毗(z。)l<￡成立．
对Vz∈[口，6]，有l∑锹7(面)lN，VP∈N+，
VxE[口，6]，有
，r+。p，rt。’ 肿P
l。譬以z)一艺Ut("270)l≤l。圣，“7t(p
上茹n+l h--a*'F1 上皇井1
收稿日期：2009—05-20．
基金项目：宁夏大学青年科学基金资助项目(QN200701)．
作者简介：金玮(1975一)，女，宁夏中宁人，宁夏大学讲师，硕士，主要从事函数逼近论的研究．
万方数据
第5期 金玮：函数项级数一致收敛的争J别法 111
(z一-TO)I<￡(6一口)(f介于z与zo之间)．
于是V">N，V户∈N+，z∈[口，6]，
"}I R+★l冉t
I∑‰(z)I=I∑毗(z)一∑纵(z。)+
I一井l I一计l t一井1
≤
≤e(6一口)+￡一e(6一口+1)．
即∑五。(z)在[口，6]上一致收敛．
，rl
+
2函数项级数一致收敛的几个新的
判别法及证明
定理5 设函数项级数∑‰(z)，∑砜(z)
都是定义在数集D上的正项函数项级数，
‘
丝黑+r(z)，挖·∞，z∈D．
设inff，．(z))----rl，sup{r(x))一--rz．
z∈D 土∈D
1)当n>o，r2<，+∞时，∑‰(z)与∑％(z)
在数集D上是同时一致收敛或同时不一致收敛．
‘2)当rl=0，吃<+∞时，若≥：％(z)在D
上一致收敛，则∑Un(z)在D上也一致收敛．
3)当n>o，r2=+∞时，若∑“。(z)在D
上一致收敛，则≥：％(z)在D上也一致收敛．
证明 由丝兴一r(z)，n--+oo，z∈D，则取V^～Z，●
eo>0，jNo，当，l>No时，对一切z∈D有
J乱。(z)／％(z)一r(z)I0，r2<+oo时，取￡oo，r2=+∞时，由式(1)的右半部分
可以知道若∑‰(z)在D上一致收敛，则
∑％(z)在D上也一致收敛．
定理6设∑‰(z)是定义在数集D上的
正项函数项级数，“。(工)在D上有界(n=1，2，
⋯)，若塑：尝2+r(z)，玎一∞，z∈D，设，．=“_kx)+
sup{，．(z))，则
工∈D
1)r<1时，∑‰(z)在D上一致收敛；
2)r>1时，∑‰(z)在D上不一致收敛．
证明1)I：1：i％专导：，．(z)，行一∞，取e<1
一r，了No，当，l≥No时，对一切z∈D有
I酱叫z，l<￡。净岩<出，+
eoO，对一切z∈D有I“Ⅳo(z)I≤M，“。(z)<志(r
+勖)”．由∑(，．+e。)。收敛，得∑赤(r+
￡。)。收敛，由优先级判别法知∑Un(工)在D上一
致收敛．
2)r>l时，jz。∈D使ro(z)>1，即
．1im坠鸣堕譬一ro(z)>1净lim‰(z)≠0，
-·∞“HLx0J er-．·oo
因此∑／,ln(z。)不收敛，所以∑“。(z)在D
上不一致收敛．
注：suP{r(z)}=1时，≥：“。(z)在D上是否
z∈D 一
一致收敛无法判断．
定理7设∑‰(z)是定义在数集D上的
正项函数项级数，若Ⅸ而。r(z)，设r=
sup{，．(z)}，则
1)r<1时，∑‰(z)在D上一致收敛；
2)r>l时，∑‰(z)在D上不一致收敛．
证明 1)r<1时，由Ⅸ■矿r(z)，取￡。<1
一r，了No，当，l>No时，对一切z∈D有
l托：两一r(z)f1时，了zo∈D便r(xo)>1，由lim
“—■∞
彤而一r(zo)>1辛limu。(工o)，即∑‰(z)在n—●∞●一
D上不一致收敛．
定理8设∑‰(工)是定义在数集D上的正
项函数项级数，‰(z)在D上有界(咒=1，2’．．·)，若
，z(0：2)一1)：r(z)，设r。i∈n。f{r(z))，则当r>
1时，∑‰(z)在D上一致收敛．
证明由r>1，扎(芒U播I一1)：m)，取￡。、。+LZ， ，—}
<1一r，jNI，竹≥M时，对一切37,∈D有
l，z(蒜一1)叫z，{<￡。净
竹(崧一1)>如)～>r飞>1．
取11十竿>(·+爿／=号孚．“井lLzJ ，l ＼ ，l 挖
因此以’“。(z)≥(，l+1)‘M井l(z)毒咒’“．(z)≤
N$UNo(z)．由乱Ⅳo(z)在D上有界，则存在M>
0，使得对一切工∈D，有
l“No(z)l≤胁”。(z)≤了NgM．
由s>1时，∑是半收敛，由优先级判别法知
∑‰(z)在D上一致收敛．
定理9设∑t‘。(工)是定义在数集D上的
正项函数项级数，”。(z)=，(z，咒)，对每一个z∈
D，非负函数，(z，y)在[1，+∞]上递减，若l，
严抽
(z，y)dy在数集D上一致收敛，则∑‰(z)在
数集D上一致收敛．
，+“
证明 由I f(x，y)dy在数集D上一致收
敛，对V￡>O存在一个N，当n)N时，对一切自
然数P和一切z∈D有ff’f(z,y)dyfNo，Vz∈J有l“。(z)I<
CI"On(z)I(其中C为正常数)且函数级数
∞ ‘
∑％(z)在区间J绝对一致收敛，则函数级数
∑H。(z)在区间J绝对一致收敛．
^鼍1
证明 已知级数∑％(z)在区间J绝对一
H叠l
致收敛，即对Ve／C>o(其中C为正常数)，jNI
∈N，V咒>NI及P∈N，z∈J有
I％。(z)I+1w小(z)l+⋯+I％p(z)I<
￡／C． (1)
又由条件知了No∈N，V，l>No，z∈I有
I‰(z)IN，VP∈N，z
∈I有l“井。(z)l+I“神2(z)l+⋯+lz‘井，(z)l<
C(I％1(z)I+I‰2(z)I+⋯+I口井p(z)I)No，z∈I有l‰(z)l<
Cv。(z)(其中C为正常数)且函数级数∑％(z)
H#I
在区间_r一致收敛，则函数级数∑"。(z)在区间1
月置l
绝对一致收敛．
证明 已知jNo∈N，V恕>No，z∈I有
IⅡ。(z)l0，jNl∈N，V，l>Nl，户∈N，z∈I有
I‰1(z)+砧舰(z)+⋯+_井p(曲I=t佴l(z)+
‰(z)+⋯+％，(z)<￡／C (3)
取N-一max{No，N1)，当V，l>N，p∈N，z∈
J有
I“计l(z)+Ua+2(z)+⋯+“计p(z)l≤l
“井l(z)I+I‰2(z)l十⋯十I‰。(z)l0，V7l∈N，z∈I有
I‰(z)I≤M，
使当VnEN，z∈I有
I钟。(z)·％(z)I≤MI％(z)I．
∞
由比较判法定理1知级数∑“。(z)％(z)在区间J
n-1
绝对一致收敛．
[例]证明：若函数级数∑口．(z)与∑“(z)
n互1 ^-l
在区间卜一致收敛，且V，l∈N，z∈I有a。(z)≤
6^(z)≤“(z)，则函数级数∑b。(z)在区间I—
nil
致收敛．
证明 由条件函数级数∑口，l(z)与∑厶(z)
月11 nml
从而函数级数蚤‰‘力在区间J绝对一致收敛‘ 在区间卜一致收敛，则级数竞(c．(z)一口。(z))在要塞理分型妻懋芏古薷小蔷黼掘j15lr区间卜一致收敛，又VnENn--，Ivz∈I有‘三。(z)≤1 推论 (比较极限法)若有两个函数级数 一⋯‘ “”“～、 ”～—。‘1”一7、
善％∞与善％∞瓴∞≠o)，魄I％刨碍∞I=
h且0≤五<+o。，若级数∑％(z)在区间J绝对
一致收敛，则函数级数∑‰(z)在区间J也绝对
^_l
一致收敛．
证明 由limI‰(z)／％(z)l=忌且0≤七<
+∞
即j￡o>O，了N∈N，当7l>N，z∈I有
I I‰(x)／v。(z)l一五I<￡。，使I"。(z)／％(工)I<
忌+co=C且C=h+eo>0．
即Vn>N及z∈J有I‰(z)l0，jN∈z+(N仅与￡有关)，使当n<
N，对一切XE-(a，b)及任意的P∈z+，有
故
井，
一号<。--∑n+l毗(z)<号，。 王 _
，r+。p
一号<；：觊，。蚤。姒z)<号，
又由于锹(z)(忌一1，2，⋯)关于z单调增加
或单调减少，不妨设“。(z)(忌一1，2，⋯)关于z单
调增加，且函数序列{U。(z))在(口，6)内一致有界，
则每一个钕(z)在(口，6)内有界，必有上确界，令
屉=supUt(z)贝qlim心(z)=屉=sup圾(z)
工t‘4，6)x-．b- 工∈【a·∞
由上有
sup∑趣(z)=lira∑雄(z)=lim[“井l(z)
ze“·吼：=l。+厂t：算1。．6-
+‰(o十⋯‰(z)]，sup地(z)
2∈(4，6)
limuk(z)=1im[“计l(z)+l‘批Q)+⋯‰峥(z)]，
#一f}+f
ep。。su。p。％。一。‰(z)一。蚤。，∈su。柚p，ut(z)．因此有
说明
．su㈦p。，utze (z)l≤号--]vt(z)+苫：耽纵z)在(口，6)一致收敛·
由以上定理可推得以下两个推论：
推论1 若函数序列{U。(z)}在(n，6)内一致
有界，非负且同时单调增加或单调递减，则
∑机(2)在(口，6)内一致收敛管数项级数∑
k--l t#1
sup毗(z)收敛．
z∈(4，6)
推论2 若函数序列(磁(z))在(口，6)内一致
内一致收敛铮数项级数
inf纵(z)都收敛．
j∈(n·6)
参考文献：
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Severalmethodsofjudgingtheconvergenceuniformofthefunctionseries
】lNWei
(DepartmentofMathematics&computingEngineering，NingxiaUnversity．Yinchuan750021，China)
Abstract：Itisgiventhatseveralmethodsofjudgingtheconvergenceuniformofthefunctionseriesin
thispaper，andvariousmethodsarestrictlyproved．Thecontentisrichandmethodsarevarious，SOit
contributestodeepunderstandingandwideapplicationofseveralmethodsofjudgingtheconvergence
uniformofthefunctionseries．
Keywords：thefunctionseries；convergeuniformly；discriminantmethod
。∑M知件条知已由
Do在、，Z(‰∑M则号变不、，
工(数导且界有
∑～。
万方数据
浙公网安备 33021202002483