蚂蚁爬行最短路程问
题
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的拓展2
蚂蚁爬行最短路程问题的拓展
教科书有这样一个问题:有一个圆柱,它的高等于12 cm,底面半径等于3 cm(在圆行柱的底面 A 点有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物,需要爬行的最短路程是多少,
直觉判断,不难发现,蚂蚁应该沿着侧面爬行。那么,在侧面上如何爬行,所走的路程最短呢,由于侧面是弯曲的,为此可以试图将弯曲的侧面展呈一个平面,如下图: BB
AA
在课堂上,相信大家已经比较过多种爬行路
径,如(1)A?A′?B;(2)A?B′?B;(3)A?
D?B;(4)A?B.当然也得出了沿着直线段AB
爬行最近。
现在的问题是,对于任意的圆柱,上面的爬
行路线是否都最短呢,
我们不妨看一个具体的:
问题1 在高为1的下底面的,底面半径为4的圆柱形实木块A点处有一只蚂蚁,它想吃((((B
到上底面与A相对的B点处的食物,如图所示,这只蚂蚁需要爬行的最短路程是多少,A
221,(4,)如果还是沿着侧面爬行,不难算出最短爬行距离是12.6 m,由于这个圆,
柱“矮而胖”,如果从上底面沿直径爬过去,可以省得绕侧面爬行那样绕过一段大肚子,可能反而行程可能会少一些,当然,这只是感觉,需要具体计算一下。不难算出从A点直接向上爬再沿着直径爬到B点的行程是1,4×2,9 m,确实比沿着侧面爬行短一些。
反思
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实际上,这和我们的直觉是一致的。不妨用一个最为极端的圆柱为例加以说明,如果这个圆柱特别矮,以致于接近一个硬币或者接近一个平面上的圆,显然沿着直径走比沿着侧面(圆周)走要近一些。
当然,研究不要局限于此,我们需要进一步思考:什么情况下蚂蚁沿着侧面爬行路程最近(姑且称为线路1),什么情况下蚂蚁先竖直爬到地面上再沿着直径爬行(姑且称为线路2)路程最近,
为了研究的方便,不妨设圆柱的高为h,底面半径为r,则沿线路1的最短行程是
22h,(,r),沿线路2的行程是h+2r;不难得出:
(1)当时,两条线路行程相同;(2)当时,线路1行程短一些;(3)当时,线路2行程短一些。
举一反三 如图所示,有一圆柱,它的高为13 cm,底面周长为10 cm,在圆柱的下底面A点有一只蚂蚁想吃到离上底面1 cm处的B点的食物,需要爬行的最短路程是多少,
B
A