代数拓扑学在绳子谜题、魔术和巧环中的应用

代数拓扑学3绳子谜题、 术和巧环中的应用 deducemath Email: deducemath@126.com 北京ŒÆ êÆ科ÆÆ� 2012 c 10 � 21 F deducemath (�®大学) 代数拓扑学3绳子谜题、 术和巧环中的应用 2012 c 10 � 21 F 1 / 33 8录 1 挂画谜题 2 双锁谜题 3 太极环无) 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 4 Quattro puzzle 5 John H. Conway的绳舞 6 ë文献 deducemath (�®大学) 代数拓扑学3绳子谜题、 术和巧环中的应用 2012 c 10 � 21 F 2 / 33 1 挂画谜题 2 双锁谜题 3 太极环无)证明 4 Quattro puzzle 5 John H. Conway的绳舞 6 ë文献 deducemath (�®大学) 代数拓扑学3绳子谜题、 术和巧环中的应用 2012 c 10 � 21 F 3 / 33 �始谜题 墙þ有两个钉子, 按ì通常的方法将画挂þ�, X图所示, 当一个钉子掉下 来时, 画还会挂3另一个钉子þ. 问题: X何将画挂起来, 使得拔掉其中?何一个钉子, 画Ò会掉下来? (ë见[3, 4]) deducemath (�®大学) 代数拓扑学3绳子谜题、 术和巧环中的应用 2012 c 10 � 21 F 3 / 33 答案 顺时针缠7第一个钉子一周记作a, _时针缠7第一个钉子一周记作a−1. 顺 时针缠7第二个钉子一周记作b, _时针缠7第二个钉子一周记作b−1. þ图 对应缠7方式aba−1b−1. 拔掉第一个钉子即是将a与a−1从aba−1b−1中�掉, 从而对应缠7: bb−1 = e (无缠7). 同理, 拔掉第二个钉子画也掉下来. deducemath (�®大学) 代数拓扑学3绳子谜题、 术和巧环中的应用 2012 c 10 � 21 F 4 / 33 Borromean rings 将钉子C为�环, K两�环与绳�形成Borromean rings: n环相套, 破坏其中 ?意一环K余下的两环分离. deducemath (�®大学) 代数拓扑学3绳子谜题、 术和巧环中的应用 2012 c 10 � 21 F 5 / 33 推广 �始谜题Œ以推广为n个钉子的情形. 利用迭代很N易构E缠7方式. 例X, en = 3, 令AL示2钉缠7方式: aba−1b−1, K3钉缠7方式Œ为: AcA−1c−1 = aba−1b−1cbab−1a−1c−1. n钉情形Œ类似构E. deducemath (�®大学) 代数拓扑学3绳子谜题、 术和巧环中的应用 2012 c 10 � 21 F 6 / 33 Brunnian 4-link deducemath (�®大学) 代数拓扑学3绳子谜题、 术和巧环中的应用 2012 c 10 � 21 F 7 / 33 推广 Figure: abca−1b−1c−1 拔掉?意一个钉子画Ø掉, 拔掉?意两个钉子画掉下来. deducemath (�®大学) 代数拓扑学3绳子谜题、 术和巧环中的应用 2012 c 10 � 21 F 8 / 33 一般情形 对n个钉子赋予Ù尔C量xi, 1 ≤ i ≤ n: xi := { 1 拔掉第i个钉子, 0 �留第i个钉子. 一般情形的挂画谜题即是将?意给定的单OÙ尔函数 f(x1, x2, . . . , xn) := { 1 画掉, 0 画Ø掉. 用绳子的,种缠7方式实现. 实现方法ë见[4]. Example 1.1 f(x1, x2) = x1 ∨ x2 ↔ aba−1b−1; f(x1, x2, x3) = x1 ∨ x2 ∨ x3 ↔ aba−1b−1cbab−1a−1c−1; f(x1, x2, x3) = (x1 ∧ x2) ∨ (x2 ∧ x3) ∨ (x1 ∧ x3) ↔ abca−1b−1c−1. deducemath (�®大学) 代数拓扑学3绳子谜题、 术和巧环中的应用 2012 c 10 � 21 F 9 / 33 类似谜题:互锁多>形 类似于挂画谜题, ?意给定的单OÙ尔函数也Œ以用互锁多> 形(interlocked polygons)实现, ë见[18]. Figure: f(x1, x2, x3) = ((x1 ∧ x2) ∨ x3) ∧ (x1 ∨ x3), 见[18] Figure 8. deducemath (�®大学) 代数拓扑学3绳子谜题、 术和巧环中的应用 2012 c 10 � 21 F 10 / 33 1 挂画谜题 2 双锁谜题 3 太极环无)证明 4 Quattro puzzle 5 John H. Conway的绳舞 6 ë文献 deducemath (�®大学) 代数拓扑学3绳子谜题、 术和巧环中的应用 2012 c 10 � 21 F 11 / 33 �始谜题 “<两把锁好的挂锁, 做一个绳�把它们套住, X图, �给观众, 请他们试着 把绳��下来. (当,Ø许割断绳�,也Ø许m锁. ,后,Ø�动绳�,把两把锁 互相ž起来. ù时绳�Ø,Œ以�下了! 试)释ù个现象.”(ë见[1, 2]) deducemath (�®大学) 代数拓扑学3绳子谜题、 术和巧环中的应用 2012 c 10 � 21 F 11 / 33 �始谜题 链环基�+(fundamental group): {a, b|−}; 绳子对应�素: aba−1b−1. deducemath (�®大学) 代数拓扑学3绳子谜题、 术和巧环中的应用 2012 c 10 � 21 F 12 / 33 �始谜题 链环基�+: {a, b|ab = ba}; 绳子对应�素: aba−1b−1 = baa−1b−1 = e (单位 �). 利用基�+, 使用迭代法N易构En锁谜题. deducemath (�®大学) 代数拓扑学3绳子谜题、 术和巧环中的应用 2012 c 10 � 21 F 13 / 33 锁的替代物 Figure: Four Canoes (Ferguson, H.) 将锁替换为图中带"的环(绳子或铁链ØU穿过狭缝), Kö作更为方B. deducemath (�®大学) 代数拓扑学3绳子谜题、 术和巧环中的应用 2012 c 10 � 21 F 14 / 33 锁的替代物 Figure: Cast Quartet(Hanayama) deducemath (�®大学) 代数拓扑学3绳子谜题、 术和巧环中的应用 2012 c 10 � 21 F 15 / 33 推广: 4锁 右图链环基�+: {a, b, c, d|ab = ba, bc = cb, cd = dc}; 绳子对应�素: aba−1cb−1dc−1d−1 = bcb−1dc−1d−1 = cdc−1d−1 = e. deducemath (�®大学) 代数拓扑学3绳子谜题、 术和巧环中的应用 2012 c 10 � 21 F 16 / 33 推广: 5锁 deducemath (�®大学) 代数拓扑学3绳子谜题、 术和巧环中的应用 2012 c 10 � 21 F 17 / 33 1 挂画谜题 2 双锁谜题 3 太极环无)证明 4 Quattro puzzle 5 John H. Conway的绳舞 6 ë文献 deducemath (�®大学) 代数拓扑学3绳子谜题、 术和巧环中的应用 2012 c 10 � 21 F 18 / 33 太极环 Stewart Coffin 1974c发明太极环(S8字环[5], Figure Eight Puzzle[6]), 由于种 种�因此环成为无)巧环的典范[6]. ,而迟至2003câ出现第一个正式发L 的无)证明[7, 8, 9]. 下面用琼斯多项式(Jones Polynomial, 一种Ý((knot)Ø C量)给出一个简'的证明. deducemath (�®大学) 代数拓扑学3绳子谜题、 术和巧环中的应用 2012 c 10 � 21 F 18 / 33 太极环 N易知道e左þ图巧环无)K太极环无), 分O计算(使用^件KNOT[10]非 常方B)þ面两图中链环的琼斯多项式得到： 它们的琼斯多项式Ø等, 故太极环无). deducemath (�®大学) 代数拓扑学3绳子谜题、 术和巧环中的应用 2012 c 10 � 21 F 19 / 33 ddk巧环 类似Œ证明ddk( 方吧“巧环巧ž”论坛版主)设计的一±巧环[11]无). deducemath (�®大学) 代数拓扑学3绳子谜题、 术和巧环中的应用 2012 c 10 � 21 F 20 / 33 1 挂画谜题 2 双锁谜题 3 太极环无)证明 4 Quattro puzzle 5 John H. Conway的绳舞 6 ë文献 deducemath (�®大学) 代数拓扑学3绳子谜题、 术和巧环中的应用 2012 c 10 � 21 F 21 / 33 Quattro 虽,一般而言代数拓扑学ØU给出巧环的ä体)法, 但对,些巧环的)法有 启发式的指引作用. Horak3[12]中以Quattro为例用Ý(的nÚ 性(tricolorability, 一种Ý(ØC量)证明了,种求)方式،行. deducemath (�®大学) 代数拓扑学3绳子谜题、 术和巧环中的应用 2012 c 10 � 21 F 21 / 33 Quattro 要将Quattro的四个7�分离, ,绳�7须环7与之相套的7�. 用反证法. e非X此, KX左图所示, 3虚线�SҌ以将套3一起的绳�)m. 由此 推出中图Ý(与平凡Ý(同痕(isotopic). ,而X右图所示, 此Ý(ä有nÚ 性, 但平凡Ý(没有ù种性质, 矛盾. deducemath (�®大学) 代数拓扑学3绳子谜题、 术和巧环中的应用 2012 c 10 � 21 F 22 / 33 Ö充: )法 方吧“巧环巧ž”论坛版主忧天杞<注意到Quattro类谜题的逻辑(构与² 典巧环Ê连环关系密切[19]. 例X,Quattro=n连环+二连环+一连环,þ图为 n连环示意图. deducemath (�®大学) 代数拓扑学3绳子谜题、 术和巧环中的应用 2012 c 10 � 21 F 23 / 33 1 挂画谜题 2 双锁谜题 3 太极环无)证明 4 Quattro puzzle 5 John H. Conway的绳舞 6 ë文献 deducemath (�®大学) 代数拓扑学3绳子谜题、 术和巧环中的应用 2012 c 10 � 21 F 24 / 33 Conway的绳舞 X图, 准�两根绳子, 四舞ö各执绳子一端, 令tL示绳子的缠7方式对应的 有理数, t=0为初始状态. deducemath (�®大学) 代数拓扑学3绳子谜题、 术和巧环中的应用 2012 c 10 � 21 F 24 / 33 基�舞Ú(基�C换) 两种基�舞Ú(或称为对绳子的两种基�C换): Û转(Twist), 旋转(Turn). 3 两种C换下绳子缠7方式对应的有理数做相应C化. deducemath (�®大学) 代数拓扑学3绳子谜题、 术和巧环中的应用 2012 c 10 � 21 F 25 / 33 Figure: “Tangles, Bangles and Knots”[16]视频�图 deducemath (�®大学) 代数拓扑学3绳子谜题、 术和巧环中的应用 2012 c 10 � 21 F 26 / 33 X何回到初始状态 当四<按基�舞Ú跳一段时间之后, 绳子一般会Å缠成一团, 例XC成þ图 的样子. X何按基�舞Ú跳舞, 将绳子C为初始状态? 利用Conway的有理缠 7(Rational Tangles)理论[13, 14, 15, 16], 只需将t按基�C换C为0即Œ, 当,, 绳子随之做相应C换. 例X, þ图的缠7Œ按以下序列做C换: 13 10 ,− 1013 , 313 ,− 133 ,− 103 ,− 73 ,− 43 ,− 13 , 23 ,− 32 ,− 12 , 12 ,−2,−1, 0. deducemath (�®大学) 代数拓扑学3绳子谜题、 术和巧环中的应用 2012 c 10 � 21 F 27 / 33 Ö充: 根â绳图直�计算t值 Figure: t = [−4, 2,−2, 2] = 2 + 1−2+ 1 2+ 1−4 = 1310 将绳图转换为I准形式后对应唯一的连分数L示, ë见[17, 15]. deducemath (�®大学) 代数拓扑学3绳子谜题、 术和巧环中的应用 2012 c 10 � 21 F 28 / 33 1 挂画谜题 2 双锁谜题 3 太极环无)证明 4 Quattro puzzle 5 John H. Conway的绳舞 6 ë文献 deducemath (�®大学) 代数拓扑学3绳子谜题、 术和巧环中的应用 2012 c 10 � 21 F 29 / 33 ë文献 I [1] 姜ËÙ. 绳�的数学. 大连理工大学出版社, P48, 2012 [2] Rolfsen, D. Knots and Links. AMS Chelsea, P66, 1976 [3] Winkler, P. 令\£思冥想的数学�题. 兰光强, 孙立+, 译. <民邮电出 版社, P14–15, 21–22, 2009 [4] Demaine, E. D., Demaine, M. L., Minsky, Y. N., Mitchell, J. S. B., Rivest, R. L., Patrascu, M. Picture-Hanging Puzzles. FUN 2012, LNCS 7288, pp. 81–93, 2012. [5] 周伟中. 巧)Ê连环. 7盾出版社, P78, 2003 [6] Coffin, S. The Odyssey of the Figure Eight Puzzle. The Mathemagician and Pied Puzzler, A Collection in Tribute to Martin Gardner, A.K. Peters LTD, Natick, 127–129, 1999 deducemath (�®大学) 代数拓扑学3绳子谜题、 术和巧环中的应用 2012 c 10 � 21 F 29 / 33 ë文献 II [7] Inta Bertuccioni. A Topological Puzzle. The American Mathematical Monthly, Volume 110, No. 10, 937–939, 2003 [8] Paul Melvin. A Topological Menagerie. The American Mathematical Monthly, Volume 113, No. 4, 348–351, 2004 [9] Kiviharju, M. Later Odysseys of the Figure Eight Puzzle. CFF 80 Nov. 2009 and 81 Mar. 2010 [10] KNOT^件下1网页: http://polygon.aid.design.kyushu-u.ac.jp/~sumi/C/knot.html [11] http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=viewthread&tid= 88022&extra=page=1 deducemath (�®大学) 代数拓扑学3绳子谜题、 术和巧环中的应用 2012 c 10 � 21 F 30 / 33 ë文献 III [12] Horak, M. Disentangling topological puzzles by using knot theory. Mathematics Magazine, vol. 79, 368–375, 2006 [13] Conway, J. H. The power of mathematics. In Power (A. Blackwell and D. MacKay, editors), Darwin College Lectures 16, Cambridge University Press, 2006 [14] Tanton, J. Understanding Rational Tangles. 2012 [15] Kauffman, L. H., Lambropoulou, S. On the classification of rational tangles. Adv. in Appl. Math., 33(2), 199–237, 2004 [16] Conway, J. H. Tangles, Bangles and Knots. UC Berkeley Graduate Council Lectures. 1996 [17] http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Rational_tangles deducemath (�®大学) 代数拓扑学3绳子谜题、 术和巧环中的应用 2012 c 10 � 21 F 31 / 33 ë文献 IV [18] Demaine, E. D., Demaine, M. L. and Uehara, R. Any monotone Boolean function can be realized by interlocked polygons. In Proceedings of the 22nd Canadian Conference on Computational Geometry, pp. 139–142, 2010. [19] http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=viewthread&tid= 93356&extra=page%3D1 deducemath (�®大学) 代数拓扑学3绳子谜题、 术和巧环中的应用 2012 c 10 � 21 F 32 / 33 Thank you! Author: deducemath Email: deducemath@126.com Blog: http://blog.sina.com.cn/u/2367347891 deducemath (�®大学) 代数拓扑学3绳子谜题、 术和巧环中的应用 2012 c 10 � 21 F 33 / 33 挂画谜题 双锁谜题 太极环无解证明 Quattro puzzle John H. Conway的绳舞 参考文献