土力学中的两个广义变分原理

土力学中的两个广义变分原理 陆培炎 (广东省水利水电科学研究所) 目前 , 土力学中基于比奥固结祸合问题的有限单元法在国内越来越受到重视 [l. 2 、 3 、4〕, 这些都是基于最小 势能的变分原理 。 如果采用拉格朗日乘子法阁可得到广义变分原理 。 在土力学的边坡稳定 、地基的极限荷 载及挡土墙的土压力中 , 刚塑性体极限 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 仅考虑极限平衡是不够的 , 应考虑采用塑性力学的上 、下限定 理[6. 7」。 近来 , 又研究刚塑性体极限分析的广义变分原理区, 、‘。〕。 本文提出了一个比奥固结藕合问题的广义变分原理 ,该原理可用于饱和土的固结分析 ;并从另一途径推 导刚塑性体极限分析的广义变分原理 , 该原理可应用于土的极限平衡问题 。 比奥固结藕合问题 水通过有孔隙的土的运动 , 而孔隙随时间而变 , 可用比奥固结理论来研究。 该理论假定 : (1) 水充满孔 隙 ; (2) 水不可压缩 ; (3) 水的运动符合达西定律 ; (4) 土骨架变形体符合小位移变形理论 ; (5) 土的总应力等于 有效应力 内 与孔隙水压力 P之和 , 即 T e rz ag hi 有效应力原理 。则该问题在直角卡氏座标系 x ; (i 一 1 , 2 , 3) 以 及时间 t 中有四类基本方程 : 、.产、、少110乙了了、了、、 U a一at ( 1) 平衡方程 ( 2) 应变位移关系 ( 3) 应力应变关系 (4) 连续性方程 内 ,j + 6ij n,j + Fj 一 O 1 , 己11 = 甲不~ L材1 . 1 州卜材 ; . 1夕 乙 内 一 a ij目e 记 在 V 内 在 V 内 在 V 内 在 V 内 ( 3 ) (4 ) ‘ P, K一y 对时间 t 域用差分方法 [ll 〕, 则式( 4) ‘ ( u 1 . 1) 一 u 只、+ △t K , . - 一 二丁LP , i I 写成 在 V 内 ( 4 ) 式中 aij , eij , u 、, p 分别是有效应力张量 、应变张量 、位移向量与孔隙水压力 。了i 是体积力向量 , 。 ij、 是弹性常数 张量 , K 是渗透系数 , 7 是水的比重 , 8ij 是 K r o n e e k e r 符号 , u只j是 t = t。时的 u ; , j , u ; , j是 t = t。 + △ t 时的 u 、. J 。 设边界条件是齐次的 , 将式( l) ~ (4 ) 写成矩阵形式 : 「1 , 、 I 二干气O砧⋯‘ a . o a 、 丽 宁 ”li 丽 2 1 , 、 a . 、 a 、 八 。 a一 告 (巍 兰 + 民k 子 ) O 一民i子 2 、一‘ aj ’ 一 J‘ aj ‘ - 一 ” aj 0 一 1 0 一 1 a ij址 0 “ 八 入 Ka Z U U 之之 不 -叹万万 Td z - (5 ) 匡lweJ0ee10we|Lut.!⋯lee|||||习执内灿P a一8i民 即矩阵形式 Au 一 fo 由于式 (5) 中的 A 是正定的 ,应用米赫林 (M ~ ) 山〕的基本变分问题 , 建立齐次边界条件的泛函 , 即 岩土 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 论文选—纪念国际力学及基础工程协会成立五十周年专集 , 中国建筑工业出版社 , 1 9 8 5 土力学中的两个广义变分原理 ~ 1 , . 11 = 二于又Z公‘ , u 少一 又J , u )‘ (6) 将式(5) 中的A , u , f 代人式(6) 中, 并记为护 。 、 l r厂 11 ’ = 二丁 1 1 一 U i氏 1. ,乙 J ‘ 1 , 一 oij p , iu i 一口ij下 Lu i, j一 姚 , i) 一 乙a ijeij 一 a ij匕 e ile ij一 户‘i, i乙 人 _ K . , . 、 。节 n 。 ] , ,十之么t 丁 P 火P , i少, i 一 乙巧 ui 一 乙户‘孔J }a V , 一 (7 ) 应用 G re en 公式 , 并考虑到齐次边界条件 : {一 。 i。 , 」* 一队ilj。。* + 队i, J。。* 一 卜i,」。。* {△‘粤, (, , 。) , i、哈 心 哈 ( 令 I K . 。 , 丁 P , iP , i以 V I山 . I JV dsP,P K一y△ 尸 I JV 一一 , K , 。 , 之么 t 丁 p , ip , ia V , (8 ) 将式 (8) 代人式 (7) 中得 / l 节 \ F l , . 、 ] . / . l万 a 巧以 e目 e ij 一 r iu i }一 内 } eij 一 下 火u i, j十 u j. i ) }十 IP“ i, i、 ‘ / 一 乙 一 、 1 , . K . \ } , , 户遗孔: 一 万乙l 丁 P , sP , 1 1 }以 V L, )乙 I , ) 户 I JV 一一护 在整个界面上 ,有两部分边界条件 , 一部分是孔隙介质 , 一部分是孔隙水 。孔隙介质的边界条件是已知 的表面力 (1) (2) (3) (4 ) 云。与位移云、,孔隙水的边界条件是已知的表面孔隙水压力万与流量口。这些边界条件是 (内 + 3ij P) lj 一 tj 在凡 上 在 S 。 上 在 SQ 上 在 S , 上 (1 0 ) (1 1) △t (12 ) (13 ) 绮一Q一p===ui,lip P K一y 为了求得该问题的无约束条件的广义变分原理 , 可把边界条件(10 )一 (13 ) 看作约束条件 , 将这些约束 条件乘上拉格朗日乘子 , 吸收人式 (9) 的齐次边界条件的泛函中 。我们注意到 , 最小势能原理所构造的泛函 , 其边界条件(约束条件)需用两个拉氏乘子 , 其他只需一个拉氏乘子 , 若用两个拉氏乘子 , 则算出的一个拉氏 乘子为零。故将约束条件(10 )及(12 )各乘上两个拉氏乘子 , 即 a i ,尽, 及乙, , 。将约束条件(11) 及(13) 各乘上 一个拉氏乘子 , 即久、及 参。并吸收人式(9) 中得 : ~ f{ / 1 节 \ F l , . 、 门 . / , , 一去}、万a ”““kl “”一 厂 ‘“‘)一 “”匕““一万又“‘, , 一 钩 , ‘’」十(那 ‘, ‘ {汇(。。+ 氏, )li 一云」一 , }a i‘ + 丁(“i 一动凡‘ 十 s 口 s “ 丁以△ !令P, li 一列一 , 业‘ + {(, 一两‘ 1 人 . K . 、) , , .尸才[,i 一 下 艺么不丁 P , iP , , 1 )a V 十乙 I / J (14 ) 对式(14 ) , 把 。 ij , u 、, e ij , 户以及 a i ,尽, 6 , , , 又: , 芬作为独立变量进行变分 ,得 厂 、 节 、 、 、 . 1 , 、 La ijkJ 印eij 哟 一 厂 ‘0U ‘一 内oe ij 一 “ij必 ij 十 口ij 万、似 ‘,J 十似 j, 口 --t-- 1 , . 、 、 ] yt , 「, . 、 . 、 。 、 . * . K 二 、 。 , .万 气u i. j一 u J, i夕留 ij la v 一 l戈声的“ i, i十 u i. i叩 一 u 孔10刃一 之么 z 丁 P , ip , i少a V --t--一 ( / {[ (。。+ 氏, )。一 : i」、 i‘ + {(U i一 ‘i ,‘ i‘ + s 口 s “ P, K一y { (△, s 口 一“)* ids + 丁(, 一 , )、ids + ‘户 · 9 8 · 陆培炎科技著作及论文选集 [一{, i* i* + { · i。(·。+ sij , )‘i* { 一举。ds ] + 5 0 5 口 s 口 r 、 、 , 厂 「 ~ , . f‘ 人 K , 、 . , 「. 、 , 门 . 「。 、 . , 1入‘似 ias 十 L一 !甲i公‘aS 一 !七,。z 万 L‘0P , ‘aS 一 !七,叨 ,aS 」寸- 】S‘op a s“ ‘ I ‘ , (15)s “ ‘Q ‘Q s Q s Q应用 G ree n 公式 1 , 、万犷气O双乙 i, i + 、 J, i)dV 一介。: J、 ids夸一协励 S ij , i瓶州小、 . , idy V .阮Jv , i、 。呵△‘ V 粤, , i助 , idV I 卜价Jv,IPJv一一 (P , ; ) , i助d V (16)K一y自 尸 I JV 一ds助P,K一y 将式(16)代人式(15)中 , 并令 古fl = 0 , 得 二 一{一 ( 。一 + , , i虱)、 idy + { V V F . 1 , . 、 . 门 、 L一 “ij十万、“‘,j 十uj, 口一必。a 刃 --t-- 丁(一。 , j + ·。⋯ , “。dV + V 人 K , . 、 ] 一 u i,i 一 之么 i ‘万 火P , i 少i } / 一助d V +U 厂|Œ尸l †V 丁[ (·。+ aij , ,‘i 一‘i〕‘ i ds + s 口 l‘一。) * ids + { s P { (U i 一、i )。‘* + s “ (P 一不)茗;ds +P,K一y 丁[ (·。+ aij , ) , i* i」、 i‘ + {(一△ , K . , , 。 、 。 ,丁p ’“‘一 “’OP a s 十 ‘户 [{ (·。+ aij , )‘i + 久云、 i * 一介‘* ids + {一。(·。+ aij , , ‘jds {一举ids ] + S 叮 S 口 , i, 、, 、: 一 { S O 、 _ , f _ * _ K , 、 . , r . 、 , ] 甲‘必‘aS }七‘乙t 万L‘卯 , ‘aS 一 !七‘叨 ,aS 」 = U‘ I ‘ S Q S Q P K一y△一 肠内 l 曰 sQ 一 l ’ 由于 V 内的加 i , 份 ij , 汾 ij , 妙 以及品 上的兔 i , 反 上的欲 ‘、加 ‘, 凡上的关 * , SP 上的鸳 ; 、助都是独立的 , 相互无 关的 3 和 S 。的变分式为零 , 可得出如下的独立方程 : 内 ,j 十 p , i + Fi = O 1 , 君11 = 二干L材 1 . 1 一卜祝1 . 1夕 ‘ 内 - (P , i ) ; = 0 K一y“ i, i = aij 狱产 u只i + △ t (内 + 氏P) lj 一 了 配 i = U - 一Q一一了‘P, K一y△t 在 V 内 在 V 内 在 V 内 在 V 内 在 S 。 内 在 S 。 内 在 S Q 内 在 S , 内 ( 1 ) (2 ) (3 ) (4 ) ( 10 ) ( 11 ) ( 12 ) ( 1 3 ) ( 17 ) ( 18 ) 一P一一 “一 (仍, + 氏P)lj P凡 、.产、、了、,产、J产、./、.产、、了、少产、.户,1口自八jA几或口只Ut矛‘00Otl‘了、Z‘、了、2.、了了、、了了‘、‘‘、J了、 P, K一y ( 1 0 ) e 一 △ t ( 11 ) { (。 + 氏, )。、* 一介、ds+ 脚(。 十氏, )ljds 一介、 一 。 ( 1 9 ) K . , 、 . , 「 、 , . 「. , . K万 P , iLi op a s 一 !争公 ias 一 !如。‘万 I “ I l ;妙 , ids 丁色御ids 一 o ( 2 0 ) s Q S Q s Q △一 口 l . sQ ( 1 2 ) 土力学中的两个广义变分原理 由式(19)得 口i = 况 i , 尽一 (内 + 戈P) lj (21) 由式 (20 )得 P, K一y乐- 一 P , 孚△t (22) 将式(17 ) 、 (18) 、 (2 1) 、 (22 )代人式(14 )中则得无条件的变分原理的泛函 , 即比奥固结祸合问题的广义变分原 理 : (如·印eij 一孔 i)一论。一如i, ; + 、 , i,〕+ 1 人 K . \} , , 户“ i, i 一 户“ [,i 一 下乙t 丁 P , iP , i 】)d V 一乙 / , ) 尸 I JV11 ...、、 一一H { 石*·、* 一 { (一云i, (·。+ 氏p , ‘i‘ + s 口 s “ dsP, K一y {卧d ‘ + { (, 一 , ,△‘ (23 ) s P 若事先满足约束条件式(2) 、 (3) 、 (11) 、 (13) , 则得有约束条件的最小势能原理 : 1 1 节 、 . /气万a “记“““”一 厂 ‘“‘)一 气娜 ‘, ‘一加孔‘ 1 * 一 二干之么t乙 K . 、刁 , , r一 , . f二 _ ,丁 P 一iP 一i 】l以 V 一 lt iu i山 十 !侧户以 s 戈乙住) , / 一 J J 广|L户l ‘V 一一马 式(24 )类似于 A · 魏如杰 (V er r u ijt)[“〕及 R · S · 冼湖(S a n d hu )与 E · L · 威尔逊(W ils o n )仁‘3j所得到的泛 函 。 刚塑性体的极限分析问题 刚塑性体有四类基本方程 : (1 ) 平衡方程 凡 J + 只一 。 (2) 应变速度氛与位移速度 v i关系 1 , ‘i; = 资 (u 1. ; + u ; . 1) 2 、 一‘·, ’ 一」, ‘Z (3) 流动定律与刚性条件 在 V 内 (2 5) 在砚 内 (2 6) (2 7 ) ￡ij 一 O (4) 屈服条件 f( aij ) 一 介 2 f( 。ij)镇 。: 2 在 矶 内 在 Vr 内 在矶 内 在 V r 内 式中 内 为应力张量 ,氛为应变速度张量 , v i为位移速度向量 ,万; 为体积力向量 , 几为与 (28 ) (2 9 ) (3 0 ) 、 j无关的标量 函数 , f 为屈服函数 , 足标 P代表塑性 , 足标 ; 代表刚性 。 假定边界条件是齐次的 ,并认为式(2 6 ) 已经满足 ,则式(2 5) 、 (2 7 ) 可写成矩阵形式 : 八 1 z o a 一万 、“谁厉卞“jk 翻、易+ 戈剥 。 8 、 ] r 二 二 二只丁产 } ! V i } ! 户 ; I q 尹 ! ! } } ’ . , _ . 、 t 1 1~ l 月 厂 0 1 Lo i ) ! l ! l几钊一 l」 L a 。」 L 出 ”』 即矩阵形式 Au 一 fo 由于式(3 1) 中的A 是正定的 , 如前所述 ,将式(31 ) 中 A , u , f 代人式(6) 中 , 并记为 尸 : 生厂 , 匕!一dV +沙dV 」一 〔乒·dV +分鄂叫 (3 2 ) 应用 G re en 公式并考虑到齐次边界条件 , 在 Vr 内 v i, j 二 o 则 100 陆培炎科技著作及论文选集 ‘ 一 } (一下ivi ’dV 一分鄂 dV (33)对式(33 )变分得 : ‘。 一 } (硒i,j 一豆“ i , dV +分洒 ·dV 一分粼dV 一沙群dV +沙幼dV 由于群处于式‘3‘,了项的”阵电因而“”变分“零 , 以及 V i,j “从赫为零 , 并考虑”Gr ee en 公志 则有 ‘。 一 } (一 , i ,“ 元dV +丈(vi, j一“粼dVo (35)由于 V 内的占V i 、击 ij都是独立的 , 则得 几 i十Fj ~ O vi. i 一 云、一 、旦髻旦过山ij 在 V 内 在矶 内 (2 5) (2 7) 因而 , 式(33) 就是齐次边值条件的泛函 。 在刚塑性体的界面上 , 在两类边界条件 , 即S 一 sa + S , , 在 S , 上 , 基准外力子 已知 , 在 S , 上 ,位移速度云 已知 , 即 (1) 。ijlj = vT * 凡上 (2 ) v ; = v ; S , 上 式中 v 为载荷乘子 , 极限分析的目的在于确定 v 值。 (36) (37) 如果用拉氏乘子 a ij ,风 , , ,入i分别乘式 (26 ) , (28 ) , (2 9) , (3 7) , 用拉氏乘子 a i 、尽乘式 (3 6) , 导人式 (33 ) 的 泛函中 , 则得 “ 一 ! (一几‘,dV 十分鄂 dV 十护1 , . 、 · ] , ; .万、vi , J十 vj , ‘) 一 ￡ij ] a 丫 --t-- 云ijdV (f ·r Z )* + {[ (·。21 一打元卜 , 」一* {(V ‘一石i); ds (38)力f户IJ咋+口.内IJV 变分后 , 应用 G ree n 公式及万 一 “鬓份石 , 则得 犯 一! (一 , i一 ,砂 +丈(vi, j一黔 ”瓢亏dV+ 1 , . 、 · 门 、 , , 「 _ . , ,务(v i. ; + 廿 . ; ) 一云;; }击 i;己V 一 }a 、;医;;己V 2 “ 一 l,J ’ 一 J, ’ 划 口一 “一 ’ J“ ”~ “一 V 肠压ijdV + 尸 l †V + 厂|L尸I JV 举*己V ( , 一 r Z )州v + {(·。, i 一打 i )、 ids + s 口 户 I J气 + 卜吓.件 [ { (·。+ ·。) 21* ids 一介i、 ids + {一‘i* 。ds 一{一举i ds 〕+ { ( V ‘一石i )、 5 + {仁(。。+ ·。, ‘i + ” i ]“ i ds ‘ 口 s 口 ( 3 9 ) 由于 v 、矶 内的加 ; , 份。 ,压。 ,击 ij , 如; ,铸 , 内的解。以及 S 。1 上的 击‘, 举i , 彻 i ,份。, S , 上的加。, 介 i 都是独立的 , 因而 在 V 内 在 Vr 内 在 V 内 在矶 内 ( 4 0 ) ( 4 1 ) ( 2 5 )0一一 00一Fj=…+aij凤内”.土O乙nj 以 , V I. J 一 “鬓十 ;髦一 。 ( 4 2 ) 土力学中的两个广义变分原理 10 1 (5) 1 , = 二干气配 1. 1--t-- 况 1 . 1 乙 一 O (2 6) f一 aT Z = 0 内lj 二 vT i vi 一 vi 在 V 内 在 Vr 内 在巧 内 在凡 内 在 S , 内 (28 ) (29 ) (36 ) (37 ) 、.尹、.了、.产、,尹内卜U叮I八匕Q口‘了、了矛‘、了‘、Z吸、 (1 0 ) { ·。‘j* 、* 一介i* i* + {一 zj* 。ds 一{一举ids 一 O 在凡上 (4 3 ) (11) 由式(43)得 : ‘口 yi - 一内 zJ 在 S , 上 (4 4) a ; 一 vi , 尽一 内lj (45 ) 由式(42) , 两边乘 aij , 得 一。一“鬓。 + ,鬓·。一 0 (4 6) 设 f 是 。。的二次齐次函数 , 故 、鲜。 一 : f , 代人式(4 6) 中得 O 叮 ij 7 “ 之一驰还 2 f (4 7 ) 将式(40) , (4 1) , (4 4) , (4 5) , (4 7)代人式(38 )中 , 得 H 一 l( 。i; 二1. 1 一下i二i)* 一 l几(厂+ 。T Z )* 一 {住凳止(厂一 。: 2 )刃一令 ‘ 岁, 一 了, ‘J - 一 { ·了i一* 一 { ·。‘j‘一云i, ds (48 ) 钱伟长 [l0 〕已证明 , 使泛函H 为驻值的vj , 氛, 。ij , 必使 二为驻值 , 因而载荷乘子为 。 一 、。巨扭竺上兰骂份竺竺竺坐) (49 )L 尸’‘v ‘ds 」 参 考 文 献 [ 1〕 沉珠江 ,用有限单元法计算软土地基的固结变形 , 《水利水运科技情报》, 19 7 7 年第 1期 。 「2〕 殷宗泽 、徐鸿江 、朱泽民 , 饱和土平面固结问题有限单元法 , 《华东水利学院学报》, 19 78 年第 l期 。 〔3」 陆培炎 、熊丽珍 、陈韶永、陈名卿 , 三次及双三次样条函数应用于土的非线性分析 ,《岩土工程学报》, 19 8 2 年第 1期 。 [ 4〕 Zh a吃 lu ni an (张鲁年) , F in ite E le m en t A n alys is fo r Co u p led Pro blem o fCo n so lid a tio n a n d 众forma tio n o f 勘ft G ro u n d u nd e r E m ba n k - m e n t , p ro C. 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