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多面体欧拉公式的发现(一).doc

多面体欧拉公式的发现(一)

生命中的甘泉
2017-09-28 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《多面体欧拉公式的发现(一)doc》,可适用于综合领域

多面体欧拉公式的发现(一)教学时间第九课时课题研究性课题:多面体欧拉公式的发现(一)教学目标(一)教学知识点简单多面体的V、E、F关系的发现欧拉公式的猜想欧拉公式的证明(二)能力训练要求使学生能通过观察具体简单多面体的V、E、F从中寻找规律使学生能通过进一步观察验证所得的规律使学生能从拓扑的角度认识简单多面体的本质使学生能通过归纳得出关于欧拉公式的猜想使学生了解欧拉公式的一种证明思路(三)德育渗透目标通过介绍数学家的业绩培养学生学习数学大师的献身科学、勇于探索的科学研究精神、激发学生对科学的热爱和对理想的追求培养学生寻求规律、发现规律、认识规律并利用规律解决问题的能力教学重点欧拉公式的发现教学难点使学生从中体会和学习数学大师研究数学的方法教学方法指导学生自学法首先通过问题利用具体实物从观察入手培养学生对简单多面体V、E、F关系的感性认识从中寻找规律问题让学生作进一步观察、验证得出规律问题让学生在认识简单多面体的基础上通过归纳得出关于欧拉公式的猜想再通过问题让学生了解欧拉公式的证明思路即从理论上探索对发现规律的证明以上个问题逐步深入地展开旨在不仅使学生在知识上有新的收获同时应体会和学习研究数学的思想和方法教具准备投影片三张第一张:课本P的问题及表(记作A)第二张:课本P的问题及表(记作B)第三张:课本P的问题及P的问题(记作C)教学过程课题导入瑞士著名的数学家是数学史上的最多产的数学家他毕生从事数学研究他的论著几乎涉及世纪所有的数学分支比如在初等数学中欧拉首先将符号正规化如f(x)表示函数e表示自然对数的底a、b、c表示ABC的三边等数学中的欧拉公式、欧拉方πi程、欧拉常数、欧拉方法、欧拉猜想等其中欧拉公式的一个特殊公式e=,将数学上的个常数、、i、e、π联在一起再如就是多面体的欧拉定理V,EF=V、E、F分别代表一简单多面体的顶点、棱和面的数目今天我们就去体验当年的数学大师是如何运用数学思想和方法发现欧拉公式并给予理论上的推理证明等研究活动希望大家在活动中要充分展开自己的想象展开热烈的讨论互相进行数学交流讲授新课,师,我们先从一些常见的多面体出发对它们的顶点数V、面数F、棱数E列出表请大家观察后填写表(打出投影片A)(学生观察数它们的顶点数V、面数F、棱数E填入表),师,好大家填的快速而准确继续观察表的各组数据找出顶点数V、面数F及棱数E的关系如何,(学生寻找可能一时不易得到教师应给予适当点拨提问),师,表中多面体的面数F都随顶点数目V的增大而增大吗,,生,不一定,师,请举例说明,生,如八面体和立方体的顶点数由增大到而面数由减小到,师,此时棱的数目呢,,生,棱数都是一样的,师,所以我们得到:棱的数目也并不随顶点数目的增大而增大大家从表中还发现了其他的什么规律请积极观察勇于发言,生,当多面体的棱数增加时它的顶点与面数的变化也有一定规律,师,举例说明,生甲,如图中()和()的棱数由增大到面数由增大到此时的顶点数也在随棱数的增加而增加即由增大到,师,生甲叙述得严格吗,有不同意见吗,,生乙,顶点数和面数并不是严格按棱数的增大而增大的,师,请试说说你归纳出来的规律,生乙,我发现并认为:当顶点数随棱数的增加而减小时它的面数一定是随棱数的增加而增加的当面数随棱数的增加而减小时它的顶点数却是随棱数的增加而增加,师,生乙归纳得如何,大家对他的叙述同意吗,(可能会有其他想法教师应给学生充分的时间让他们畅所欲言表达他们的新发现并予以一一指导),师,上面的归纳引导去猜想棱数与顶点数面数即E与VF是否有某种关系请大家按这个方向考察表中的数据发现并归纳出它们都满足的关系,生,(积极验证得出)VF,E=,师,以上同学们得到的VF,E=这个关系式是由表中的五种多面体得到那么这个关系式对于其他的多面体是否也成立吗,请大家尽可能的画出多个其他多面体去验证,生,(许多同学可能举出前面学过的图形)四棱锥、五棱锥、六棱柱等(教师应启发学生展开想象举出更多的例子),生,一个三棱锥截去含条棱的一个顶得到的图形、一个立方体截去一个角所得的图形等,师,好同学们现在想象例如:n棱锥在它的n边形面上增加一个“屋顶”或截去含n条棱的一个顶后刚才的猜想是否成立,能证明吗,,生,所得的多面体的棱数E为n条顶点数V为n个面数V为n个因n(n),n=,故满足VF,E=这个关系式,师,请继续来观察一些其他图形的情况(打出投影片B)请同学们观察后将所得数据填入表中(学生观察数它们的顶点数V、面数F、棱数E并填入表可能有些同学出错教师在巡视时要及时给予指导帮助学生填完),师,观察你们的数据请验证这些图形是否符合前面找出的规律吗,其中哪些图形符合,,生,()符合()、()不符合,师,一起来设想问题和问题中的图形在某个橡皮膜上当橡皮膜变形后有的地方伸长、有的地方压缩但不能破裂或折叠橡皮膜上的图形的形状也跟着改变这种图形的变化过程我们称之为连续变形那么请大家试想这些图形中的哪些在连续变形中最后其表面可变为一个球面,(打出投影片C),生,问题中的()~()和问题中的()个图形表面经过连续变形能变为一个球面,师,请同学们继续设想问题中()()在连续变形中其表面最后将变成什么图形,,生,问题中第()个图形表面经过连续变形能变为环面问题中第()个图形表面经过连续变形能变为两个对接球面,师,像以上那些在连续变形中表面能变为一个球面的多面体叫简单多面体请大家判断我们前面所学的图哪些是简单多面体,,生,棱柱、棱锥、正多面体、凸多面体是简单多面体,师,至此在问题、、的基础上我们是否可以得到什么猜想,怎样用式子表达,(有了前面积极地认真解决了问题、、后学生不难归纳出),生,简单多面体的顶点数V、面数F的和与棱数E之间存在规律VF,E=,师,我们将它叫做欧拉公式以上个问题的解决让我们体会到了数学家欧拉发现VF,E=的过程那么如何证明欧拉公式呢,请大家打开课本P的欧拉公式证明方法中的一种认真体会它的证明思路和其间用到的数学思想(学生自学、教师查看发现问题收集问题下节课处理)课堂练习课本P练习、用三棱柱、四棱锥验证欧拉公式解:在三棱柱中:V=F=E=,=VF,E=在四棱锥中:V=F=E=,=VF,E=一个简单多面体的各面都是三角形证明它的顶点数V和面数F有F=V,的关系解:VF,E=FF又E=VF,=F=V,课时小结本节课我们一起体验了数学家欧拉运用数学思想与方法去发现公式VF,E=的过程体会到数学家献身科学、勇于探索的科学研究精神并通过大家自学了解证明欧拉公式成立的一种方法希望同学们仔细阅读研究从中提出一些新问题待我们下节课一起讨论解决课后作业(一)课本P习题、(二)预习内容预习课本P的问题预习提纲()请尝试叙述欧拉公式的证明思路()如何用欧拉公式解决“有没有棱数是的简单多面体,”()为什么正多面体只有五种呢,板书设计研究性课题:多面体欧拉公式的发现(一)欧拉公式的发现过程:练习:(学生板演)问题:观察寻找规律问题:进一步观察验证规律问题:归纳得出猜想小结问题:了解欧拉公式证明思路

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