[定稿]微积分方法建模12传染病模型--数学建模案例分析

[定稿]微积分方法建模12传染病模型--数学建模案例分析[定稿]微积分方法建模12传染病模型--数学建模案例分析 ?12 传染病模型建立传染病模型的目的是描述传染过程、分析受感染人数的变化规律、预报高潮期到来的时间等等。 N 为简单起见假定，传播期间内所观察地区人数不变，不计生死迁移，时间以天为计量单位。模型(一)(SI模型) 模型假设 1、人群分为健康者和病人，在时刻这两类人中所占比例分别为和，即i(t)s(t)t 。 s(t)，i(t),1 ,2、平均每个病人每天有效接触人数是常数，即每个病人平均每天使个健康者受感,s(t) ,染变为病人，称为日接触率...

[定稿]微积分方法建模12传染病模型--数学建模案例分析 ?12 传染病模型建立传染病模型的目的是描述传染过程、分析受感染人数的变化规律、预报高潮期到来的时间等等。 N 为简单起见假定，传播期间内所观察地区人数不变，不计生死迁移，时间以天为计量单位。模型(一)(SI模型) 模型假设 1、人群分为健康者和病人，在时刻这两类人中所占比例分别为和，即i(t)s(t)t 。 s(t)，i(t),1 ,2、平均每个病人每天有效接触人数是常数，即每个病人平均每天使个健康者受感,s(t) ,染变为病人，称为日接触率。模型建立与求解据假设，在时刻，每个病人每天可使个健康者变成病人，病人数为，故每天共,s(t)Ni(t)t 有个健康者被感染，即 ,Ns(t)i(t) diN,,Nsi dt t,0又由假设1和设时的比例，则得到模型 i0 di,i(1i),,,, (1)dt, ,i(0)i,0, (1)的解为 1i(t), (2)1,,t1，(,1)ei0 di i(t) dt 1 2 di()i m0dt 1it 0 0 1 tm2 11di1,,模型解释1、当时，达最大值，这个时刻为，即高潮到来时刻，越i,t,,ln(,1)m2dti0 大，则越小。 tm i,1 2、当时，这即所有的人都被感染，主要是由于没有考虑病人可以治愈，t,, 只有健康者变成病人，病人不会再变成健康者的缘故。模型(二)(SIS模型) 在模型(一)中补充假设 3、病人每天被治愈的占病人总数的比例为，称为日治愈率。 ,模型修正为 di,i(1i)i,,,,,, (时刻每天有病人转变成健康者) (3)Ni,tdt, ,i(0)i,0, (3)的解为 ,,1,,(,,,)t,1,,[，(,)e],,,,,,,i,,0 (4)i(t),,1,1,,(t),,，,,i0, ,,,dididi()i,可以由(3)计算出使达最大的高潮期t。(最大值在时达到)。mmdtdtdt2, ,记，可知 a,, 1,1,a,1, i(,),a, ,0a,1, i(t) a,1 i(t) i0 1a,11, a i 0 0 0 tt (a,1)(a,1) a,0模型解释可知(刻画出该地区医疗条件的卫生水平)为一个阈值，当时，，aai(t),0 1a,1当时，增减性取决于的大小，但其极限，且愈大，它也愈大。1,iai(t)0a 模型(三)(SIR模型) 模型假设 N 1、人群分为健康者，病人和移出者(病愈免疫者)，三类人在时刻在总人数中占比例分t别为，，即 i(t)s(t)，i(t)，r(t),1s(t)r(t) ,,,2、病人日接触率为，日治愈率，传染期间接触数 ,,,模型建立与求解随变化规律仍同模型(二)，对应有 i(t)r(t)t dsdidrdrN,,Ni，，,0 ，且 dtdtdtdt 于是得到模型 di,,,sii,,,dt,ds, (5),si,,,dt, i(0)i,s(0)s,,,00,, dt 从(5)中消去，并注意到的意义，可得 , di1,,,1,,dss (6), ,i|,is,s00, 1si,(s，i),s，ln求出(6)的解为 (7)00,s0 s,ii(t)从(5)中无法得到s(t)和的解析解，转到相平面上讨论解的性质。 ,,D,(s,i)|s,0,i,0,s，i,1 i 1 i 1 sO 1 1, 可根据(5)，(7)及上图分析的变化情况: s(t),i(t),r(t) 1、无论如何，，即病人终将消失。 s,ii,000, 2、最终未被感染的健康者比例是方程 s, s1,sis (8)，,，ln,000,s,0 1(0,)在内的单根。 , 111s,i,s，i,(1，ln,s)s, 3、若，则当时，达到最大值，先增后减i(t)i(t)0m000,,, 至0。 1s, 4、若，则。 i(t),0,s(t),s0,, 模型解释 111s,s, 1、是一个阈值，当时传染病会蔓延，时就不会蔓延。00,,, ,,,, 2、表明愈小，愈大，也愈小，从而愈有利。 ,,, i,0i注:重要参数,可由(8)中令(通常开始时很小)得到估计值 00 s,slnln0,,,s,s(其中可由实验得出估计) 0,s,s0, 模型应用 1、被传染比例的估计 x,s,s 0, 1x1,i,0,s,1,x，n(l1,),0,x,2s(s,)由由(8)， 0000,,s0 当该地区的卫生和医疗水平不变时，就不变，这个比例也不变。 , 2、群体免疫和预防 11由于当时不会蔓延，故降低也是种手段。由，于是可表s,s,si,0,s,1,r000000,, 11示为，即通过群体免疫使初始时刻的移出者比例，就可制止传染病蔓延，r,,r,,1100,, ,,580%但实际上难度很大，因为越大，就要越大(如，则，即有以上人接受免rr,0.8,00 疫)，而且这些人在人群中均匀分布。

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