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高中物理竞赛解题方法之微元法例题.doc

高中物理竞赛解题方法之微元法例题.doc

上传者: 划过天际泪 2017-09-17 评分 0 0 0 0 0 0 暂无简介 简介 举报

简介:本文档为《高中物理竞赛解题方法之微元法例题doc》,可适用于高中教育领域,主题内容包含高中物理竞赛解题方法之微元法例题三、微元法方法简介微元法是分析、解决物理问题中的常用方法也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程符等。

高中物理竞赛解题方法之微元法例题三、微元法方法简介微元法是分析、解决物理问题中的常用方法也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题时需将其分解为众多微小的“元过程”而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的这样我们只需分析这些“元过程”然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理进而使问题求解。使用此方法会加强我们对已知规律的再思考从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。赛题精讲例:如图所示一个身高为h的人在灯以悟空速度v沿水平直线行走。设灯距地面高为H求证人影的顶端C点是做匀速直线运动。解析:该题不能用速度分解求解考虑采用“微元法”。设某一时间人经过AB处再经过一微小过程Δt(Δt)则人由AB到达A′B′人影顶端C点到达C′点由于ΔS′=vΔt则人影顶端的移动速度:AAH,S,AA,SHHh,,CClimlimv===vC,,t,,tt,,tHh,可见v与所取时间Δt的长短无关所以人影的顶端C点做匀速直线运动。c例:如图所示一个半径为R的四分之一光滑球面放在水平桌面上球面上放置一光滑均匀铁链其A端固定在球面的顶点B端恰与桌面不接触铁链单位长度的质量为ρ。试求铁链A端受的拉力T。解析:以铁链为研究对象由由于整条铁链的长度不能忽略不计所以整条铁链不能看成质点要分析铁链的受力情况须考虑将铁链分割使每一小段铁链可以看成质点分析每一小段铁边的受力根据物体的平衡条件得出整条铁链的受力情况。在铁链上任取长为ΔL的一小段(微元)为研究对象其受力分析如图甲所示。由于该元处于静止状态所以受力平衡在切线方向上应满足:TΔT=ΔGcosθTΔT=ΔGcosθ=ρgΔLcosθθθθθ由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大ΔT所以整个铁链对A端θ的拉力是各段上ΔT的和即:θT=ΣΔT=ΣρgΔLcosθ=ρgΣΔLcosθθ观察ΔLcosθ的意义见图乙由于Δθ很小所以CDOCOCE=θΔLcosθ表示ΔL在竖直方向上的投影ΔR所以ΣΔLcosθ=R可得铁链A端受的拉力:T=ρgΣΔLcosθ=ρgR例:某行星围绕太阳C沿圆弧轨道运行它的近日点A离太阳的距离为a行星经过近日点A时的速度为v行星的远日点B离开太阳的距离为b如图所示求A它经过远日点B时的速度v的大小。B解析:此题可根据万有引力提供行星的向心力求解。也可根据开普勒第二定律用微元法求解。设行星在近日点A时又向前运动了极短的时间Δt由于时间极短可以认为行星在Δt时间内做匀速圆周运动线速度为vA半径为a可以得到行星在Δt时间内扫过的面积:,S=vΔtaaA同理设行星在经过远日点B时也运动了相同的极短时间Δt则也有:,S=vΔtbbBa=S。即得:v=v由开普勒第二定律可知:SabBAb(此题也可用对称法求解。)例:如图所示长为L的船静止在平静的水面上立于船头的人质量为m船的质量为M不计水的阻力人从船头走到船尾的过程中问:船的位移为多大,解析:取人和船整体作为研究系统人在走动过程中系统所受合外力为零可知系统动量守恒。设人在走动过程中的Δt时间内为匀速运动则可计算出船的位移。设v、v分别是人和船在任何一时刻的速率则有:mv=Mv两边同时乘以一个极短的时间Δt有:mvΔt=MvΔt由于时间极短可以认为在这极短的时间内人和船的速率是不变的所以人和船位移大小分别为Δs=vΔtΔs=vΔt由此将式化为:mΔs=MΔs把所有的元位移分别相加有:mΣΔs=MΣΔs即:ms=Ms此式即为质心不变原理。其中s、s分别为全过程中人和船对地位移的大小又因为:L=ssm由、两式得船的位移:s=LMm例:半径为R的光滑球固定在水平桌面上有一质量为M的圆环状均匀弹性绳圈原长为πR且弹性绳圈的劲度系数为k将弹性绳圈从球的正上方轻放到球上使弹性绳圈水平停留在平衡位置上如图所示若平衡时弹性绳圈长为πR求弹性绳圈的劲度系数k。解析:由于整个弹性绳圈的大小不能忽略不计弹性绳圈不能看成质点所以应将弹性绳圈分割成许多小段其中每一小段Δm两端受的拉力就是弹性绳圈内部的弹力F。在弹性绳圈上任取一小段质量为Δm作为研究对象进行受力分析。但是Δm受的力不在同一平面内可以从一个合适的角度观察。选取一个合适的平面进行受力分析这样可以看清楚各个力之间的关系。从正面和上面观察分别画出正视图的俯视图如图甲和乙。先看俯视图甲设在弹性绳圈的平面上Δm所对的圆心角是Δθ则每一小,,段的质量:Δm=M,Δm在该平面上受拉力F的作用合力为:,,,,,,T=Fcos=Fsin,,因为当θ很小时sinθθ所以:T=F=FΔθ再看正视图乙Δm受重力Δmg支持力N二力,的合力与T平衡。即:T=ΔmgtanθR,现在弹性绳圈的半径为:r==R,r所以:sinθ==θ=tanθ=R,,因此:T=Δmg=Mg,,,将、联立有:Mg=FΔθ解得弹性绳圈的张力,Mg为:F=,设弹性绳圈的伸长量为x则:x=πR,πR=(,)πRFMg()Mg所以绳圈的劲度系数为:k===xR,()R,,例:一质量为M、均匀分布的圆环其半径为r几何轴与水平面垂直若它能经受的最大张力为T求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度。解析:因为向心力F=mrω当ω一定时r越大向心力越大所以要想求最大张力T所对应的角速度ωr应取最大值。如图所示在圆环上取一小段ΔL对应的圆心角,,为Δθ其质量可表示为Δm=M受圆环对它的张力为,T则同上例分析可得:,,Tsin=Δmrω,,,,,,,,,因为Δθ很小所以:sin即:T=Mrω,T,解得最大角速度:ω=Mr例:一根质量为M长度为L的铁链条被竖直地悬挂起来其最低端刚好与水平接触今将链条由静止释放让它落到地面上如图所示求链条下落了长度x时链条对地面的压力为多大,解析:在下落过程中链条作用于地面的压力实质就是链条对地面的“冲力”加上落在地面上那部分链条的重力。根据牛顿第三定律这个冲力也就等于同一时刻地面对链条的反作用力这个力的冲量使得链条落至地面时的动量发生变化。由于各质元原来的高度不同落到地面的速度不同动量改变也不相同。我们取某一时刻一小段链条(微元)作为研究对象就可以将变速冲击变为恒速冲击。设开始下落的时刻t=在t时刻落在地面上的链条长为x未到达地面部分链条的速度为v并设链条的线密度为ρ。由题意可知链条落至地面后速度立即变为零。从t时刻起取很小一段时间Δt在Δt内又有ΔM=ρΔx落到地面上静止。地面对ΔM作用的冲量为:(F,ΔMg)Δt=ΔI,,因为ΔMgΔt所以:FΔt=ΔMv,=ρvΔx解得冲力:,x,xF=ρv其中就是t时刻链条的速度v故F=ρv链条在t时刻的速度v,t,t即为链条下落长为x时的即时速度即:v=gx代入F的表达式中得:F=ρgx此即t时刻链对地面的作用力也就是t时刻链条对地面的冲力。Mgx所以在t时刻链条对地面的总压力为:N=ρgxρgx=ρgx=L例:一根均匀柔软的绳长为L质量为m对折后两端固定在一个钉子上其中一端突然从钉子上滑落试求滑落的绳端点离钉子的距离为x时钉子对绳子另一端的作用力是多大,解析:钉子对绳子另一端的作用力随滑落绳的长短而变化由此可用微元法求解。如图所示当左边绳端离钉子的距离为x时左边绳长为(l,x)速度v=右边绳长为gx(lx)又经过一段很短的时间Δt以后左边绳子又有长度vΔt的一小段转移到右边去了我们就分析这一小段绳子这一小段绳子受到两力:上面绳子m对它的拉力T和它本身的重力vΔtλg(λ=为绳子的线密度)l,根据动量定理设向上方向为正有:(T,vΔtλg)Δt=,(,vΔtλv)由于Δt取得很小因此这一小段绳子的重力相对于T来说是很小的可以忽略所以有:T=vλ=gxλx因此钉子对右边绳端的作用力为:F=(lx)λgT=mg()l例:图中半径为R的圆盘固定不可转动细绳不可伸长但质量可忽略绳下悬挂的两物体质量分别为M、m。设圆盘与绳间光滑接触试求盘对绳的法向支持力线密度。解析:求盘对绳的法向支持力线密度也就是求盘对绳的法向单位长度所受的支持力。因为盘与绳间光滑接触则任取一小段绳其两端受的张力大小相等又因为绳上各点受的支持力方向不同故不能以整条绳为研究对象只能以一小段绳为研究对象分析求解。在与圆盘接触的半圆形中取一小段绳元ΔLΔL所对应的圆心角为Δθ如图甲所示绳元ΔL两端的张力均为T绳元所受圆盘法向支持力为ΔN因细绳质量可忽略法向合力为零则由平衡条件得:,,,,,,ΔN=TsinTsin=T,,,,当Δθ很小时sin故ΔN=TΔθ。又因为ΔL=RΔθ则绳所受法向支持力线密度为:T,,,NTn===R,,,LR以M、m分别为研究对象根据牛顿定律有:Mg,T=MaT,mg=maMmg由、解得:T=MmMmg将式代入式得:n=(Mm)R例:粗细均匀质量分布也均匀的半径为分别为R和r的两圆环相切。若在切点放一质点m恰使两边圆环对m的万有引力的合力为零则大小圆环的线密度必须满足什么条件,解析:若要直接求整个圆对质点m的万有引力比较难当若要用到圆的对称性及要求所受合力为零的条件考虑大、小圆环上关于切点对称的微元与质量m的相互作用然后推及整个圆环即可求解。如图所示过切点作直线交大小圆分别于P、Q两点并设与水平线夹角为α当α有微小增量时则大小圆环上对应微小线元:,,ΔαΔL=rΔαΔL=R其对应的质量分别为:,,Δm=ρΔl=ρRΔαΔm=ρΔl=ρrΔα由于Δα很小故Δm、Δm与m的距离可以认为分别是:r=Rcosαr=rcosα所以Δm、Δm与m的万有引力分别为:Gmm,GRm,,,,Gmm,GRm,,,,ΔF==ΔF==r(Rcos),r(rcos),由于α具有任意性若ΔF与ΔF的合力为零则两圆环对m的引力的合力也为零GRm,,,,GRm,,,,即:=(Rcos),(rcos),,R解得大小圆环的线密度之比为:=r,例:一枚质量为M的火箭依靠向正下方喷气在空中保持静止如果喷出气体的速度为v那么火箭发动机的功率是多少,解析:火箭喷气时要对气体做功取一个很短的时间求出此时间内火箭对气体做的功再代入功率的定义式即可求出火箭发动机的功率。选取在Δt时间内喷出的气体为研究对象设火箭推气体的力为F根据动量定理,有:FΔt=Δmv因为火箭静止在空中所以根据牛顿第三定律和平衡条件有:F=Mg,,mv,,即:MgΔt=Δmv或者:Δt=Mg对同样这一部分气体用动能定理火箭对它做的功为:W=Δmv,mvW所以发动机的功率:P===Mgv,mv,tMg例:如图所示小环O和O′分别套在不动的竖直杆AB和A′B′上一根不可伸长的绳子穿过环O′绳的两端分别系在A′点和O环上设环O′以恒定速度v向下运动求当AOO′=α时环O的速度。解析:O、O′之间的速度关系与O、O′的位置有关即与α角有关因此要用微元法找它们之间的速度关系。设经历一段极短时间ΔtO′环移到C′O环移到C自C′与C分别作为O′O的垂线C′D′和CD从图中看出。,,ODODOC=O′C′=因此:cos,cos,,,ODODOCO′C′=cos,因Δα极小所以EC′ED′ECED从而:ODO′D′OO′,CC′由于绳子总长度不变故:OO′,CC′=O′C′,,OC由以上三式可得:OCO′C′=即:OC=O′C′(,)cos,cos,等式两边同除以Δt得环O的速度为:v=v(,)cos,例:在水平位置的洁净的平玻璃板上倒一些水银由于重力和表面张力的影响水银近似呈现圆饼形状(侧面向外凸出)过圆饼轴线的竖直截面如图所示为了计算方便水银和玻璃的接触角可按计算。已知水银密度ρ=kgm水银的表面张力系数σ=Nm。当圆饼的半径很大时试估算其厚度h的数值大约为多少,(取位有效数字即可)解析:若以整个圆饼状水银为研究对象只受重力和玻璃板的支持力在平衡方程中液体的体积不是h的简单函数而且支持力N和重力mg都是未知量方程中又不可能出现表面张力系数因此不可能用整体分析列方程求解h。现用微元法求解。在圆饼的侧面取一个宽度为Δx高为h的体积元如图甲所示该体积元受重力G、液体内部作用,在面积Δxh上的压力F则:P,,F=S=ρghΔxh=ρghΔx还有上表面分界线上的张力F=σΔx和下表面分界线上的张力F=σΔx。作用在前、后两个侧面上的液体压力互相平衡作用在体积元表面两个弯曲分界上的表面张力的合力当体积元的宽度较小时这两个力也是平衡的图中都未画出。由力的平衡条件有:F,Fcosθ,F=,,即:ρghΔx,σΔxcosθ,σΔx=(cos),,,解得:h==cos,,g,,,由于,θ,所以:,,故:m,h,mcos,,,题目要求只取位有效数字所以水银层厚度h的估算值为m或m。例:把一个容器内的空气抽出一些压强降为p容器上有一小孔上有塞子现把塞子拔掉如图所示。问空气最初以多大初速度冲进容器,(外界空气压强为p、密度为ρ)解析:该题由于不知开始时进入容器内分有多少不知它们在容器外如何分布也不知空气分子进入容器后压强如何变化使我们难以找到解题途径。注意到题目中“最初”二字可以这样考虑:设小孔的面积为S取开始时位于小孔外一薄层气体为研究对象令薄层厚度为ΔL因ΔL很小所以其质量Δm进入容器过程中不改变容器压强故此薄层所受外力是恒力该问题就可以解决了。由以上分析得:F=(p,p)S,对进入的Δm气体由动能定理得:FΔL=Δmv而Δm=ρSΔL(pp),联立、、式可得:最初中进容器的空气速度:v=,例:电量Q均匀分布在半径为R的圆环上(如图所示)求在圆环轴线上距圆心O点为x处的P点的电场强度。解析:带电圆环产生的电场不能看做点电荷产生的电场故采用微元法用点电荷形成的电场结合对称性Q求解。选电荷元Δq=RΔθ它在P点产生的电场的R,场强的x分量为:,qRQ,,x,ΔE=kcosα=kxrR(Rx),RxkQxkQxkQx,根据对称性:E=ΣΔE=Σθ=π=x(Rx),(Rx),(Rx)由此可见此带电圆环在轴线P点产生的场强大小相当于带电圆环带电量集中在圆环的某一点时在轴线P点产生的场强大小方向是沿轴线的方向。例:如图所示一质量均匀分布的细圆环其半径为R质量为m。令此环均匀带正电总电量为Q。现将此环平放在绝缘的光滑水平桌面上并处于磁感应强度为B的均匀磁场中磁场方向竖直向下。当此环绕通过其中心的竖直轴以匀角速度ω沿图示方向旋转时环中的张力等于多少,(设圆环的带电量不减少不考虑环上电荷之间的作用)解析:当环静止时因环上没有电流在磁场中不受力则环中也就没有因磁场力引起的张力。当环匀速转动时环上电荷也随环一起转动形成电流电流在磁场中受力导致环中存在张力显然此张力一定与电流在磁场中受到的安培力有关。由题意可知环上各点所受安培力方向均不同张力方向也不同因而只能在环上取一小段作为研究对象从而求出环中张力的大小。在圆环上取ΔL=RΔθ圆弧元受力情Q,况如图甲所示。因转动角速度ω而形成的电流:I=电流元IΔL所受的安培,R,力:ΔF=IΔLB=QBΔθ,圆环法线方向合力为圆弧元做匀速圆周运动所需的向心力故:,,Tsin,ΔF=ΔmωR,,,,当Δθ很小时sin故有:RQB,TΔθ,Δθ=ΔmωR,mRQB,mR,Δm=ΔθTΔθ,Δθ=Δθ,,,R,解得圆环中张力为:T=(QBmω),例:如图所示一水平放置的光滑平行导轨上放一质量为m的金属杆导轨间距为L导轨的一端连接一阻值为R的电阻其他电阻不计磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面。现给金属杆一个水平向右的初速度v然后任其运动导轨足够长试求金属杆在导轨上向右移动的最大距离是多少,解析:水平地从a向b看杆在运动过程中的受力分析如图甲所示这是一个典型的在变力作用下求位移的题用我们已学过的知识好像无法解决其实只要采用的方法得当仍然可以求解。设杆在减速中的某一时刻速度为v取一极短时间Δt发生了一段极小的位移Δx在Δt时间内磁通量的变化为:BLx,,,,Δφ=BLΔxI===Rt,Rt,RBLx,金属杆受到安培力为:F=BIL=安Rt,由于时间极短可以认为F为恒力选向右为正方向安在Δt时间内安培力F的冲量为:安BLx,ΔI=,FΔt=,安R对所有的位移求和可得安培力的总冲量为:BLx,BLI=Σ(,)=,xRR其中x为杆运动的最大距离对金属杆用动量定理可得:I=,mvmvR由、两式得:x=BL所示电源的电动热为E电例:如图容器的电容为CS是单刀双掷开关MN、PQ是两根位于同一水平面上的平行光滑长导轨它们的电阻可以忽略不计两导轨间距为L导轨处在磁感应强度为B的均匀磁场中磁场方向垂直于两导轨所在的平面并指向图中纸面向里的方向。L和L是两根横放在导轨上的导体小棒质量分别为m和m且m,m。它们在导轨上滑动时与导轨保持垂直并接触良好不计摩擦两小棒的电阻相同开始时两根小棒均静止在导轨上。现将开关S先合向然后合向。求:()两根小棒最终速度的大小()在整个过程中的焦耳热损耗。(当回路中有电流时该电流所产生的磁场可忽略不计)解析:当开关S先合上时电源给电容器充电当开关S再合上时电容器通过导体小棒放电在放电过程中导体小棒受到安培力作用在安培力作用下两小棒开始运动运动速度最后均达到最大。()设两小棒最终的速度的大小为v则分别为L、L为研究对象得:,FΔt=m,mv有:ΣFΔt=mvviiii同理得:ΣFΔt=mvii由、得:ΣFΔtΣFΔt=(mm)viiii又因为F=BliF=BliΔt=Δtii=iiiii所以:ΣBLiΔtΣBLiΔt=BLΣ(ii)Δt=BLΣiΔt=BL(Q,q)=(mm)viiii而Q=CEq=CU′=CBLvBLCE所以解得小棒的最终速度:v=(mm)CBLq,()因为总能量守恒所以:CE=(mm)vQ热Cq,即产生的热量:Q=CE,,(mm)v热C,=CE,(CBLv),(mm)vCBLCE=CE,,CBL,(mm),(mm)CBL(mm)CE=(mmBLC)针对训练(某地强风的风速为v设空气的密度为ρ如果将通过横截面积为S的风的动能全部转化为电能则其电功率为多少,(如图所示山高为H山顶A和水平面上B点的水平距离为s。现在修一条冰道ACB其中AC为斜面冰道光滑物体从A点由静止释放用最短时间经C到B不计过C点的能量损失。问AC和水平方向的夹角θ多大,最短时间为多少,(如图所示在绳的C端以速度v匀速收绳从而拉动低处的物体M水平前进当绳AO段也水平恰成α角时物体M的速度多大,(如图所示质量相等的两个小球A和B通过轻绳绕过两个光滑的定滑轮带动C球上升某时刻连接C球的两绳的夹角为θ设A、B两球此时下落的速度为v则C球上升的速度多大,(质量为M的平板小车在光滑的水平面上以v向左匀速运动一质量为m的小球从高h处自由下落与小车碰撞后反弹上升的高度仍为h。设Mm碰撞弹力Ng球与车之间的动摩擦因数为μ则小球弹起后的水平速度可能是()A、B、C、μD、vghgh(半径为R的刚性球固定在水平桌面上。有一质量为M的圆环状均匀弹性细绳圈R原长πaa=绳圈的弹性系数为k(绳伸长s时绳中弹性张力为ks)。将绳圈从球的正上方轻放到球上并用手扶着绳圈使其保持水平并最后停留在某个静力平衡位置。考虑重力忽略摩擦。()设平衡时弹性绳圈长πbb=a求弹性系数k(用M、R、g表示g为重力加速度)Mg()设k=求绳圈的最后平衡位置及长度。R,(一截面呈圆形的细管被弯成大圆环并固定在竖直平面内在环内的环底A处有一质量为m、直径比管径略小的小球小球上连有一根穿过环顶B处管口的轻绳在外力F作用下小球以恒定速度v沿管壁做半径为R的匀速圆周运动如图所示。已知小球与管内壁中位于大环外侧部分的动摩擦因数为μ而大环内侧部分的管内壁是光滑的。忽略大环内、外侧半径的差别认为均为R。试求小球从A点运动到B点过程中F做的功W。F(如图来自质子源的质子(初速度为零)经一加速电压为kV的直线加速器加速形成电流为,mA的细柱形质子流。已知质子电荷e=C。这束质子流每秒打到靶上的质子数为。假设分布在质子源到靶之间的加速电场是均匀的在质子束中与质子源相距l和l的两处各取一段极短的相等长度的质子流其中质子数分别为n和n则nn。(如图所示电量Q均匀分布在一个半径为R的细圆环上求圆环轴上与环心相距为x的点电荷q所受的力的大小。(如图所示一根均匀带电细线总电量为Q弯成半径为R的缺口圆环在细线的两端处留有很小的长为ΔL的空隙求圆环中心处的场强。(如图所示两根均匀带电的半无穷长平行直导线(它们的电荷线密度为η)端点联线LN垂直于这两直导线如图所示。LN的长度为R。试求在LN的中点O处的电场强度。(如图所示有一均匀带电的无穷长直导线其电荷线密度为η。试求空间任意一点的电场强度。该点与直导线间垂直距离为r。(如图所示半径为R的均匀带电半球面电荷面密度为δ求球心O处的电场强度。(如图所示在光滑的水平面上有一垂直向下的匀强磁场分布在宽度为L的区域内现有一个边长为a(a,L)质量为m的正方形闭合线框以初速v垂直磁场边界滑过磁场后速度变为v(v,v)求:()线框在这过程中产生的热量Q()线框完全进入磁场后的速度v′。(如图所示在离水平地面h高的平台上有一相距L的光滑轨道左端接有已充电的电容器电容为C充电后两端电压为U。轨道平面处于垂直向上的磁感应强度为B的匀强磁场中。在轨道右端放一质量为m的金属棒当闭合S棒离开轨道后电容器的两极电压变为U求棒落在离平台多远的位置。(如图所示空间有一水平方向的匀强磁场大小为B一光滑导轨竖直放置导轨上接有一电容为C的电容器并套一可自由滑动的金属棒质量为m释放后求金属棒的加速度a。参考答案、Sρvsh、θ=()ghv、cosxv、,cos、CD()Mg、()()绳圈掉地上长度为原长R,、mgRμmπv、Qqx、k(Rx)Ql,、kR,k,、Rk,、r、πRδvv、m(,v)v′=vCBL(UU),h、gmmg、a=mCBL

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