用绝对值的几何意义解题
大家知道,|a|的几何意义是:数轴上表示a的点到原点的距离;|a,b|的几何意义是:数轴上表示数a、b的两点的距离(对于某些问题用绝对值的几何意义来解,直观简捷,事半功倍(
一、求代数式的最值
例1 已知a是有理数,| a,2007|+| a,2008|的最小值是________(.
解:由绝对值的几何意义知,| a,2007|+| a,2008|表示数轴上的一点到表示数2007和2008两点的距离的和,要使和最小,则这点必在2007,2008之间(包括这两个端点)取值(如图1所示),故| a,2007|+| a,2008|的最小值为1.
例2 |x,2|,| x,5| 的最大值是_______,最小值是_______(
解:把数轴上表示x的点记为P(由绝对值的几何意义知,|x,2|,| x,5|表示数轴上的一点到表示数2和5两点的距离的差,当P点在2的左边时,其差恒为,3;当P点在5的右边时,其差恒为3;当P点在2,5之间(包括这两个端点)时,其差在,3,3之间(包括这两个端点)(如图2所示),因此,|x,2|,| x,5|的最大值和最小值分别为3和,3(
二、解绝对值方程
例3 方程|x,1|+|x,2|,4的解为__________(
解:把数轴上表示x的点记为P,由绝对值的几何意义知,当,2?x?1时,|x,1|+|x,2|恒有最小值3,所以要使|x,1|+|x,2|,4成立,则点P必在,2的左边或1的右边,且到表示数,2或1的点的距离均为个单位(如图3所示),故方程|x,1|+|x,2|,4的解为:
x ,,2,,,,x , 1+, (
三、求字母的取值范
例4 若 |x+1|+|2,x|,3,则x的取值范围是________(
解:由绝对值的几何意义知,|x+1|+|x,2|的最小值为3,此时x在,1,2之间(包括两端点)取值(如图4所示),故x的取值范围是,1?x?2(
例5 对于任意数x,若不等式|x,2|+|x,4|,a恒成立,则a的取值范围
是___________(
解:由绝对值的几何意义知,|x,2|+|x,4|的最小值为6,而对于任意数x,|x,2|+|x,4|,a恒成立,所以a的最值范围是a,6(
四、解不等式
例6 不等式|x,2|+|x,3|,5的解集是__________(
解:由绝对值的几何意义知,|x,2|+|x,3|的最小值为5,此时x在,2,3之间(包括两端点)取值,若|x,2|+|x,3|,5成立,则x必在,2的左边或3的右边取值(如图5所示),故原不等式的解集为x,,2或x,3(
五、判断方程根的个数
例7 方程|x+1|+|x+99|+|x,2|,1996共有( )个解(
A.(4; B( 3; C( 2; D(1
解:当x在,99,,1之间(包括这两个端点)取值时,由绝对值的几何意义知,|x+1|+|x+99|,98,|x,2|,98(此时,|x+1|+|x+99|+|x,2|,1996,
故|x+1|+|x+99|+|x,2|,1996时,x必在,99,,1之外取值,故方程有2个
解,选(C)(
六、综合应用
,2|+|1,x|,9,|y,5|,|1+y|,例8(第15届江苏省竞赛题,初一)已知|x求x+ y最大值与最小值(
解:原方程变形得|x,2|+|x,1|+|y,5|+|y+1||,9,
? |x,2|+|x,1|?3,|y,5|+|y+1|?6,
而|x,2|+|x,1|+|y,5|+|y+1|,9,
?|x,2|+|x,1|,3,|y,5|+|y+1|,6,
?,2?x?1,,1?y?5,
故x+ y的最大值与最小值分别为6和,3(
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