多面体和旋转体的体积2010719213856

多面体和旋转体的体积2010719213856 ????? （一）知识教学点 1．体积的概念与公理5、公理6． 2．棱柱、圆柱的体积公式． （二）能力训练点 1．理解并掌握公理5及其推论1、2和公理6． 2．理解并掌握棱柱、圆柱的体积公式并会应用它求棱柱、圆柱的组合体的 体积． （三）德育渗透点 1．使学生认识求棱柱、圆柱的体积是人类生产实践的需要，进一步培养学 生实践第一的观点． 2．通过公理6（祖暅原理）把棱柱、圆柱的体积问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 转化成可求体积的等 积体——长方体的体积问题，使学生懂得一般与特殊间关系及化归的解题意识． 3．通过祖暅原理的提出比国外早1200年的事实，激发学生的爱国热情． 1．教学重点：公理5、6，棱柱、圆柱的体积公式及其应用． 2．教学难点：对公理6的理解及利用公理6、5推出棱柱、圆柱的体积公式． 3．教学疑点：把棱柱、圆柱的体积转化成等积的长方体，这个长方体的存 在性． 1课时． （一）体积的概念 师：在生产建设和科学实验中，经常会遇到关于物体体积的问题，这些问题与各种几 何体的体积有关，那么什么叫做几何体的体积？ 生：几何体占有空间部分的大小叫做它的． 师：同度量长度、面积一样，要度量一个几何体的体积，首先要选取一个单位体积作 为标准，然后求出几何体的体积是单位体积的多少倍，这个倍数就是这个几何体的体积的数 值．通常取棱长等于单位长度（例如1cm、1m等）的正方体的体积作为． 作为推算体积的基础，我们把下面的两个事实 当作公理． （二）两个公理 V V V 图2-48 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示，夹在平行平面α、β之间的两个形状不同的几何体，被平行 于平面α、β的任意一个平面所截，如果截面P和Q的面积总相等，那么它们的 体积一定相等． 师：公理6的条件有三个：（1）这两个几何体夹在两个平行平面之间；（2）两个几何体被平行于这两个平面的平面所截；（3）两个截面的面积．三个条件缺一不可，否则不能得出两个几何体的体积相等． 师：我国古代数学家祖暅，早在公元五世纪，就在实践的基础上， 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 出这个公理， 并首先用这个公理证明了球的体积公式，因而我们把公理6也叫做祖暅原理．祖暅比外 国人早十二世纪提出这个事实．在古代我国数学家对世界数学发展的贡献也是很 大的． （三）棱柱、圆柱的体积 师：下面我们用以上两个公理来求棱柱和圆柱的体积． 师问：棱柱、圆柱的截面有什么性质？ 生：平行于底面的截面与底面相等． 师：设棱柱与圆柱的底面积都为S、高都为h，根据祖暅原理，那么它们的体积 相等，但等于多少呢？为此还必须引进一个底面积为S、高为h的长方体，而这样的长方体、棱柱、圆柱的体积都相等．由公理5的推论1和V长方体=Sh，于是得到下面的定理： V π （四）例题 例1 有一堆相同规格的六角螺帽毛坯（图2-50）共重5.8kg，已知底面六边形的边长是12mm，高是10mm，内孔直径是10mm．问约有毛坯多少个（铁的比 重是7.8g/cm3）． 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：要先求出一个螺丝帽的体积，而一个螺丝帽的体积等于一个正六棱柱与一个圆 柱体积之差．象这样，由若干个简单体组合而成的几何体，叫做组合体．求组合体积的关键 是掌握简单体的体积公式．这是一个实际题，是属于近似计算的，由于所给的数据都具有两 位有效数字，因此运算过程中都取三位有效数字，结果取二位有效数字． 解：六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积之差． 毛坯的体积V =3.74×103-0.785×103 ?2.96×103（mm3） =2.96（cm3）． 5.8×103?（7.8×2.96）?2.5×102（个） 答：这堆毛坯约有250个． 例2 三棱柱的底面是?ABC，AB=13cm，BC=15cm，CA=12cm，侧棱AA′的长是20cm，如果侧AA′与底面所成的角是60?，求这个三棱柱的体积． 分析：求三棱柱的体积先要求棱柱的底面积和高． 解：设A′在平面ABC上的射影为H，则A′H是棱柱的高，?A′AH=60?（图2-51）． 在Rt?ABC中，AB=3，BC=5，CA=12， ?AB2=BC2+CA2，??C=90?． 根据柱体的体积公式，得 （五）课堂练习 1．用棱长为1的正方体的体积作为体积单位．图2-47中长方体体积为24，假如将体积单位改用棱长为2的正方体的体积，这个长方体的体积为多少？为什 么？ 解：这个长方体的体积为3．因为新体积单位的体积是原来的8倍， 2．一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，比较它们的体积哪个大？ 大多少？ 解：设正方体棱长为x，则圆柱的高h=x． ?S正方体侧=4x2 V正方体=x3 S圆柱侧=2πrx． ?S正方体侧=S圆柱侧， （六）总结 这节课我们学习了公理5、6及公理5的两个推论，学习了棱柱、圆柱的体积 公式及这些公式的简单的应用． P．98中2、3、4、7、8、11． 2．7 体积的概念与公理 2．8 棱柱、圆柱的体积 一、体积的概念及体积的度量 二、公理5 V长方体=abc 推论1 V长方体=Sh 推论2 V正方体=a3 公理6 （见课本P94） 三、V柱体=Sh V圆柱=πr2h 例1…… 例2…… （一）知识教学点 1．等底面积等高的两个锥体体积之间的相等关系． 2．棱锥、圆锥的体积公式． （二）能力训练点 1．理解并掌握等底面积等高的两个锥体的体积相等． 2．理解并掌握棱锥、圆锥的体积公式并会应用它解有关的问题． （三）德育渗透点 1．使学生认识求锥体体积是人类生产实践的需要，进一步培养学生实践第 一的观点． 2．通过等底面积等高的锥与柱的体积关系的实验及证明，向学生揭示认识 事物先感性认识、后理性认识的规律． 3．通过用割补方法推导锥体体积公式，让学生了解事物间的内在联系、进 而提高数形结合的解题意识． 1．教学重点：锥体体积公式及其应用． 2．教学难点：锥体体积公式的证明． 1课时． （一）引入新课 得底面弧长为2.8m，母线长为2.2m，这堆谷重约多少（谷的比重720kg/m3）？ 师：这问题的关键是求这堆形谷的体积．先来做一个实验．等底面积、等高的圆柱形 和锥形容器各一个，把圆锥容器装满细沙倒入圆柱中，连续三次，发现刚好装满圆柱．由这 个实验可得出什么结论？ 师：若把实验中的圆柱形、圆锥形容器改为三 棱柱、三棱锥（条件：底面积相等、高相等不变）可得什么结论？ 师：我们先研究等底面积、等高的任意两个锥体体积之间的关系． 取任意两个锥体，设它们的底面积都是S、高都是h（图2-53）． 把这两个锥体放在同一平面α上，这时它们的顶点都在和平面α平行的同一个平面内，用平行于α的任意平面去截它们，截面分别与底面相似．设截面和顶点的距离是h，截面面积分别是S1、S2，那么，? 根据祖暅原理这两个锥体的体积相等． 现在，我们来证明三棱锥的体积公式． 因此我们可考虑把三棱锥1以?ABC为底面、AA′为侧棱补成一个三棱柱，然 后再把这个三棱柱分割成三个三棱锥1、2、3（如图2-54）（借助模型）． 三棱锥1、2底?ABA′、?B′A′B面积相等，高也相等（顶点都是C）；三棱锥2、3的底?BCB′、?C′B′C的面积相等，高也相等（顶点都是A′）， ?V三棱柱=Sh， 证明过程的 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 写见课本．（让学生看书3分钟．） 最后，因为和一个三棱锥等底面积等高的任何锥体都和这个三棱锥的体积相等，所以 我们得到下面的定理： 接下去我们来计算这堆谷的重量问题． 解：圆锥底面周长=4×2.8=11.2（m）． 谷的重量=1.07×720?770（kg）． 例2 正四面体P—ABC的高为h，M为底面ABC内部的点，M到三个侧面PAB、 PBC、PCA的距离分别为h1、h2、h3，求h1+h2+h3的值． 分析：先考虑这样一个问题：设等边三角形的高为h，M是边BC上的点，M到边 AB、AC的距离分别为h1、h2，则h1、h2与h有什么关系？为什么？（让学生讨论后发表证法．） 生：h1+h2=h． 证法一．连AM则 S?ABC=S?ABM+S?ACM 证法二．h1+h2=MBsinB+MCsinC=BCsin60?=h． 证法三．作MN?AC交AB于N，作BD?AC于D交MN于G（图2-55），易知h2=DG，而?BMN为正三角形，故h2=BG，故h1+h2=BG+GD=h． 从中我们能有什么启发？ 仿证法一，解为下： 设正四面体P—ABC的一个面的面积为S、连MP、MA、MB、MC． 则VM—PAB+VM—PBC+VM—PCA=VP—ABC 师：若M为正四面体内任一点，它到四个面的距离分别为h1、h2、h3、h4；则h1、h2、h3、h4与h有什么关系？为什么？（让学生课后思考．） 让学生看课本P．102中例1、2． （二）课堂练习 P．103中练习1、2． 习题十三1、2． （练习2动笔证，其余用口答形式．） （三）总结 的证明是一个难点．先补后割，割后的三个三棱锥有两两等底等高的关系要分辨清 楚．例2是用割补法解题的又一例子． P．103中习题十三3—8． ?2．9 棱锥、圆锥的体积 定理 等底面积等高的两个锥体的体积相等． 例1…… 例2…… （一）知识教学点 棱台、圆台的体积公式． （二）能力训练点 1．理解并掌握棱台、圆台的体积公式并会应用它解有关的问题． 2．了解柱体（棱柱和圆柱）、锥体（棱锥和圆锥）、台体（棱台和圆台） 有区别又有联系，可以转化． （三）德育渗透点 通过柱体、锥体、台体间的区别、联系及转化关系的教学，提高学生从事物间的联系 和变化中来认识事物的能力． 1．教学重点：棱台、圆台的体积公式及其应用． 2．教学难点：用S、S′、h表示截去锥体的高． 1课时． （一）引入新课 师：什么叫做棱台、圆台？ 生：用平行于棱锥（圆锥）、底面的平面去截棱锥（圆锥），底面和截面之间的部分 叫做棱台（圆台）． 师：此定义可理解为棱台、圆台分别是棱锥、圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体 得到的．而锥体的体积我们已经会计算，因此台体的体积可以用两个锥体的体积差来计算． 若已知台体的上、下底面的面积分别是S′、S，高是h，那么这个台体的体积是多少？ 设截得台体时去掉的锥体的高是x，去掉的锥体和原来的锥体的体积分别是V′、 V（如图2-57）． ?V台体=V-V′ 师：表达式还含未知数x，能否进一步用S、S′、h来表示x呢？注意原锥体 与去掉的锥体有什么关系？ 生：相似关系． 师：相似形有什么性质？ 生：对应面积比等于相似比的平方比． 代入上式，得 因此我们得到下面的定理： 最后，我们注意到，在台体的体积公式中若设S′=S，就得到柱体 这样，柱体、锥体、台体的体积之间可表示为下图： 例1 有一个正四棱台形油槽，可以装煤油190升，假如它的两底面边长分 别等于60cm和40cm，求它的深度． 解：?上底面面积S′=402=1600， 下底面面积S=602=3600， 由已知V=190升=190000cm3， 答：油槽深度是75cm． 例2 表面积为16π的球内切于一圆台，已知此圆台侧面展开图的圆心角 为216?，求这个圆台的体积． 解：?球的表面积为16π， ?球的半径R=2． ?圆台的高h=2R=4． （师：球体积还需求两底半径．） 设圆台上、下底面半径分别为r′、r则其母线l=r+r′． （师：r、r′两个未知数才得一个方程，还要设一个方程．相比条件怎么用 它有什么性质？） 如图2-58在Rt?AOD中由OE?AD得 OE2=DE?AE即rr′=4．? 解??得r=4，r′=1． 答：此圆台的体积为28π． （二）练习 P．107中练习．习题十四1、5． （三）总结 这节课我们学习了棱台、圆台的体积公式及柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系． P．107中习题十四2、3、4、7、8、9． 复习一下P．79中习题4． 棱台、圆台的体积 二、 例1…… 例2…… （一）知识教学点 球的体积公式． （二）能力训练点 1．充分分析平行于半球截面面积表达式S=πR2-πl2的几何意义、特征， 从而找出满足祖暅原理又可计算体积的几何体．提高学生分析问题、解决问题的 能力． 2．掌握球的体积公式，并会应用它解决有关的问题． （三）德育渗透点 通过先用实验方法进行验证，然后再用证明球的体积的方法，使学生懂得对事物的认 识往往是先有感性认识，然后再从理论上去证明，进而把感性认识提高到理性认识，这就是 认识事物的规律． 1．教学重点：球的体积公式及其应用． 2．教学难点：球的体积公式的证明，特别是找那个满足祖暅原理又可计算 体积的几何体． 1课时． （一）引入新课 师：我们前面学习了公理5及其推论，又学习了祖暅原理（公理6），并以这两个公理为基础推出了柱体、锥体的体积．这一节课我们要应用祖暅原理推出球 体的体积公式． 先做这样一个实验：取一个半径为R的半球，再各取一个底面半径与高都是R的圆柱桶和圆锥．先把圆锥放入圆柱桶内，再将半球里面装满细沙，把这些细沙 倒入圆柱桶内，这时圆柱桶恰好装满．（见图2-59），这个实验给我们什么启 示？ 我们回忆一下祖暅原理（请一位学生叙述原理的内容），求球的体积关键是找一个满 足原理又可计算体积的几何体．这个几何体的形状应是怎样的？先观察与半径为R的半球底面平行，且与底面距离为l的截面面积S=πR2-πl2．而πR2-πl2可能作一圆环面积，其中圆环的大圆半径为R对任意截面不变，故底面半径为R的圆柱满足；小圆半径要等于l，轴截面为等腰直角三角形的倒圆锥具有这性质，这就启 发我们用祖暅原理可以这样推导： 取一个底面半径和高都等于R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底 面、下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体和半球放在同一个平面α上（图2-59），因为圆柱的高等于R，所以这个几何体和半球都夹在两个平行平面之间． 用平行于平面α的任意一个平面去截这两个几何体，截面分别是圆 圆环面的大圆半径为R，小圆半径为l（因为?O′O1B是等腰三角形）．因此： S圆=πr2=π（R2-l2）， S圆环=πR2-πl2=π（R2-l2）， ?S圆=S圆环． 因此，我们得到下面定理： 的体积公式相似． 例1 有一种空心钢球，重142g，测得外径等于5.0cm，求它的内径（钢的 比重是7.9g/cm3．） ?x?2.24 2x?4.5（cm）． 答：空心钢球的内径为4.5厘米． 例2 将半径分别为1cm、2cm、3cm的三个锡球熔成一个大锡球，求这个大锡球的表面积． 解：设大锡球的半径为R，表面积为S． （二）练习 课本P．110中1、2． （三）总结 这节课我们学习了球的体积公式及公式的应用． 课本P．113中习题十五1-6． 球的体积 例1…… 例2…… 豆丁致力于构建全球领先的文档发布与销售平台，面向世界范围提供便捷、安全、专业、有效 的文档营销服务。包括中国、日本、韩国、北美、欧洲等在内的豆丁全球分站，将面向全球各地 的文档拥有者和代理商提供服务，帮助他们把文档发行到世界的每一个角落。豆丁正在全球各地 建立便捷、安全、高效的支付与兑换渠道，为每一位用户提供优质的文档交易和账务服务。