二维随机变量及其散布函数[摘要]

二维随机变量及其散布函数[摘要] 二维随机变量及其分布函数 3.1 3.13.1 3.1二维随机变量及其分布 二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布 二维随机变量及其分布一 一一 一. .. .二维随机变量及其分布函数 二维随机变量及其分布函数二维随机变量及其分布函数 二维随机变量及其分布函数 二 二二 二. .. .二维离散型随机变量及其分布 二维离散型随机变量及其分布二维离散型随机变量及其分布 二维离散型随机变量及其分布 三 三三 三. .. .二维连续型随机变量及其分布 二维连续型随机变量及其分布二维连续型随机变量及其分布 二维连续型随机变量及其分布,),( ,)()( ,}{, 叫作二维随机向量或 叫作二维随机向量或叫作二维随机向量或 叫作二维随机向量或由它们构成的一个向量 由它们构成的一个向量由它们构成的一个向量 由它们构成的一个向量 上的随机变量 上的随机变量上的随机变量 上的随机变量是定义在 是定义在是定义在 是定义在和 和和 和设 设设 设 它的样本空间是 它的样本空间是它的样本空间是 它的样本空间是是一个随机试验 是一个随机试验是一个随机试验 是一个随机试验 设 设设 设 YX SeYYeXX eSE = == == == = = == =一 一一 一、 、、 、二维随机变量及其分布 二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布 二维随机变量及其分布 1.二维随机变量的定义 二维随机变量的定义二维随机变量的定义 二维随机变量的定义 图示 图示图示 图示e ? ?? ?)(eY? ?? ?S)(eX? ?? ?. ,),( 二维随机变量 二维随机变量二维随机变量 二维随机变量 叫作二维随机向量或 叫作二维随机向量或叫作二维随机向量或 叫作二维随机向量或由它们构成的一个向量 由它们构成的一个向量由它们构成的一个向量 由它们构成的一个向量YX实例 实例实例 实例1炮弹的弹着点的位置 炮弹的弹着点的位置炮弹的弹着点的位置 炮弹的弹着点的位置( X, Y )就是一个二 就是一个二就是一个二 就是一个二 维随机变量 维随机变量维随机变量 维随机变量. .. . 实例 实例实例 实例2考查某一地区学前儿童的发育情况 考查某一地区学前儿童的发育情况考查某一地区学前儿童的发育情况 考查某一地区学前儿童的发育情况, , , , 则儿童 则儿童则儿童 则儿童 的身高 的身高的身高 的身高H和体重 和体重和体重 和体重W 就构成二维随机变量 就构成二维随机变量就构成二维随机变量 就构成二维随机变量( H, W ). 二维随机变量 二维随机变量二维随机变量 二维随机变量( X, Y )的性质不仅与 的性质不仅与的性质不仅与 的性质不仅与X、 、、 、Y 有关 有关有关 有关, ,, ,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系 而且还依赖于这两个随机变量的相互关系而且还依赖于这两个随机变量的相互关系 而且还依赖于这两个随机变量的相互关系. .. . 说明 说明说明 说明2. 2. 2. 2. 分布函数的定义 分布函数的定义分布函数的定义 分布函数的定义. ,),( },{)}(){(),( : ,,,),( 的联合分布函数 的联合分布函数的联合分布函数 的联合分布函数和 和和 和量 量量 量 或称为随机变 或称为随机变或称为随机变 或称为随机变的分布函数 的分布函数的分布函数 的分布函数称为二维随机变量 称为二维随机变量称为二维随机变量 称为二维随机变量 二元函数 二元函数二元函数 二元函数 对于任意实数 对于任意实数对于任意实数 对于任意实数是二维随机变量 是二维随机变量是二维随机变量 是二维随机变量设 设设 设 YX YX yYxXPyYxXPyxF yxYX ? ?? ?? ?? ?= == =? ?? ?? ?? ?= == =?. 的联合分布函数 的联合分布函数的联合分布函数 的联合分布函数和 和和 和量 量量 量YXy),(yx? ?? ?yYxX? ?? ?? ?? ?,. ),( 内的概率 内的概率内的概率 内的概率 在如图所示区域 在如图所示区域在如图所示区域 在如图所示区域的函数值就是随机点落 的函数值就是随机点落的函数值就是随机点落 的函数值就是随机点落 yxFxO3.分布 分布分布 分布函数 函数函数 函数的性质 的性质的性质 的性质),,(),(, ,),(11 212 oy xFyxFxxy yxyxF ? ?? ?> >> >时 时时 时当 当当 当意固定的 意固定的意固定的 意固定的 即对于任 即对于任即对于任 即对于任的不减函数 的不减函数的不减函数 的不减函数和 和和 和是变量 是变量是变量 是变量). ,(),(,1212yxFyxFyyx? ?? ?> >> >时 时时 时当 当当 当对于任意固定的 对于任意固定的对于任意固定的 对于任意固定的,1),(02o? ?? ?? ?? ?yxF, y对于任意固定的 对于任意固定的对于任意固定的 对于任意固定的 ,0),(lim),(= == == == =?? ???? ???? ???? ??? ?? ?yxFyFx且有 且有且有 且有,x对于任意固定的 对于任意固定的对于任意固定的 对于任意固定的 ,0),(lim),(= == == == =?? ???? ???? ???? ??? ?? ?yxFxFy.1),(lim),(= == == == =+? +?+? +?+? +?+? +?+? +?+? +?? ?? ? +? +?+? +?? ?? ?y xFFy x. ,),( ,)0,(),(,),0(),(3o也右连续 也右连续也右连续 也右连续关于 关于关于 关于右连续 右连续右连续 右连续关于 关于关于 关于即 即即 即yxyxF yxFyxFyxFyxF+ ++ += == =+ ++ += == = ,0),(lim),(= == == == =?? ???? ???? ???? ???? ???? ??? ?? ? ?? ???? ??? ?? ?y xFFy x. ,),(也右连续 也右连续也右连续 也右连续关于 关于关于 关于右连续 右连续右连续 右连续关于 关于关于 关于即 即即 即yxyxF,,),,(),,(421212211 oy yxxyxyx< << << << <对于任意 对于任意对于任意 对于任意.0),(),(),(),( 21111222? ?? ?? ?? ?+ ++ +? ?? ?yxFyxFyxFyxF有 有有 有证明 证明证明 证明},{2121yYyxXxP? ?? ?< << > =+ ?求概率 求概率求概率 求概率求分布函数 求分布函数求分布函数 求分布函数 其他 其他其他 其他 具有概率密度 具有概率密度具有概率密度 具有概率密度设二维随机变量 设二维随机变量设二维随机变量 设二维随机变量 21 0 0022例 例例 例1解 解解 解? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?= == =yxvuvufyxFdd),(),()1(? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? > >> >> >> > = == =? ?? ?? ?? ?+ ++ +? ?? ?.,0 ,0,0,dde200 )2(其他 其他其他 其他yx vuy xvu? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? > >> >> >> >? ?? ?? ?? ? = == =? ?? ?.,0 .0,0),e1)(e1( ),(2其他 其他其他 其他 得 得得 得 yx yxFy x},),{(}{GYXXY? ?? ?= == =? ?? ? }),{(}{GYXPXYP? ?? ?= == =? ?? ?(2) (2) (2) (2) 将 将将 将( X,Y )看作是平面上随机点的坐标 看作是平面上随机点的坐标看作是平面上随机点的坐标 看作是平面上随机点的坐标, ,, , 即有 即有即有 即有X Y= == =G yy xyxfGdd),(?? ???? ??= == =GxOG?? ???? ??yxy yxd de20 )2(? ?? ?? ?? ?? ?? ?+ ++ +? ?? ?+ ++ + + ++ +? ?? ?= == =. 3 1 = == =二维均匀分布和二维正态分布1. 二维均匀分布 二维均匀分布二维均匀分布 二维均匀分布定义 定义定义 定义设 设设 设D 是平面上的有界区域 是平面上的有界区域是平面上的有界区域 是平面上的有界区域, ,, ,其面积为 其面积为其面积为 其面积为S, ,, ,若 若若 若 二维随机变量 二维随机变量二维随机变量 二维随机变量( X , Y )具有概率密度 具有概率密度具有概率密度 具有概率密度? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? = == = .,0 ,),(, 1 ),( 其他 其他其他 其他 Dyx S yxf则称 则称则称 则称( X , Y )在 在在 在D 上服从 上服从上服从 上服从 均匀分布 均匀分布均匀分布 均匀分布. .. .? ?? ? ? ?? ? .,0其他 其他其他 其他例 例例 例1 11 1已知随机变量 已知随机变量已知随机变量 已知随机变量( X , Y )在 在在 在D上服从均匀分布 上服从均匀分布上服从均匀分布 上服从均匀分布, ,, , 试求 试求试求 试求( X , Y )的概率密度及分布函数 的概率密度及分布函数的概率密度及分布函数 的概率密度及分布函数, ,, ,其中 其中其中 其中D 为 为为 为x 轴 轴轴 轴, ,, , y 轴及直线 轴及直线轴及直线 轴及直线y = x+1所围成的三角形区域 所围成的三角形区域所围成的三角形区域 所围成的三角形区域. .. . 解 解解 解? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? = == = .,0 ,),(,1 ),( 其他 其他其他 其他 由 由由 由 DyxS yxfy1 + ++ += == =xy1? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? = == = .,0 ,),(,2 ),( 其他 其他其他 其他 得 得得 得 Dyx yxf, 01时 时时 时或 或或 或当 当当 当< << >> >> >> >ρσσρσσμμ且 且且 且均为常数 均为常数均为常数 均为常数其中 其中其中 其中),,(? ?? ?< << << <<