解析几何大题

§9《解析几何》大题解答策略 【常用解题方法】解题犹如打仗，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里. 1. 弦的中点问题-------点差法. 2. 焦点三角形问题-----常用正、余弦定理搭桥. 3. 曲线上两点关于直线对称问题-----分三步：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内. 4. 两线段垂直问题----圆锥曲线两焦半径互相垂直，用 来处理. 5.减少计算量的方法----利用几何图形、韦达定理、 “设而不求”能减少计算量. 6. 求圆锥曲线焦点弦----结合图形运用圆锥曲线的定义都涉及焦点可回避复杂运算. 7. 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离. 【解几解题思路案例分析】答解几题时，常常无从下手，或者凭感觉做到那儿算那儿,半途而废. 而应在审题和解题思路的整体设计上下功夫，不断克服道道难关. 1.判别式---解题时时显神功 案例1    已知双曲线 ，直线 过点 ，斜率为 ，当 时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线 的距离为 ，求 值及此时点B的坐标. 分析： 从“有且仅有”入手，对照草图，不难想到：过点B作与 平行的直线，必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式 . 由此可设计如下解题思路： 点评：紧扣解题目标，不断进行转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性. 2.判别式与韦达定理-----二者联用显奇效 案例2    已知椭圆C: 和点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使 ，求动点Q的轨迹所在曲线的方程. 分析：这是一个轨迹问题，应想到轨迹问题可以通过参数法求解. 首先选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的. 由于点 的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率 作为参数，如何将 与 联系起来？一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件： 来转化.由A、B、P、Q四点共线，不难得到 ，要建立 与 的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可. 在得到 之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于 的方程（不含k），则可由 解得 ，直接代入 即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。 简解:设 ，则由 可得： ， 解之得：               （1） 设直线AB的方程为： ，代入椭圆C的方程，消去 得 （2） ∴    代入（1），化简得：     (3) 与 联立，消去 得： 在（2）中，由 ，解得 ，结合（3）可求得 故知点Q的轨迹方程为：   （ ）. 点评:由方程组实施消元，产生一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道. 3.求根公式-----呼之欲出亦显灵 案例3    设直线 过点P（0，3），和椭圆 顺次交于A、B两点，求 的取值范围. 分析：不难得到： = ，但从此却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系. 分析:    从第一条想法入手， = 已经是一个关系式，但由于有两个变量 ，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将 转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于 的一元二次方程，其求根公式呼之欲出. 简解：当直线 垂直于x轴时，可求得 ;当 与x轴不垂直时，设 ，直线 的方程为： ，代入椭圆方程，消去 得 ,解之得  因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑 的情形. 当 时， ， ， 所以 = = = . 由 , 解得 ， 所以 ，综上  . 点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等. 考点1  用第一、第二定义求圆锥曲线方程 例1．（2008辽宁卷20题12分）在直角坐标系 中，点P到两点 ， 的距离之和等于4，设点P的轨迹为 ，直线 与C交于A，B两点． （1）写出轨迹C的方程； （2）若 ，求k的值； （3）若点A在第一象限，证明：当k>0时，恒有| |>| |． 考查意图: 主要考查平面向量，椭圆的定义、 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程及直线与椭圆位置关系等基础知识， 解：（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以 为焦点， a=2的椭圆． ，故曲线C的方程为 ． （2）设 ，由 ， ． 由 ． 而 ， 于是 化简得 ，所以 ． （3） ． 由 , 知 ． 又 ， 故 ． 例2．已知椭圆 ，AB是它的一条弦， 是弦AB的中点，若以点 为焦点，椭圆E的右准线为相应准线的双曲线C和直线AB交于点 ，若椭圆离心率e和双曲线离心率 之间满足 . （1）求椭圆E的离心率； （2）求双曲线C的方程. 解：（1）设A、B坐标分别为 ， 则 ， ，二式相减得： ， 所以 ， ，  则 ； （2）椭圆E的右准线为 ，双曲线的离心率 ， 设 是双曲线上任一点，则 ， 两端平方且将 代入得： 或 ， 当 时，双曲线方程为： ，不合题意，舍去； 当 时，双曲线方程为： ，即为所求. 小结：（1）“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法； （2）求解圆锥曲线时，若有焦点、准线，则通常会用到第二定义. 考点2  用非定义求曲线方程 例1．（2008全国一22题12分）双曲线的中心为原点 ，焦点在 轴上，两条渐近线分别为 ，经过右焦点 垂直于 的直线分别交 于 两点．已知 成等差数列，且 与 同向． （1）求双曲线的离心率；（2）设 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 解：（1）设 ， ， 由勾股定理可得： 得： ， ， ． （2）过 直线方程为 与双曲线方程 联立 将 ， 代入，化简有 将数值代入有 解得 ,  得双曲线方程为： ． 考点3  求圆锥曲线中的最值 例1．（2008全国二22题12分）设椭圆中心在坐标原点， 是它的两个顶点，直线 与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点． （1）若 ，求 的值； （2）求四边形 面积的最大值． 解：（1）依题设得椭圆的方程为 ， 直线 的方程分别为 ， ． 如图，设 ，其中 ， 且 满足方程 ，故 ．① 由 知 ，得 ； 由 在 上知 ，得 ． 所以 ， 化简得 ，解得 或 ． （2）点 到 的距离分别为 ， ． 又 ，所以四边形 的面积为 ， 当 ，即当 时，上式取等号．所以 的最大值为 ． 例2．设椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为 ，过点 的直线交椭圆E于A、B两点，且 ，求当 的面积达到最大值时直线和椭圆E的方程. 解： 因椭圆的离心率为 ，故可设椭圆方程为 ，直线方程为 ， 由 得： ，设 ， 则 …………① 又 ，故 ，即 …………② 由①②得： ， ， 则 ＝ ， 当 ，即 时， 面积取最大值， 此时 ，即 ， 所以，直线方程为 ，椭圆方程为 . 小结：利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易. 例3．已知 ， ，且 ，  求 的最大值和最小值. 解：设 ， ， ，因为 ，且 ， 所以，动点P的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为6的椭圆，椭圆方程为 ，令 ，则 ＝ ， 所以 最大值 ，最小值 . 小结：利用椭圆的参数方程，可以将复杂的代数运算化为简单的三角运算. 考点4 利用向量处理圆锥曲线中的变量范围问题 解几中求变量的范围，一般情况下都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域问题. 例1．（2006年福建卷）已知椭圆 的左焦点为F，O为坐标原点. （1）求过点O、F，并且与椭圆的左准线 相切的圆的方程； （2）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点， 线段AB的垂直平分线与 轴交于点G，求点G横坐标的取值范围. 考查意图:主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考 查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力. 解：（1） 圆过点O、F， 圆心M在直线 上.设 则圆半径 由 得 解得 所求圆方程为 （2）设直线AB的方程为 代入 整理得 直线AB过椭圆的左焦点F， 方程有两个不等实根. 记 中点 则   的垂直平分线NG的方程为 令 得 点G横坐标的取值范围为 例2．已知双曲线C： ，B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴正半轴上，且满足 成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线 ，垂足为P，（1）求证： ； （2）若 与双曲线C的左、右两支分别相交于点D,E，求双曲线C的离心率e的取值范围. 解：（1）因 成等比数列，故 ，即 ，直线 ： ，由 ， 故： ， 则： ，即 ； （或 ，即 ） （2）由 ， 由 得： （或由 ） 小结：向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重，而要运用数量积，必须先恰当地求出各个点的坐标. 例3．已知 ， ， ，（1）求点 的轨迹C的方程；（2）若直线 与曲线C交于A、B两点， ，且 ， 试求m的取值范围. 解：（1） ＝ ， ＝ ， 因 ，故 ， 即 ， 故P点的轨迹方程为 . （2）由 得： ， 设 ，A、B的中点为 则 ， ， ， ， 即A、B的中点为 ， 则线段AB的垂直平分线为： ， 将 的坐标代入，化简得： ， 则由 得： ，解之得 或 ， 又 ，所以 ，故m的取值范围是 . 小结：求变量的范围，要注意式子的隐含条件，否则会产生增根现象. 考点5 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题 存在性问题，其一般解法是先假设命题存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标，再根据合理的推理，若能推出题设中的系数，则存在性成立，否则，不成立. 例1．已知A,B,C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆的中 心O，且 ， ，  （1）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上的两点 P,Q使 的平分线垂直于OA，是否总存在实数 ，使得 . 解：（1）以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则 ， 设椭圆方程为 ， 不妨设C在x轴上方， 由椭圆的对称性， ， 又 ，即 为等腰直角三角形， 由 得： ，代入椭圆方程得： ，　即，椭圆方程为 ； （2）假设总存在实数 ，使得 ，即 ， 由 得 ，则 ， 若设CP： ，则CQ： ， 由 ， 由 得 是方程 的一个根， 由韦达定理得： ，以 代k得 ， 故 ，故 ， 即总存在实数 ，使得 . 评注：此题考察了坐标系的建立、待定系数法、椭圆的对称性、向量的垂直、向量的共线及探索性问题的处理方法等，是一道很好的综合题. 例2．设G、M分别是 的重心和外心， ， ，且 （1）求点C的轨迹方程； （2）是否存在直线m，使m过点 并且与点C的轨迹交于P、Q两点，且 ？若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由. 解：（1）设 ，则 ， 因为 ，所以 ，则 ， 由M为 的外心，则 ，即 ， 整理得： ； （2）假设直线m存在，设方程为 ， 由 得： ， 设 ，则 ， ， ＝ ， 由 得： ，即 ， 解之得 ， 又点 在椭圆的内部，直线m过点 ， 故存在直线m，其方程为 . 小结：（1）解答存在性的探索问题，一般思路是先假设命题存在，再推出合理或不合理的结果，然后做出正确的判断； （2）直线和圆锥曲线的关系问题，一般最终都转化成直线的方程和圆锥曲线的方程所组成的方程组的求解问题，进一步来判断方程组的解的情况，但要注意判别式的使用和题设中变量的范围.