矩阵的特征值与特征向量的求法

矩阵的特征值与特征向量的求法 淮阴师范学院毕业论文(设计) 摘要:首先给出了求解矩阵特征值和特征向量的另外两种求法,然后运用特征值的性质讨论了矩阵 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 、相似的充要条件,以及逆矩阵的求解等相关问题. 关键词:矩阵的特征多项式,特征值,特征向量,对角矩阵,逆矩阵 1 淮阴师范学院毕业论文(设计) Abstract: Firstly，it is given matrix eigenvalues and eigenvectors of two other methods, then with the properties of eigenvalue the contract of matrix discussed,we deeply discuss the sufficient and necessary conditions for the similar matrix contract, and the inverse matrix of the related problem solving. Keywords:matrix characteristic polynomial, eigenvalue, eigenvector, diagonal matrices, inverse matrix 2 淮阴师范学院毕业论文(设计) 目 录 1 前言…………………………………………………………………… 4 2 矩阵的特征值和特征向量的求法………………………………………4 2.1 矩阵的初等变换法 ……………………………………………… 4 2.2 矩阵的行列互逆变换法 ……………………………………………6 3 矩阵特征值的一些性质及应用…………………………………………7 3.1 矩阵之间的关系………………………………………………………7 3.1.1 矩阵的相似…………………………………………………………7 3.1.2 矩阵的合同…………………………………………………………7 3.2 逆矩阵的求解…………………………………………………………8 3.3 矩阵相似于对角矩阵的充要条件……………………………………8 3.4 矩阵的求解……………………………………………………………9 3.5 矩阵特征值的简单应用………………………………………………10 结论 ……………………………………………………………………… 11 参考文献……………………………………………………………………12 致谢 ……………………………………………………………………… 13 3 淮阴师范学院毕业论文(设计) 1 前言 矩阵特征值是高等代数研究的中心问题之一,也是硕士研究生招生考试的热点.而且在自然科学(如物理学、控制论、弹性力学、图论等)和工程应用(如结构设计、振动系统、矩阵对策)的研究中也同样离不开矩阵特征值问题,因而对其研究具有重要的理论和应用价值. 2 特征值和特征向量的求解方法 AA 求阶矩阵的特征根和特征向量,传统方法是先求出矩阵的特征多项式 n ，，f,,,E,A的全部特征根,然后对每个特征根 求解齐次线性方程组，，,i,1,2,？,ni A的一个基础解系,即为的属于特征根,的线性无关的特征向量.现再此基，，,E,AX,0ii 础上另外介绍两种求矩阵特征值和特征向量的方法. 2.1 矩阵的初等变换法 这种方法在求解矩阵特征向量的同时就得到属于特征根的特征向量. E0,,,,1r1AX,0定理设齐次线性方程组的系数矩阵 的秩数, PAQ,Ar,nmn，,,00,, Qnr,的非奇异矩阵 的后 列便构成线性方程组的一个基础解系. nn， A，，f,,,E,A在运用传统方法求解矩阵的特征值时,我们求的全部特征根时是通 ，，过将矩阵经过一系列的初等变换化成三角矩阵，这里我们可以受此启发,将它变,E,A ,E,A,,,,，，G,换成下三角矩阵.由定理1知,当矩阵经过一系列的初等列变换变换成,,E,, ,,，，，，GG,,,,A,,,,，，G,,0,,，，G,时,求 得的就是矩阵的特征值,然后将代入,中的0iii,,,,，，，，Q,Q,,,,, ,，，Q,列所对应的列就是所对应的特征向量. ii 211,,, ,,A,,031A例1 已知矩阵,求矩阵的特征值和特征向量. ,,,,213,, 4 淮阴师范学院毕业论文(设计) 解 ,EA,,, ,,E,, ,,,,211201,,,,,, ,,,,031021,,,,,,,, ,,,,213243,,,,,,,,,,,,,,,100100,,,, ,,,,010010,,,,,,,,001011,,,, 001100,,,,,, ,,,,221122,,,,,,,,,,,,22,,,,54433454,，,,,,,， ,,,,,,,,,,,,,,100001,,,, ,,,,010010,,,,,,,,211112,,,,,,,,100,,, ,,120,,,,2,,3468,,,，,,,,,,,001,, ,,011,,,,,113,,,,G,,，，,.,,,Q，，,,, 2,,,,,240,,4,,,,2 由知的特征根,. ，，，，A312 ,100,, ,,100,,1,,,,,,G2,,120，，,,,,,1,,,,2当时,,特征向量. ,,,1,,12,,Q2001，，,,,,,,,1,,,,011,,,,,111,,, ,100,, ,,120,,1,,,,G4,,100，，,,,,,1,,4 当时,,特征向量. ,,,3,,3,,Q4001，，,,,,,,1,,,,011,,,,,111,, 5 淮阴师范学院毕业论文(设计) 2.2 矩阵的行列互逆变换法 TA,,J,,,,2A2,,,,定理 对于任意的矩阵,矩阵都能经过一系列的行列互逆变换变成.其,,,,EP,,,, T，，，，，，，，，，，，J,,,J,,J,,？,J,,P,P,P,？,P,P,,,,,？,,,i,1,2,？,r中.因为若1212kkkrriiii1212rki 尔当矩阵是下三角形矩阵,在一个若尔当形矩阵中,主对角线上的元素正是特征多项式的全 A,,A,,部根(重根按重数计算).因此在求解矩阵的特征值时我们又可以通过将矩阵进行,,E,, A行列互逆变换,从而得到特征值,以及它对应的特征向量. ,,,,iiiki 211,,, ,,A,,031例2 求矩阵的特征值与特征向量. ,,,,213,, 解 211111,,,,,,,,,,031131,,,,,,c,c,,,,13A213004,,r，r31,,,,,,,,,,,,,E100100,,,,,,,,,,010010,,,,,,,,001101,,,,, 200200,,,,,,,,1c,c121120,32,,,,2c,c121,,,,r，r00400423r，r212,,,,,,,,,,,, 1,101,112,,,, ,,,,01001,12,,,,,,,,1111112,,,,,, 200,,,,120,,c231,,r00432,,.,,,111,,, ,,011,,,,,111,,, 6 淮阴师范学院毕业论文(设计) 所以特征值, ,,,,2,,,4123 1,,,, 对应特征值的特征向量, ,,1,,,4,,33 ,,1,, ,1,,,, 对应的特征值的特征向量. ,,1,,,,2,,112 ,,1,, 3 矩阵特征值的一些性质及应用 3.1 矩阵之间的关系 3.1.1 矩阵的相似 ,1AB,XAXXAB性质1 如果存在阶可逆矩阵,使得阶矩阵和满足,即矩阵nn BAB,,,,与矩阵相似,为矩阵的特征值,为所对应的特征向量,则也为矩阵的特征iiii ,1B,对应于的特征向量为. 值,且X,ii 注 反之不成立,即矩阵有相同特征值的矩阵不一定相似. n性质2 矩阵与都是阶矩阵,乘积矩阵与不一定相似,但却有相同的特ABBAAB 征值. 证明 若0是的特征值,则故不可逆,于是与中至少有AB,,0,,,,,0ABABAB BA,一个不可逆,从而不可逆,故有非零向量使,即0是的特征值. BA,,0BA ，，，， 设是的特征值,即存在,,,0使得.令,则,,,0,,B,AB,,,,AB ,因此,,0于是,即是属于的特A,,AB,,,,,0BA,,BAB,,B,,,,,B,,,,,BA AB征向量,是的特征值,同理可证的任何特征值也是的特征值. ,BABA 1010,,,,,,1,,,,A,B, 例如矩阵和矩阵,与不相似却有相同的特征值. BAAB,,,,0121,,,, nBA，AAB，ABA，BAB，BA,B 例3 设阶矩阵,则矩阵与,与分别都有相同的特 征值. ，，，，BA，A,B，EA,AB，A,AB，EBA，A,AB，B证明 由于,由性质2知有相同的 BA，B,AB，B特征值,同理也有相同的特征值.得证. 3.1.2 矩阵的合同 TCB,CACnn 性质3 阶对称矩阵与合同,即存在阶可逆矩阵,使得,其充要条AB 7 淮阴师范学院毕业论文(设计) AB件是与的正负惯性指数相同,即正特征值,零特征值和负特征值的个数分别相等. 这样我们在判断矩阵是否合同的时候又多了一种途径. 40001111,,,,,,,,00001111,,,,例4 判断矩阵与矩阵是否合同. B,A,,,,,00001111,,,,,,,,11110000,,,, 3解 因为矩阵是实对称矩阵,可以求得,即的特征值为，，，，detA,,E,,,,4,AA ,,矩阵的特征值为,,由性质知矩阵和矩,,,,,,0,,,,,,0,,4,,4BA12323441 阵合同. B 3.2 逆矩阵的求解 ,,3A 性质对于阶矩阵,由哈密顿―凯莱定理可以知道,即4，，nfA,0 1nn,. aA，aA，？，aA，aE,0110nn, ，，11n,1,1n,1所以，，,从而. A,,aA，？，aE,E，，AaA？aE,,，，n1,,n1aa0，，0 ,1A故已知可逆矩阵的特征多项式或全部特征值,那么很容易找到. 100,,,,3,1A,b10A例5 已知矩阵,的特征多项式是,求. ，，，，f,,,,1,,1 ,,bb123,, 3,1232A,A,3A，3E解 因为,所以, ，，，，f,,,,1,,,3,，3,，1 即 100,300300100,,,,,,,,,,,,,,,,1,A,2b10，,3b,30，030,,b10. ,,,,,,,,111 ,,,,,,,,2b，b,b2b1,3b,3b,3003b,b,b,b12133231323,,,,,,,, AA由本例可见,任何一个可逆矩阵的逆矩阵必是的一个多项式,这样又多了一种求 逆矩阵的方法. 3.3 矩阵相似于对角矩阵的充要条件 ,,3A5,E,A,n 性质 阶矩阵相似于对角矩阵的充要条件是每一个特征值在中的0 A,重数等于的属于的线性无关的特征向量的个数. 0 由此可见例1和例2中的矩阵不能相似于对角矩阵. 8 淮阴师范学院毕业论文(设计) ,00,,0,,,例6 矩阵 能否与对角矩阵相似?为什么? A,10,,0 ,,01,0,, 解 不能. 3A因为是 的三重根,且秩,于是的属于的线性,,，，,E,A,,,,,0，，,E,A,2000 A3,2,1无关向量的个数为,由性质8知,不能相似于对角矩阵. 3.4矩阵的求解 A 我们知道如果设和是2阶实对称矩阵的两个不同的特征值,和是对应于,,,,1212 A它们的特征向量,则和正交.且设是阶实对称矩阵的互不相同的特,,，，,i,1,2,？,nn12i 征值,是对应于特征值的特征向量,则两两正交. ，，，，,i,1,2,？,n,i,1,2,？,nii A这样,如果对于阶实对称矩阵,我们知道它的全部特征值,又知道其中一个特征值n 所对应的特征向量,我们就可以根据这个应用,不仅可以求出这个矩阵其他特征值所对应 A的特征向量,也能求解出矩阵. 1,,,,2,,5A,,1例7 设3阶对称矩阵的特征多项式是,且是对应于的特，，，，,,5,，1,,1 ,,1,, A求矩阵征向量,. ,,,,11 解 由上面的性质我们知道对应的特征向量和正交, x,,1,,,,,1x因此设所对应的特征向量为, ,,2 ,,x3,, ,,,1x，x，x,0对应于的两个线性无关的向量可取的基础解系, 12311,,,,,,,,,0,,1,,,, ,,,,23 ,,,,,10,,,, ,,,,,123将正交向量组单位化得到正交矩阵 ,,131212,, ,,Q,130,12, ,,,,13,120,, 500,,,,TQQAQ,,,0,10正交矩阵满足, ,, ,,00,1,, 9 淮阴师范学院毕业论文(设计) 366,,,,T所以 . ,,,645AQQ,, ,,654,, kA补充:同时还能求出的值, ，，k,1,2,？ kkTTTTkT，，A,Q,Q,Q,(Q，Q),Q？Q,Q,Q,Q. 3.5 矩阵特征值的简单应用 ,,4n性质6 阶实对称矩阵的特征值都是实数. T,,5nAA性质7 阶矩阵与其转置矩阵有相同的特征值. A性质8 已知阶矩阵的特征值为，则. A,,,,？,n,,,,？,,12n12n nnABAE，B例8 设阶矩阵有个特征值,且矩阵与相似,求的值. 1,2,？,n ABA解 因为的特征值为,矩阵与相似. 1,2,？,n B 所以的特征值也为, 1,2,？,n n 令,则的个特征值为, ，，fB，，f,,,，1，，，，，，f1,2,f2,3,？,fn,n，1 A,1,2,？,n,n! 因为, ，，，，，，，，E，B,f1,f2,？,fn,n，1!. 所以 10 淮阴师范学院毕业论文(设计) 总 结 矩阵是线性代数中的一个重要部分,特征值与特征向量问题是矩阵理论的重要组成部分。特征值与特征向量有着许多具体的应用,本文通过查阅相关的资料并在指导老师的指导和建议下对特征值与特征向量原理进行了归纳总结。首先简单的叙述了特征值与特征向量的概念及其性质,探究了特征值与特征向量的几种解法,在此基础上重点介绍了特征值与特征向量的应用问题。矩阵的高次幂的求解是有技巧的,当矩阵可对角化时,利用特征值与特征向量把矩阵对角化,可以简便的解出矩阵高次幂的值。给出了特征值与特征向量在矩阵运算中使用的性质,并且举例说明了特征值与特征向量在矩阵运算中的应用。运用一些特征值与特征向量的性质和方法,可以使问题更简单,运算上更方便,是简化有关复杂问题的一种有效途径。特征值与特征向量理论的应用是多方面的,不仅在数学领域,而且在力学、物理、科技方面都有十分广泛的应用,值得我们深入探究。 11 淮阴师范学院毕业论文(设计) 参 考 文 献 [1] 何翼.求矩阵的特征值与特征向量的新方法[J].铜仁学院学报,2009,11(3):139-140. [2] 黄金伟.矩阵的特征值与特征向量的简易求法[J].福建信息技术教育,2006,33. [3] 王向东、王士藩.高等代数常用方法[M].科学出版社,1989:224. [4] 马忠军、刘翠玉.矩阵特征值问题探讨[J].博士专家论坛,6. [5] 邵逸民.矩阵的公共特征值和特征向量研究[J].太原师范学院学报,2008,7(3):40. 12 淮阴师范学院毕业论文(设计) 致 谢 大学生活一晃而过,回首走过的岁月,心中倍感充实,当我写完这篇毕业论文的时候,有一种如释重负的感觉,感慨良多. 首先诚挚的感谢我的论文指导老师雷雪萍老师.她在忙碌的教学工作中挤出时间来审查、修改我的论文.还有教过我的所有老师们,你们严谨细致、一丝不苟的作风一直是我工作、学习中的榜样;他们循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪.感谢培养教育我的淮阴师范学院,浓浓的学术氛围,舒适的学习环境我将终身难忘! 最后祝母校蒸蒸日上,勇创辉煌!祝各位恩师身体健康,家庭幸福! • • • • • • • • • • • • • • • • • • 【唯美句子】 走累的时候，我就到升国旗哪里的一角台阶坐下，双手抚膝，再闭眼，让心灵受到阳光的洗涤。懒洋洋的幸福。 顶 3 收藏 2 • 【唯美句子】 一个人踮着脚尖，在窄窄的跑道白线上走，走到很远的地方又走回来。阳光很好，温暖，柔和。漫天的安静。 顶 7 收藏 7 • 【唯美句子】 清风飘然，秋水缓淌。一丝云起，一片叶落，剔透生命的空灵。轻轻用手触摸，就点碎了河面的脸。落叶舞步婀娜不肯去，是眷恋，是装点,瞬间回眸，点亮了生命精彩。 顶 11 收藏 9 • 【唯美句子】 几只从南方归来的燕子，轻盈的飞来飞去，“几处早莺争暖树，谁家新燕啄春泥，”其乐融融的山林气息，与世无争的世外桃源，让人心旷神怡。 顶 0 收藏 2 13 淮阴师范学院毕业论文(设计) • 【唯美句子】 流年清浅，岁月轮转，或许是冬天太过漫长，当一夜春风吹开万里柳时，心情也似乎开朗了许多，在一个风轻云淡的早晨，踏着初春的阳光，漫步在碧柳垂青的小河边，看小河的流水因为解开了冰冻而欢快的流淌， 清澈见底的的河水，可以数得清河底的鹅软石，偶尔掠过水面的水鸟，让小河荡起一层层的涟漪。河岸换上绿色的新装，刚刚睡醒的各种各样的花花草草，悄悄的露出了嫩芽，这儿一丛，那儿一簇，好像是交头接耳的议论着些什么，又好象是在偷偷地说着悄悄话。 顶 3 收藏 4 • 【唯美句子】 喜欢海子写的面朝大海春暖花开，不仅仅是因为我喜欢看海，还喜欢诗人笔下的意境，每当夜深人静时，放一曲纯音乐，品一盏茶，在脑海中搜寻诗中的恬淡闲适。在春暖花开时，身着一身素衣，站在清风拂柳，蝶舞翩跹的百花丛中，轻吹一叶竖笛，放眼碧波万里，海鸥，沙滩，还有扬帆在落日下的古船，在心旷神怡中，做一帘红尘的幽梦。 顶 0 收藏 2 • 【唯美句子】 繁华如三千东流水，你只在乎闲云野鹤般的采菊东篱、身心自由，置身置灵魂于旷野，高声吟唱着属于自己的歌，悠悠然永远地成为一个真真正正的淡泊名利、鄙弃功名利禄的隐者。 顶 1 收藏 3 • 【唯美句子】 世俗名利和青山绿水之间，你选择了淡泊明志，持竿垂钓碧泉绿潭;权力富贵和草舍茅庐之间，你选择了宁静致远，晓梦翩跹姹紫嫣红。 顶 2 收藏 3 • 【唯美句子】 那是一株清香的无名花，我看到了它在春风夏雨中风姿绰约的模样，可突如其来的秋雨，无情的打落了它美丽的花瓣，看着它在空谷中独自凋零，我莫名其妙的心痛，像针椎一样的痛。秋雨，你为何如此残忍，为何不懂得怜香惜玉，我伸出颤抖的双手，将散落在泥土里的花瓣捧在手心。 顶 4 收藏 5 • 【唯美句子】 滴答滴答，疏疏落落的秋雨，赶着时间的脚步，哗啦啦的下起来。听着雨水轻轻地敲击着微薄的玻璃窗，不知不觉，我像是被催眠了一样，渐渐的进入了梦乡。 顶 3 收藏 5 • 【唯美句子】 在这极致的悲伤里，我看到了世间最美的爱，可谁又能明白，此刻的我是悲伤还是欢喜，也许只有那拨动我心弦的秋季，才知道潜藏在我心中的眼泪。 顶 4 收藏 3 • 【唯美句子】 看着此情此景，我细细地聆听。像是听到了落叶的呢喃，秋风的柔软，在这极短的瞬间，他们一起诉说着最美的爱恋，演绎着永恒的痴缠。当落叶安详的躺在大地，露出幸福的模样，你看，它多像一个进入梦乡的孩子。突然发现，秋风并非是想象中的刽子手，原来它只是在叶子生命的最后一刻，让它体会到爱的缠绵，飞翔的滋味。 顶 1 收藏 1 • 【唯美句子】 很感谢那些耐心回答我的人，公交上那个姐姐，还有那位大叔，我不知道他们是不是本地人，但我们遇到的一个交警协管，一位头发花白的大姐，她是上海本地人，很和善，并不像有些人说的上海人很排外。事实上，什么都不是绝对的。 顶 2 收藏 0 • 【唯美句子】 我嗅到浓郁的香奈尔，却也被那种陌生呛了一鼻。也许，我却不知道，那时的感受了。那里没有那么美好，没有安全感，归属感。我想要的自由呢，不完全地体验到了。 顶 2 收藏 1 • 【唯美句子】 那些繁华的都市，车水马龙，灯红酒绿，流光溢彩，却充斥着一种悲哀，浮夸。我看到各种奢华，却也看到各种卑微，我看到友善亲和，也看到暴躁粗鲁，我看到金光熠 • 【优美语句】 踏过一片海，用博识的学问激起片片微澜;采过一丛花，正在聪慧的碰碰外送来缕缕清喷鼻;无过一个梦，决定从那里启程。 14 淮阴师范学院毕业论文(设计) 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 人生如一本书，应该多一些精彩的细节，少一些乏味的字眼;人生如一支歌，应该多一些昂扬的旋律，少一些忧伤的音符;人生如一幅画，应该多一些亮丽的色彩，少一些灰暗的色调。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 母爱是一滴甘露，亲吻干涸的泥土，它用细雨的温情，用钻石的坚毅，期待着闪着碎光的泥土的肥沃;母爱不是人生中的一个凝固点，而是一条流动的河，这条河造就了我们生命中美丽的情感之景。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 生活如海，宽容作舟，泛舟于海，方知海之宽阔;生活如山，宽容为径，循径登山，方知山之高大;生活如歌，宽容是曲，和曲而歌，方知歌之动听。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 母爱就是一幅山水画，洗去铅华雕饰，留下清新自然;母爱就象一首深情的歌，婉转悠扬，轻吟浅唱;母爱就是一阵和煦的风，吹去朔雪纷飞，带来春光无限。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 努力奋斗，天空依旧美丽，梦想仍然纯真，放飞自我，勇敢地飞翔于梦想的天空，相信自己一定做得更好。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 品味生活，完善人性。存在就是机会，思考才能提高。人需要不断打碎自己，更应该重新组装自己。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 母爱是一缕阳光，让你的心灵即使在寒冷的冬天也能感到温暖如春;母爱是一泓清泉，让你的情感即使蒙上岁月的风尘依然纯洁明净。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 母爱是温暖心灵的太阳;母爱是滋润心灵的雨露;母爱是灌溉心灵的沃土;母爱是美化心灵的彩虹。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 一轮金色的光圈印在海面，夕阳将最后的辉煌撒向了大海，海平面波光潋滟，金光闪闪，夕阳下的海水让最后一丝蓝也带着感动。温和的海水轻轻地拍打着我的脚踝，我张开双臂拥抱最温馨的时刻„„我爱大海宽广的胸怀，无论多大的风浪，她都可以揽入怀中;无论多少风雨，都无法将她击垮;无论多少河流，她都可以容纳;我愿做一只填海的燕，填平她的波涛翻滚，填平她的汹涌愤怒，只留下平静、柔和的海面。 15