1
E D C A
B M N
F 第十四章 轴对称
14.1 轴对称
◇课标点击◇
1.什么是轴对称?什么是轴对称图形?它们之间有什么区别?
有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.两个图形关于直线对称也叫做轴对称.
如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.
轴对称是两个图形之间的关系，轴对称图形是一个图形具有的特征.
2.图形的轴对称有哪些性质?
图形的轴对称主要有下列两条性质:⑴如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.⑵轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系,?成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称.
3.线段的垂直平分线有什么性质?
线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合.
◇同步训练1◇
【基础达标】
1.选择题:
⑴下列说法错误..
的是( ) A.关于某条直线对称的两个三角形一定全等 B.轴对称图形至少有一条对称轴
C.全等三角形一定能关于某条直线对称
D.角是关于它的平分线对称的图形
⑵下列图形中，是.
轴对称图形的为
( )
⑶下图所示的图案中，是轴对称图形且有两条对称轴的是( )
2.填空题:
⑴观察右上图中的两个图案，是轴对称图形的为________，它有_____条对称轴.
⑵如右下图,△ABC 与△AED 关于直线l 对称，若AB=2cm ,∠C=95°，则AE= ,∠D= 度.
⑶坐标平面内，点A 和B 关于x 轴对称，若点A 到x 轴的距离是3cm ，则点B 到x?轴的距离是__________. 3.下图中的图形都是轴对称图形，请你试着画出它们的对称轴.
4.如图,△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称.BC 与DE 的交点F 在直线MN 上.
⑴指出两个三角形中的对称点;
⑵指出图中相等的线段和角;
⑶图中还有对称的三角形吗?
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D C A
B E
D A
B
E
D
A
5.如图，把一张纸片对折后，用笔尖在纸上扎出图⑶所示的图案，将纸打开后铺平，观察你所得的图案.位于折痕两侧的部分有什么关系？与同伴交流你的想法．
【能力巩固】
6.如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形。
◇同步训练2◇ 【基础达标】
1.选择题:
⑴在锐角△ABC 内一点P 满足PA=PB=PC ，则点P 是△ABC( ) A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三边垂直平分线的交点
⑵△ABC 中，AC ＞BC ，边AB 的垂直平分线与AC 交于点D ，已知AC=5，BC=4，则△BCD 的周长是( ) A.9 B.8 C.7 D.6
⑶平面内到不在同一条直线的三个点A 、B 、C 的距离相等的点有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
2.填空题:
⑴如右图，△ABC 中，AB=AC=14cm ，D 是AB 的中点，DE ⊥AB 于D 交AC 于E ，△EBC 的周长是24cm ，则BC=_________． ⑵互不平行的两条线段AB 、B A ''关于直线l 对称，AB 和B A ''所在直线交于点P ，下面结
论：①AB=B A ''；②点P 在直线l 上；③若点A 、A '是对称点，则l 垂直平分线段A A '；④若点
B 、B '是对称点，则PB=B P '，其中正确的有 (只填序号).
3.△ABC 中，边AB 、AC 的垂直平分线交于点P.求证：点P 在BC 的垂直平分线上.
4.如图，直线AD 是线段BC 的垂直平分线，求证：∠ABD=∠ACD.
5.如图，△ABC 中∠ACB=90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，求证：直线AD 是CE 的垂直平分线．
【能力巩固】
6.现有9个相同的小正三角形拼成的大正三角形，将其部分涂黑.如图⑴，⑵所示.
图(1) 图(2) 图(3) 图(4)
观察图⑴，图⑵中涂黑部分构成的图案.它们具有如下特征:①都是轴对称图形②涂黑部分都是三个小正三角形.
请在图⑶，图⑷内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特征．
C A
B
◇同步训练3◇ 【基础达标】
1.选择题:
⑴如图所示的标志中，是轴对称图形的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
⑵下列平面图形中，不是轴对称图形的是( )
⑶如图所示，以下四个图形中，对称轴条数最多的一个图形是( )
2.填空题:
⑴轴对称图形中任意一组对应点的连线段的______________是该图形的对称轴． ⑵当写有数字的纸条垂直于镜面摆放时(如图所示）：
?
下面是从镜子中看到的一串数，它其实是 .
3.如图，已知△ABC ，请用直尺与圆规作图，将三角形的面积两等分．(不写作法，但要保留作图痕迹)
4.已知图中的图形都是轴对称图形，请你画出它们的对称轴．
5.分别找出具有一条对称轴、两条对称轴、三条对称轴、四条对称轴的几何图形，并画出来(包括对称轴）．
【能力巩固】
6.如图，△ABC 和△C B A '''关于直线m 对称． ⑴结合图形指出对称点．
⑵连接A 、A '，直线m 与线段A A '有什么关系？ ⑶延长线段AC 与C A ''，它们的交点与直线m 有怎样的关系？其它对应线段(或其延长线)的交点呢？你发现了什么规律，请叙述出来与同伴交流．
14.2 轴对称变换
◇课标点击◇
1.什么叫做轴对称变换？?
由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．?成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到．
2.轴对称变换有什么性质？
⑴经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样
⑵经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点． ⑶连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．
14.2.1 轴对称变换
◇同步训练◇ 【基础达标】
1.选择题:
⑴下列说法正确的是( )
A.任何一个图形都有对称轴
B.两个全等三角形一定关于某直线对称
C.若△ABC 与△C B A '''成轴对称，则△ABC ≌△C B A '''
D.点A 、B 在直线l 两旁，且AB 与直线l 交于点O ，若AO=BO ，则点A 、B?关于直线l 对称
⑵下列说法正确的是( )
A.关于某条直线对称的两个图形不一定全等
B.关于某条直线对称的两个图形可能在直线的同侧
C.关于某条直线对称的两个图形中的一对对应点连线被对称轴垂直平分
D.平面镜所成的像因为是虚像，所以物和像不能关于平面镜对称
2.填空题:
⑴数的运算中会有一些有趣的对称形式，仿照等式①的形式填空，并检验等式是否成立． ①12×231=132×21； ②12×462=___________； ③18×891=__________； ④24×231=___________.
⑵如图a 所示，将标号为A ，B ，C ，D 的三边相等的三角形沿图中虚线剪开后，拼成标号为⑴、⑵、⑶、⑷的四组图形，如图b 所示，?试按照“哪个三角形剪开后得到哪个轴对称图形”的对应关系填空：
A 与______对应；
B 与______对应；
C 与_____对应；
D 与______对应．
⑶进行轴对称变换，当对称轴平行时，第二次变换得到的图形，?可以看成由原图形________得到．如果不平行，则可以看成由原图形_______得到．
3.如图，C 、D 、E 、F 是一个长方形台球桌的4个顶点，A 、B?是桌面上的两个球，怎样击打A 球，才能使A 球撞击桌面边缘CF 后反弹能够撞击B 球？请画出A?球经过的路线，并写出作法．
4.如图，A 、B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧， 为了方便灌溉作物，?要在河边建一个抽水站，将 河水送到A 、B 两地，问该站建在河边什么地方，?
可使所修的渠道最短，试在图中确定该点(保留作图痕迹).
草地
河流营地
P 5.如图，以图中的虚线为对称轴画出下列各图的另一半，?并简单说明完成后的图形可能代
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
的含义．
【能力巩固】
6.如图，已知牧马营地在P 处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线．
14.2.2用坐标表示轴对称
◇同步训练◇ 【基础达标】
1.选择题:
⑴已知A 、B 两点的坐标分别是(-2，3)和(2，3），则下面四个结论：
①A 、B 关于x 轴对称；②A 、B 关于y 轴对称；③A 、B 关于原点对称；④A 、B 之间的距离为4，其中正确的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
⑵已知M(0，2)关于x 轴对称的点为N ，线段MN 的中点坐标是( ) A.(0，-2) B.(0，0) C.(-2，0) D.(0，4)
⑶平面内点A(-1，2)和点B(-1，6)的对称轴是( ) A.x 轴 B.y 轴 C.直线y=4 D.直线x=-1
2.填空题:
⑴已知A(-1，-2)和B(1，3），将点A 向______平移_______个单位长度后得到的点与点B 关于y 轴对称． ⑵一个点的纵坐标不变，把横坐标乘以-1，得到的点与原来的点的关系是__________．
⑶点M(-2，1)关于x 轴对称的点N 的坐标是_______，直线MN 与x?轴的位置关系是________． 3.已知点P(x+1，2x-1)关于x 轴对称的点在第一象限，试化简:x x --+12.
4.已知A(-1，2)和B(-3，-1），试在y 轴上确定一点P ，使其到A 、B 的距离和最小，求P 点的坐标．
5.⑴如图所示编号为①、②、③、④的四个三角形中，关于y 轴对称的两个三角形的编号为 ；关于坐标原点O 对称的两个三角形的编号为 .
⑵在图中，画出与△ABC 关于x 轴对称的△111C B A .
E
D C A B
F 【能力巩固】
6.如图:
⑴写出A 、B 、C 三点的坐标；
⑵若△ABC 各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘以-1，?请你在同一坐标系中描出对应的点A '、B '、C '，并依次连接这三个点，所得的△C B A '''与原△ABC?有怎样的位置关系？
⑶在⑵的基础上，纵坐标都不变，横坐标都乘以-1，?在同一坐标系中描出对应的点A ''、B ''、C ''，并依次连接这三个点，所得的△C B A ''''''与原△ABC?有怎样的位置关系？
14.3 等腰三角形
◇课标点击◇
1.等腰三角形有哪些性质？
等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角”；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
2.如何判定一个三角形是等腰三角形？
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
14.3.1 等腰三角形
◇同步训练1◇ 【基础达标】
1.选择题:
⑴等腰三角形有两条边长为4cm 和9cm ，则该三角形的周长是( ) A.17cm B.22cm C.17cm 或22cm D.18cm ⑵等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是( ) A.100° B.100°或40° C.40° D.80°
⑶如图，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=18°，则∠GEF 的度数是( )
A.80°
B.90°
C.100°
D.108°
2.填空题: ⑴在△ABC 中，AB=AC ，∠A+∠B=115°，则∠A= ，∠B= . ⑵如图，△ABC 中，AB=AC ，EB=BD=DC=CF ，∠A=40°，则∠EDF?的度数是 ． ⑶若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个等腰三角形的底角
为 .
3.已知△ABC 中AB=AC ，AD ⊥BC 于D ，若△ABC 、△ABD 的周长分别是20cm 和 16cm ，求AD 的长．
4.如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，CB=CD ，求证：∠ABC=∠ADC.
E
D C A B H F
G
D C
A
B
E D C A B
F
D C A
E D C
A
B
F
5.已知：△ABC 中，AB=AC ，点P 是底边的中点，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别是D 、E.求证：PD=PE.
【能力巩固】
6.如图，CD 是△ABC 的中线，且CD=21
AB ，你知道∠ACB 的度数是多少吗？由此你能得到一个什么结论？请叙
述出来与你的同伴交流．
【拓展提高】
7.如图，请思考怎样把每个三角形纸片只剪一次，将它分成两个等腰三角形，试一试，在图中画出剪裁的痕迹.
◇同步训练2◇ 【基础达标】
1.选择题:
⑴如图1，已知OC 平分∠AOB ，CD ∥OB ，若OD=3cm ，则CD 等于( ) A.3cm B.4cm C.1.5cm D.2cm
⑵如图2，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②DE=BD+CE ；?③△ADE 的周长等于AB 与AC 的和；④BF=CF ．其中正确的有( )
A.①②③
B.①②③④
C.①②
D.①
⑶如图3，Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，角平分线AE 交CD 于H ，EF ⊥AB 于F ，则下列结论中不正确的是( )
A.∠ACD=∠B
B.CH=CE=EF
C.CH=HD
D.AC=AF
2.填空题:
⑴△ABC 中，∠A=65°，∠B=50°，则AB ︰BC=_________．
⑵已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，要使AD ∥BC ，?则△ABC?的边一定满足________． ⑶一灯塔P 在小岛A 的北偏西25°，从小岛A 沿正北方向前进30海里后到达小岛B ，此时 测得灯塔P 在北偏西50°方向，则P 与小岛B 相距________．
3.如图，已知AB=AC ，E 、D 分别在AB 、AC 上，BD 与CE 交于点F ，? 且∠ABD=∠ACE.求证：BF=CF ．
4.如图，△ABC 中，BA=BC ，点D 是AB 延长线上一点，DF ⊥AC 于F 交BC 于E.
求证：△DBE 是等腰三角形．
E C A
B
F
5．如图，AF 是△ABC 的角平分线，BD ⊥AF 交AF 的延长线于D ，DE ∥AC?交AB 于E.求证：AE=BE ．
【能力巩固】
6.如图，△ABC 中，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，BD 与CE 交于点O ，给出下列三个条件：①∠EBD=∠DCO ；②∠BEO=∠CDO ；③BE=CD.
⑴上述三个条件中，哪两个条件．．．．
可判定△ABC 是等腰三角形(用序号写出所有情形). ⑵选择第⑴小题中的一种情形，证明△ABC 是等腰三角形.
14.3.2 等边三角形
◇同步训练◇ 【基础达标】
1.选择题:
⑴下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；?③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；?④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角
形，其中是等边三角形的有( )
A.①②③
B.①②④
C.①③
D.①②③④ ⑵如右图，D 、E 、F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD=BE=CF ，则△DEF?的形状是( ) A.等边三角形 B.腰和底边不相等的等腰三角形 C.直角三角形 D.不等边三角形
⑶如右图，E 是等边△ABC 中AC 边上的点，∠1=∠2，BE=CD ，则对△ADE 的形状最准确的
判断是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.不等边三角形 D.不能确定形状
2.填空题:
⑴△ABC 中，AB=AC ，∠A=∠C ，则∠B=_______．
⑵已知AD 是等边△ABC 的高，BE 是AC 边的中线，AD 与BE 交于点F ，则∠AFE=______．
⑶△ABC 中，∠B=∠C=15°，AB=2cm ，CD ⊥AB 交BA 的延长线于点D ，?则CD?的长度是_______． 3.已知D 、E 分别是等边△ABC 中AB 、AC 上的点，且AE=BD ，求BE 与CD?的夹角是多少度？
4.如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥AC 交BC?于点D ，?求证：BC=3AD.
5.如图，P 是等边△ABC 内的一点，连结PA 、PB 、PC ，以PB 为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP ，连结CQ ．观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．
D C A
B D
A F
21E
D C A
F E
D
C
B
A 【能力巩固】
6.如图，已知⊿ABC 为等边三角形，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且⊿DEF 也是等边三角形． ⑴除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；
⑵你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程．
◇本章小结◇
◇单元自测题◇
（满分:100分 时间:60分钟）
一、选择题：(每小题3分，共24分)
1.一只小狗正在平面镜前欣赏自己的全身像(如图)，此时，它所看到的全身像是( )
2.国旗是一个国家的象征，观察下面的国旗，是轴对称图形的是( ) A.加拿大、哥斯达黎加、乌拉圭 B.加拿大、瑞典、澳大利亚 C.加拿大、瑞典、瑞士 D.乌拉圭、瑞典、瑞士
加拿大 哥斯达黎加 澳大利亚 乌拉圭 瑞典 瑞士
3.直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的( ) A.形内 B.形外 C.斜边的中点 D.不能确实
4.在下列说法中，正确的是( )
A.如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形
B.如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形
C.等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形
D.一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形
5.下列图案是几种名车的标志，请你指出，在这几个图案中是轴对称图形的共有( )
A
B
C
D l
O
A.4个
B.5个
C. 6个
D.7个
6.万众瞩目的2006年世界杯足球赛在德国举行，足球场平面示意图如下左图所示，它是轴对称图形，其对称轴条数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
7.小朋友文文把一张长方形的对折了两次，如上右图所示，使A 、B 都落在DA /上，折痕分别是DE 、DF ，则∠EDF 的度数为( )
A.60°
B. 75°
C. 90°
D.120°
8.如图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得图形大致是( )
二、填空题：(每小题3分，共24分)
9.一个汽车车牌在水中的倒影为，则该车的牌照号码是________． 10.下列10个汉字：林，上，下，目，王，田，天，王，显，吕，其中不是轴对称图形的是_______；有一条对称轴的是_______；有两条对称轴的是______；有四条对称轴的是_______．
11.已知等腰三角形的一个角为42°，则它的底角度数_______. 12.已知点A(a ，-2)和B(3，b ），当满足条件 时，点A 和点B 关于y 轴对称.
13.如图，从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是_______. 14.仔细观察下列图案，并按规律在横线上画出合适的图形．
_________
15.如图，四边形ABCD 沿直线l 对折后互相重合，如果AD ∥BC ，有下列结论: ①AB ∥CD ；②AB=CD ；③AB ⊥BC ； ④AO=OC ，
其中正确的结论是_______________.(把你认为正确的结论的序号都填上)
16．等腰三角形ABC 在直角坐标系中，底边的两端点坐标是(-2，0)，(6，0)， 则其顶点的坐标，能确定的是 坐标.(填“纵”或“横”)
三、解答题：(共52分)
17.(8分)如图，△ABC 是等边三角形，延长BC 至E ，延长BA 至F ，使AF=BE ，连结CF 、EF ，过点F 作直线FD ⊥CE 于D ，试发现∠FCE 与∠FEC 的数量关系，并说明理由．
18.(8分)如图，已知Rt△ABC 中，∠C=90°，沿过B 点的一条直线BE 折叠这个三角形，使C 点落在AB 边上的点D ．要使点D 恰为AB 的中点，问在图中还要添加什么条件？(直接填写答案)
⑴写出两条边满足的条件：__ ____； ⑵写出两个角满足的条件：__ ___；
⑶写出一个除边、角以外的其他满足条件：_____ ______．
A
C
B
y
x
19.(8分)用棋子摆成如图所示的“T”字图案．
⑴摆成第一个“T”字需要___________个棋子，第二个图案需______________个棋子；
⑵按这样的规律摆下去，摆成第10个“T”字需要_____个棋子，第n个需_____个棋子．
20.(8分)如图，△ABC在平面直角坐标系中三个顶点的坐标分别是A(1，1），B(2，-1），C(3，
0).
⑴作出△ABC关于直线x＝1的轴对称图形△DEF.
⑵分别写出D、E、F三点的坐标.
21.(10分)如图，∠BAC＝105°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．
求∠PAQ的度数．
22.(10分)为了美化环境，在一块正方形空地上分别种植四种不同的花草.现将这块空地按下列要求分成四块：⑴分割后的整个图形必须是轴对称图形；⑵四块图形形状相同；⑶四块图形面积相等.
现已有两种不同的分法：⑴分别作两条对角线（如图中的图⑴）；⑵过一条边的四等分点作这边的垂线段（图⑵）（图⑵中两个图形的分割看作同一
方法
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）．请你按照上述三个要求，分别在图⑶、
图⑷两个正方形中给出另外两种不同的分割方法．
．．．．．．．．．．．．（正确画图，不写画法）
第十四章轴对称
14.1轴对称
同步训练1
1.⑴C；⑵D；⑶D.
2.⑴6；⑵2cm，95；⑶3cm.
3.略.
4.①A与A，B与D，C与E是对称点；②AB=AD，AC=AE，BC=DE，BF=DF，EF=CF；③
△AEF与△ACF，△ABF与△ADF.
5.略.
6.折痕两侧的部分关于折痕轴对称。参考图如下图：
同步训练2
1.⑴D；⑵A；⑶B.
2.⑴10cm；⑵①②③④.
3.证明PB=PC.
4.证明△ABD≌△ACD(SSS).
5.证明AE=AC，DE=DC.
6.答案不唯一，只要符合要求，即可.
同步训练3
1.⑴C；⑵A；⑶B.
2.⑴垂直平分线；⑵526778022.
3.略.
4.略 .
5.如图所示：
6.⑴略；⑵m垂直平分AA/；⑶两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．
14.2 轴对称变换
14.2.1轴对称变换
同步训练
1.⑴C；⑵C
2.⑴264×21，198×81，132×42；⑵⑵⑷⑶⑴；⑶平移，旋转.
3.作点A关于直线CF对称的点G，连接BG交CF于点P，则点P即为A?球撞击桌面边缘CF的位置.
4.作点A关于直线a对称的点C，连接BC交a于点P，则点P就是抽水站的位置
5.如图所示．
6.分别作P点关于河边和草地边对称的点C、D，连接CD分别交河边和草地于A、B两点，则沿PA→AB→BP的线路，所走路程最短．
14.2.2用坐标表示轴对称
同步训练
1.⑴B；⑵B；⑶C.
2.⑴上，5；⑵关于y轴对称；⑶(-2，-1），互相垂直.
3.2x+1.
4.P(0，4
5). 5.⑴①②，①③；⑵略
6.⑴A(3，4）、B(1，2）、C(5，1）；⑵⊿C B A '''与△ABC 关于x 轴对称；⑶⊿C B A ''''''与△ABC 关于原点对称．
14.3 等腰三角形
14.3.1等腰三角形
同步训练1
1.⑴B ；⑵C ；⑶B.
2.⑴50°，65°；⑵70°；⑶22.5°或67.5°.
3.6cm.
4.连接BD ，∵AB=AD ，∴∠ABD=∠ADB ．∵CB=CD ，∴∠CBD=∠CDB ．∴∠ABC=∠ADC
5.连接AP ，证明AP 平分∠BAC ．
6.∠ACB=90°．结论：若一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
7.
同步训练2
1.⑴A ；⑵A ；⑶C.
2.⑴1；⑵AB=AC ；⑶30海里.
3.连接BC ，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，又∵∠ABD=∠ACE ，∴∠FBC=∠FCB ，∴FB=FC.
4.证明∠D=∠BED.
5.证明∠EAD=∠EDA ，∠EBD=∠EDB 分别得到AE=DE ，BE=DE.
6.⑴①③或②③；⑵以①③为例证明△EBO ≌△DCO.
14.3.2 等边三角形
同步训练
1.⑴D ；⑵A ；⑶B.
2.⑴60°；⑵60°；⑶1cm.
3.60°或120°.
4.∵AB=AC ，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∴在Rt △ADC 中CD=2AD.
∵∠BAC=120°，∴∠BAD=120°-90°=30°，∴∠B=∠BAD ，∴AD=BD ，∴BC=3AD 。
5.猜想：AP=CQ 。证明：在△ABP 与△CBQ 中，∵AB=CB ，BP=BQ ，∠ABC=∠PBQ=60°，∴∠ABP=∠ABC-∠PBC =∠PBQ-∠PBC=∠CBQ ，∴△ABP ≌△CBQ ，∴AP=CQ.
6.⑴图中还有相等的线段是：AE=BF=CD ，AF=BD=CE 。事实上，∵△ABC 与△DEF 都是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∠EDF=∠DEF=∠EFD=60°，DE=EF=FD 。又∵∠CED+
∠AEF=120°，∠CDE+∠CED=120°，∴∠AEF=∠CDE ，同理，得∠CDE=∠BFD ，∴△AEF ≌△BFD ≌△CDE(AAS ），所以AE=BF=CD ，AF=BD=CE ；⑵线段AE 、BF 、CD 它们绕△ABC 的内心按顺时针(或按逆时针)方向旋转120°，可互相得到，线段AF 、BD 、CE 它们绕△ABC 的内心按顺时针(或按逆时针)方向旋转120°，可互相得到.
单元测试题
1.A
2.C
3.C
4.B
5.C
6.B
7.C
8.C
9.W 5236499 10.林，上，下；天，王，显，吕，这四个字都有1条对称轴；目，王，有2条对称轴，田，有4条对称轴.
11.42°或69°. 12.a=-3，b=-2. 13.9:30. 14. . 15.①②④. 16.横
17.如图，延长BE 到G ，使EG=BC ，连FG ．
∵AF=BE ，△ABC 为等边三角形，∴BF ＝BG ，∠ABC ＝60°.
∴△GBF 也是等边三角形．
在△BCF 和△GEF 中，
∵BC=EG ，∠B=∠G=60°，BF=FG ，∴△BCF ≌△GEF ，
∴CE=DE。又∵FD⊥CE，∴∠FCE=∠FEC.
18.⑴①AB=2BC或②BE=AE等；⑵①∠A=30°或②∠A=∠DBE等；⑶△BEC≌△AED等．
19.⑴5，8；⑵32，3n+2．
20.⑴略；⑵A(1，1），B(0，-1），C(-1，0).
21.由于MP、NQ分别垂直平分AB和AC，所以PB＝PA，QC＝QA．所以∠PBA＝∠PAB，∠QCA＝∠QAC，∠PAB＋∠QAC＝∠PBA＋∠QCA＝180°－105°＝75°，所以∠PAQ＝105°－75°＝30°.
22.如图⑴、⑵符合题意，图⑶的四部分面积相等但形状大小不同．
浙公网安备 33021202002483