【doc】无限维KO型单模李超代数的超导子代数
无限维KO型单模李超代数的超导子代数
第24卷
第2期
哈尔滨师范大学自然科学Vo】.24,No.22008 NATURALSCIENCESJOURNAL0FHARBINNORMALUNIVERSITY
无限维KO型单模李超代数的超导子代数宰
刘冬丽刘文德
(哈尔滨师范大学)
【摘要】首先证明了无限维KO(I1,,I1,+1)型模李超代数的单性,给出了它的生
成元集,进而确定了它的一齐次超导子,最后确定了KO(I1,,n+1)的超导子代数.
关键词:阶化;模李超代数;超导子代数
1引言与准备
决定李超代数的超导子代数是李理论中具有
重要意义的课
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
.一个限制李超代数的超导子代 数是局限李超代数,因而单李超代数可以放人到 局限李超代数的框架中讨论.这使我们可以利用 局限李超代数的许多重要性质.超导子代数还可 以用来决定Cartan型李超代数的滤过在自同构下 的不变性,决定其分类及上同调群,还可计算李超 代数的P一包络代数等.参考文献[1,3]给出了
有限维Ca~an型李代数的导子代数,而参考文献 [4]给出了特征零域上的一类无限维李代数的导 子代数.参考文献[5,8]中分别决定了有限维
Ca~an型模李超代数W,S,H,K和HO的超导子代 数.但对于无限维模李超代数,研究结果不多.参
考文献[9,12]分别确定了无限维型模李代数
和无限维.s型模李超代数的导子代数.本文讨论
无限维KO(I1,,n+1)型模李超代数的超导子代 数.
设基域的特征P>2.除特别声明外,本文 符号与参考文献[11]相同.令D(n)是具有基底 {)laE}的上除幂代数,A(n+1)是
上有n+1个变量,…,:川的外代数.记
D(n,n+1):=D(n)O1(n+1).易见D(n,n+ 1)是2一阶化结合超代数,即D(n,/I,+1):=D
(n)A(n+1)6,D(n,n+1):=D(n)A(n
+1),对gED(n)EA(n+1),简记gof为
g,=为简便,设/o:={1,2,…,n},,:={n+1, …
,2n+1},,:=/oU,1.若是2一齐次元素.
则用p(x)
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
示的:一次数.设a,a:,…,a:川 是D(n,n+1)的线性变换,使得
导子
Dfn
叼c(a)=X(
.
a+si)Xu
'
I1,+1)的超
定义线性映射D肋:D(I1,,I1,+1)W(I1,,I1,+
1),使对任意fE0(I1,,I1,+1), 2n
Dxo(f)=?(一1)(aa,+i=1
2n2n
?(一1)?(O2n+lf)Xa+(?Xi(a一i=1i=1 收稿日期:2007—12—11
?黑龙江省自然科学基金项目(2005一o8),黑龙江省教育厅科技(11511111)项目
魄删令一?一.一嚣=,,足隅一.=衣+鲰+^
第2期无限维KO型单模李超代数的超导子代数15 =
?((一I)?a+
(一I)'力(a:+L,))a+(?Xi(a',)一a2l
令
KO(rt,rt+I)=span庐{D肪?If?D(,l,,l+ I)}.
在p(,+I)中定义[,]运算如下:
g]:=Dro?(g)一(一1)?2(a2+L,)g =
?((一1)?(a+
(一I)?(a:+L,))a(g)+(?Xi(a',)一
2f)a2(g)一(一1)?2(a2+L,)g, 其中f,gE0(,l,,l+I).易见D(,l,,l+I)关于运
算[,]是李超代数,由参考文献[10],D(厅,厅+I) 和肋(,+1)作为李超代数是同构的.令
KO(rI,rI+1)=[,D(,l,,l+1),,D(,l,,l+
1)].
令B,:={(il,i2,…,f,)I,l+1?l<i2< …<,?2n+1},B(,l+1):=UB,,B0:=.
对l'=(l,2,…,,)?B,,令
…:={,r+.22n++.1?eB,'
易见p(rI.rI+1)有一阶化结构:p(rI,rI+ 1)=.Qp(rI,rI+1)i,这里?ENn
p(rI,rI+1)i=span,{'口'.III+lll'0= i,E,"E回(,l+I)}.
下文分别简记肋(,l,,l+1),肋(,l,,l+1)为KO, 0.
2主要结果
定理1KO是无限维单模李超代数. 证明:显然KO是无限维李超代数.设是李 超代数KO的任意非零理想.相仿于参考文献 [10,定理3.1],可证得1E胍设:=(,l+1,,l
+2,…,2rI+1),
:=n+1,^+2,…,X2n+1,
一
'"'
:=-+l,…,n+i—l,-+j+l,…,-+l, 并令
(霄I)
:=
((一l一),(—l2一)|2,…,(一-一)). 因为
[XiX2+l,1]=一(一1)'''2I?2a2I+l(f2I+1)
=?2x',
其中f=1,2,…,2厅,所以相仿于参考文献[10,定 理3.1],可证得'r.'?
[(口),r]=(一1)'订P''"aj('口')=
Ax<.一'')?M.
其中A=1或一1,?:,?Io.特别地,有 [','.]=,?/o.
下面分两种情形证明(a).?
情形1:若2,l+1薯l',对?/o,有
['.'(2"?,i]
=
(一1)'一(.)'''一'"?JII
设{kl,k2,…,k,}={,l+l,,l+2,…,2,l},{l'},则 n(adxk~)('2I+')=Ax'.?M,
其中A=1或一1,从而对任意?A(厅),u?B(rl,
+1),{2,l+1},有(.).?胍
情形2:若2,l+1?l',令'.'.='.''2川,
?B(,l+1).设{kl,k2,…,k,}={,l+1,n+2,
…
,2厅},{},则
n(adxk~)(')=Ax''+l+D?
其中A=1或一1,D是(卢'(2,l+1薯)的线 性组合.由情形1知D?胍于是,KO=这就证 明了KO是无限维单模李超代数. 推论2KO=KO.
现在考虑无限维KO型模李超代数的超导子 代数.因为超导子由其在KO的生成元集上的作 用所决定,所以首先确定KO的生成元集. 命题3KO由uIsu{1}生成,其中
T={X(Itlei'2+lI?/o,ki?:},
Is={X~+iX2I+1If?Io}.
证明设uIsu{l}生成KO的子代数为 Q.
?
(1)用归纳法证明n+?Q.当k=1时, 由于[+;小1]=一2x?Q,故结论成立.假 设
l
1?k一1时,nEQ,则11
?一1?一1
[n们Xn+ItX2~+]=(七一3)n"?I=1It1 Q.
?
若k一3O(modp),则n+;?Q.若七一3暑0 (modp),因为
[X(2#i'2_+l,-+i]=f2_+l+'2'^+i?Q,
l6哈尔滨师范大学自然科学2008年 [''",+2I+1]=x,ix,+'x,2.m+l,
所以
[xll~ixn+?,'n+?一l2n+1]=^+?^+?一l2n+l?Q. 由归纳假设知
?一2
[n+.]11
k-2
=
(后一4)n+n+.一.n+.?Q.
?
由于后一4季o(mo如),故n?Q. (2)设a=(a?I,ab,…,n,k1),?,0,a?
.
对Z用归纳法证明(a)?Q.当Z=l时,因为 [''2n+1,1],=2x'h'?Q,所以结论成立.假设 对Z时,有(a)?Q,则
J
[',.』)2n+1]暑(?a-2)x.』)?Q,101 J
其中?,=l,…,f.若(?a一2)季
J
o(modp),则有?Q.设(?a一2)兰 O(mo如).因为
['.q','畸'+1]='.''口.J'='..,'EQ, 故对任意a?A(,1),有(a)EQ. (3)下面证明对任意a?A(,1),l'?B(,l+ 1),有(.)"?Q.
设2,l+l薯l',IaI+0l'0=Z.对Z用归纳 法.当z=l时,结论显然成立.假设f<后时,结论 成立.当z;后时,若IaI=0或0l'0=0,由(1) 和(2)知,'.'.?Q.当IIl'0=l时,[X(a~8, .
n+j】='.'.?Q,,l+薯l',故不妨设IaI? l,IIl'0>1.由于
['-'.一'订,'2+1]
=A(I口I+0l'0—3)X''.?Q,
其中A=l或一l,若IaI+0l'0—3季 0(modp),则'.'.?Q.设IaI+0l'0—3 0(mo如),由归纳假设知
['q'.一'''一'',',2I+1] =A(IaI+0l'0—4)X'町.?Q.
其中A=l或一1.由于IaI+0l'0—4季 0(mo如).所以有'.EQ.
设2,I+1El',令石'.'.='.''2I+l,则
['mi'',-+i石2-+1]='.'石'+lEQ, 0t,0?1,,I+i?t,,
['.,X~~IX2I+1]='.'2+l+EQ,
其中是(a,'(2n+1)薯t,)的线性组合.由前 面证明知?综上,KO=
定义4设f?0(,l,,l+1),?,l,若a'?
=0,则称,是一截头的.
类似于参考文献[1l,引理2.4],有以下引 理:
引理5(i)若?,0,则对任意g?0(,l,,l+ 1),有aif(g)=g;若?,l,且g?0(,l,,l+1) 是一截头的,则有a(g)=g.
(ii)a=(一1)''?a',这里J?,,且
?工
弓I理6设gl,g2,…,?'=,(厅,厅+1),后? 2,l+l,满足条件:
(i)对l??后,若f?,l,则gf是'一截头 的;
(ii)对l?J?后,
a()=(一1)'i'u'a,(). 那么
(i)对,l+l?i?2n+l,g'不含';
(ii)存在g?O(,l,,l+1),使得a'(g)=g',f =l,2,…,后.
证明(i)相仿参考文献[1O,引理4.6],可 证本结论.
(ii)对后用归纳法.若居=l,令g:=.(g.), 则由引理5(i)知,a.(g)=a.(.(g.))=g.,结论 成立,假设后?2,并且对后一l时命题成立,则存 在f?O(,l,,l+1),使af(=g',i=l,2,…,后一 1.令g:=f+(g一a.?).由弓I理5(ii),对= l,2,…,后一l,有
a'(g)=g'+a'.(g.一a.()=
gi+(一1)''''''.(a'(g.)一afa.?)=
g+(一1)''''''((一1)''''''a.(g')一
(一1)''''''a.ai?):g'.
由引理5(i)知
a.(g)a.(,+.(g.一a.())=a.?+
a??(g?一a??)=a??+g?一a??=g?.
故引理成立.
引理7(i)设?Der6(Ko),则存在
f?O(,l,,l+1),使得(咖一a(肋)=0,其中
.,=一l,一2.
(ii)若咖?De(KO),则咖(KO一)=0.
证明设咖?Dera(KO),a?.对任意
i?{l,2,…,2,l}.令
:=(一1).2-1咖(1),(1)
:=(一1)'''.'''咖(',)+(一1)'.f.+1.(2)
第2期无限维KO型单模李超代数的超导子代数17
将咖作用于[1,i,]=0,[f]=0,其中i?故Der(KO)=adKO?span{aIi?1o,l,? i,j?八}2,l+1}和[,,]=(一1)0I,相仿于}.,
参考文献[10,引理4.7],可得推论10Der.(KO)=Der(KO)/adKO一 ,
f(一1)"u')a=0,span{Ii?10,l,?},它是Abel李代数.
l一(一1)r(i)r(oaf,)a:参考文献
,
?{1,2,…,2,l+1}.[1]s如deH,F哪8tenerR?M0dularueAlgebrasandtI1leiRep'
情形1:若=,对任意?,.,由上式取=.:—b.obAM砒h'
.,?,l,得a')=一ai),ai()=o,ePf,是[2]cd0u鲫vMJ.Deriva6ofLieAlgebrasofCartan—type
一
截头的,i?,1.由引理6知,存在f?p(n,.n+[J].1zvVysshUehebnZavedMat,1970,98:126,134. I),使E3]ShenGY.NewsimpleLieAlgebrasofcharacteristicp[J].
=ai(SO,i?(3)ChinMath,1983,4():119,? .
1)..,验证可知.DMeriva劬tions衄actureof.刚theLie.
(咖一a(1)=0,[5]c,g '
Yz.Deri哪iAlgebr0fM0dl".
)(i)=0,i?八{2n+1}.Su.peralgebraswaIldSofGartan.type【J].ActaMathSci, (咖一ad厂
于是(咖一adf)()=0,j=一1,一2.2000,20(I):137,l4-4.
情形2:若=i-,相仿于参考文献[10,引理
[]WangY,zhangYz?DerivationAlgebraDer(H)ancentral
4.7],可得=0.因此3e
2
xt
:
en
4
s
l
io
l
n
7
so
4
f
l
Li
3
e
1.
upege[J].c""Agebm'.o4'
咖(1)=O,咖(r)=(一1)"'"",E7]MaFM,ZhangQc.Derivati.AlgebmofModularHeSupe
即咖(K0—2)=0.MgebrasKofCaftan—type[J].J.Math(PRC),2000,20 命题8设?Der,(KO),t?一1,则存在(4):431—435?
,?D(,l,,l+1,.估fI)=adf.[]"wD,zhang/r~-t-
Yz,wgxL'.DeAgem0f
证明利用引理7,相仿于参考文献[1o,命?sumH0?oo4'
题4.4],可证本命题.[9]zhangYz.Thederivational窖ebrasofinfinite—dimen8i0nal 定理9Der(KO)=adKO0span{Ii?modularLiealgebrasofK—type[J].J.HeilongjiangUniver-
10,l,?}.sityNaturalScience,2005,23(6):859—862(InChinese). 证明由命题8可知,若?Der,(KO),则[0]FuJY,zgQc,JigcB?.cn—typeModu'盯
咖?adKO,其中t?一1.相仿于参考文献[10,命:咖K0?c"Abm'0o6'34: 题4?1—4?3],可得下列结论:[11]ZhangYz,LiuwD.Modu1arLie8uperalgebras[M].Bei.
Der一
2(KO)=adKO一2,ji"g:sciencePress,2004.62,7l(1nChinese). Der一
3(KO)=0,P>3;[12]GuanBL,LiuwD.Thede6vafionalgebrasofinfinite—di-
Der一
(KO)=0,其中t>3,t?P,l,?;".ispeoduaru.咖0fs—type[J]'
Der,(肋):spn{aI?10},其中t::NaturalScience,2006' P.l,?.
SUPERDERIVATIoNALGEBRASoF
THE娜D?TE—Dn压ENSIoNAL
SIMPLEMoDULARLIESUPERALGEBRASoFD—TYPE
LiuDongliLiuWende
Theinfinite—dimensionalmodularLiesuperalgebraKOisprovedtobesimple.Thenthegeneratingsetof
KOis百ven.Furthermore,the—homogeneoussuperderivationsofKOaredeterminedandasaresult,the
superderivationalgebraofKOisdetermined.
Keywords:Gradations;ModularLiesupemlgebras;Superderivafionalgebras(责任编辑:
李双臻)