[松江二中2010届高三
数学
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第一轮复习资料]
13.5 双曲线方程及性质
【复习要求】
1、掌握双曲线的定义和
标准
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方程；
2、根据条件确定双曲线的方程；
3、学会用类比的方法去掌握双曲线的性质及其应用。
【知识要点】
1、双曲线的定义： 的轨迹叫双曲线。
焦点在
轴上
焦点在
轴上
双曲线的标准方程
图形
渐近线方程
范围
对称性
关于 对称
顶点坐标
焦点坐标
两轴
实轴长为 ，虚轴长为 ，
焦距
，
2、等轴双曲线的定义。
【基础训练】
1、双曲线
的实轴长是 ，虚轴长是 ，焦点坐标是 ，渐近线方程是 ，两条渐近线的夹角是 。
2、方程
表
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示双曲线，则t的取值范围是 。
3、已知点
，若动点
满足条件
，则点
的轨迹方程为 ；若
，则点
的轨迹方程为 。
4、若双曲线与椭圆
有一个交点为
，且有公共的焦点，则双曲线方程为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
5、双曲线的实轴长为
，
为左支上过左焦点
的弦，若
为右焦点，
，则
的周长是 。
6、已知双曲线
的一个焦点到它的一条渐近线的距离为
，则
。
【典型例题】
例1、
，顶点A移动时满足
，求顶点A的轨迹方程。
变式：已知圆
，动圆M同时与圆
，圆
相外切，求动圆圆心M的轨迹方程。
例2、求适合下列条件的双曲线的标准方程：
⑴实轴长是
，焦距是
；
⑵经过点（2，2 ）和（4，2
）；
⑶有一条渐近线方程
焦点为椭圆
的一对顶点。
例3、已知双曲线
⑴求该双曲线的焦点坐标和渐近线方程；
⑵设
是该双曲线的焦点，点
在双曲线上，又
，求
的大小。
例4、若
为海上三个救援中心，
在
的正东方向，相距6千米，
在
的北偏西
的方向上，相距4千米，
为海上一艘油轮，某一时刻，
发现
的求救信号，由于
两地比
距
远，因此4秒后，
两地才同时发现
的求救信号（设该信号的传播速度为每秒1千米），若
地派出一艘每小时行驶20千米的求援船，救援船最快到达已经抛锚的油轮处需多少时间？
【学后反思】
【巩固训练】
1、双曲线
的一个焦点是
，则
。
2、当
时，方程
所表示的曲线是 。
3、已知双曲线中心在原点，以坐标轴为对称轴，且与圆
交于点
，若圆在A处的切线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线方程是 。
4、已知
的两个焦点，过
作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且
，求双曲线的渐近线方程。
5、若双曲线的中心在原点，实轴与虚轴长相等，焦点
⑴求双曲线的方程；
⑵若点M为双曲线上一点，且
的面积。
【能力提升】
1、已知双曲线
的左右焦点分别为
，点
为双曲线上一点，过
作
平分线的垂线，垂足为
，求
点的轨迹方程。
变式：将上述命题类比到椭圆，写出相应的真命题，并加以
证明
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。
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