初等数论复习题题库及答案

初等数论复习题题库及答案 《初等数论》本科 一 填空题(每空2分) 1.写出30以内的所有素数 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 . ab设是任意两个不为零的整数ab,(,),则,2. 1 . (,)(,)abab axby，,1ab,3.若是非零整数,则与互素的充要条件是存在整数,适 xy,ba 224.写出180的标准分解式是 ,其正约数个数有 (2+1)(2+1)(1+1)=18个. 235,, a5. 个. []设与是正整数则在中能被整除的整数恰有abab,1,2,,b axbyc，,(,)|abcab,6.设是非零整数,c是整数,方程有整数解()的充要条件是 xy,7. 若整数集合A是模的完全剩余系,则A中含有 个整数. mm8. 2 ; 2 . ,(3)=,(4)= kkk,1,()p,p,19.当素数时,(1) ;(2) . p,()p,pp, ,()m(mod).m10. 0 设是正整数则mama,(,)1,1,,, p(mod).p11. 0 设是素数则对于任意的整数有paaa,,,, 235(mod7)x，,(mod7)12.已知,则 1 . x, 213.同余方程的解是 4(mod7) . x,2(mod7) 214.同余方程的解是 .X=6. . 310120(mod9)xx，，, p-1215., . np,1(mod).若(,)1np,np是模的二次剩余的充要条件是 p-1216., np,,1(mod). . 若(,)1np,np是模的二次非剩余的充要条件是 3417. -1 ; 1 . ()=()=55 2p,128(),18. . (1).,设是奇素数则p,p p-11-12(),(),19. 1 ; (-1). . 设是奇素数则p,pp 5220. 1 ; -1 . ()=()=459 二 判断题(判断下列结论是否成立，每题2分). 1. .成立 abacxyZabxcy||,|且对任意的有,,， 2. .不成立 若则(,)(,),[,][,]abacabac,, 233. .不成立 若则abab|,| abmkkNakbkmk,,,,,(mod),0,(mod).4. 成立 acbcmabm,,,(mod)(mod).5. 不成立 226. . 不成立 若则或至少有一个成立abmabmabm,,,,(mod),(mod)(mod) 2227. .不成立 若则abmabm,,(mod),(mod) 8. 若通过模的完全剩余系,则(是整数)通过模的完全剩余系. 成立 xb，bxmm 不成立 9. 若与都是模{,,,}{,,,}.aaabbbm的完全剩余系1212mm 不成立 则也是模的完全剩余系{,,,}.abababm，，，1122mm (,)1am,10.若,通过模的简化剩余系,则也通过模的简化剩余系. 不成立 axb，xmm11. 成立 若则mmNmmmmmm,,(,)1,()()().,,,,,,12121212 2212. 同余方程和同余方程是同解的. 成立 4330(mod15)xx,，,412120(mod15)xx，,,13. 成立 同余方程等价于不定方程axbmaxmyb,，,(mod). a214. 成立 当是奇素数时若有解则mxam,(mod),()1.,,m a215. 不成立 当不是奇素数时若则方程一定有解mxam,()1,(mod).,,m 三 计算题 1. .(6分) 求(1859,1573), 1.(1859,1573)(1859,1573)(286,1573),,,解: ,,，,,,(286,15732865)(286,143)(0,143)1432.求 [-36,108,204].(8分) 2.[36,108,204][36,108,204],,, 222323623,10823,2042317,,，,，,，，解: 23？,，，,[36,108,204]23171836. 3. 求(125,17),以及,y,使得125+17y=(125,17).(10分) xx 3.651,由等式起逐步回代得,， 16-56-(17-26)36-173(125-177)-17,,，,，,，，解: ,，，3125-2217. ？，，,,,1253-17221,3,-22.xy yy4. 求整数,,使得1387-162=(1387,162).(10分) xx 4.9421,由等式起逐步回代得,，， 19-429-4(11-9)59-4115(20-11)-411,，,，,，，,，， ,，，,，，,，,，,，520-911520-9(71320)3220971 ,，,，,，,，32(91-71)97132914171解: ,，,，,,，,，329141(16291)739141162 ,，,，,，73(13878162)41162 ,，,，731387625162. ？1387731626251.，,，, 分解为质因数乘积12!.(8分) 5. k6. .(8分) 求最大的正整数使k,10|199! 111求[1].，，，，7. (10分) 23100 8. (6分) 求方程的整数解81743.xy，, 9. (10分) 求方程的正整数解19201909.xy，, 10. 求方程111-321=75的整数解.(10分) yx 11. (8分) 求方程15xxx，，,10661.的整数解123 12. (8分) 求不定方程的整数解361215.xyz，，, 13. (8分) 求不定方程的所有正整数解xyz，，,237. 1914. (10分) 将写成三个分数之和它们的分母分别是和,2,35.30 2215. (6分) 求方程的整数解xyxy，,,,2370. 3316. (8分) 求方程的整数解xy，,1072.17. (10分) 求方程的正整数解5()4.xyyzzxxyz，，, 40618. (10分) 求的个位数字与最后两位数字十进制3(). 19. (8分) 解同余方程67(mod23).x, 20. (8分) 解同余方程12150(mod45).x，, x,2(mod3), ,21. (6分) 解同余式组x,3(mod5)., ,x,2(mod7), 4322. (10分) 解同余式fxfxxxx()0(mod35),()289.,,，，， 76523. (6分) 解同余方程:2720(mod5).xxxx,,，，, 求出模23的所有二次剩余和二次非剩余.24. (8分) 225. (6分) 判断方程有没有解x,5(mod11). 226. (8分) 已知是素数判定方程是否有解563,429(mod563).x, 求以为其二次剩余的全体素数327. .(8分) 1017328. (8分) 计算:(1)();(2)().1521 29. (6分) 计算,(300). x,3(mod8), ,30. (10分) 解同余式组x,11(mod20)., ,x,1(mod15), 四 证明题 1、(6分) 设是两个给定的非零整数且有整数使得求证若则abxyaxbyanbnabn,,,,1.:|,|,|.，, 1.()nnaxbynaxnby,，,， 又 abnaabnb|,|证明: ？abn. 2.(8分) 设是整数且则aaaaaaaaann,,,,0,.4|.，，，,,121212nnn 2.,,,,,,0,2.若是奇数则都是奇数则不可能nnaaaaaan，，，,？1212nn 即在中至少有一个偶数如果只有一个偶数不妨设为则不aaaa,,,.,,2121n 证明: 整除ain(2).,,i 由知左边是个奇数的和右边是偶数这是不可能的aaaan，，，,-,(-1),,.231n ？在中至少有两个偶数即aaan,,,,4.12n 3. 任给的五个整数中,必有三个数之和被3整除.(8分) 3.3,03,1,2,3,4,5.设aqrri,，,,,iiii (1)0,1,2,0,1,2,3()3.若在中数都出现不妨设则成立rrrraaaqqq,,,，，,，，，i123123123证明: (2)0,1,2,,(0,12),若在中数至少有一个不出现则至少有三个取相同的值令或rrrrrrr,,,,ii123 则成立aaaqqqr，，,，，，3()3.123123 224. (8分) 设是整数且则abaabbab,,9|,3|(,).，， 222224.9,9()3,3()3,3(),3,aabbabababababab，，？,，？,，？,？, 2？,？？？9(),93,3,33.abababab或 证明:若3,3,3.aabb,？ 若3.3,3.baba,？ 故3(,).ab ()[,][,]abababab，,，ab,5. 设是正整数,证明.(8分) abbab()，5.()[,](),abababa，,，,,,(,)(,)abab babbabbabbabab()[,](,),(,)(,),，,，，，,而证明: ？，,，babbabab()[,](,), bab()，即结论成立,，？[,],bab(,)ab nn6. (6分) 当时又则abmnnNabm,,,,(mod),0,,(mod). 6.(mod),,abmmab,？, nnnnnn,,,,12321又ababaababb,,,，，，，()(),证明: nnnn？,,mababm,(mod).即 7. 设是模的一个完全剩余系以表示的小数部分Axxxmxx,{,,,},{}.12m maxb，1i证明若则:(,)1,{}(-1).amm,,(10分) ,m2,1i 7.2,{,,,},由定理知也是模的一个完全剩余系axbaxbaxbm，，，12m 可设axbkmjjm，,，,,(1),证明: i ,,mmmmm11axb，jjjjmmm1(1)1,,i从而{}{}{}{}.,，,,,,,,k,,,,,mmmmmm22,,,,,ijjjj11111 1k8. .(10分) ,nnnkN,,,的充要条件是设证明nN,,:()2,2 1nkkkk-18.2,(2)2(1-)2.,,,,,若则n,22 nk(),2,2|,nntt,,,若设,,2 ntnt1()()kkkk-1,,()(2)(2)()2()2,ntttt则,,,,,，,,,证明: ,,,,,222tt (),1,.ttt即从而得证,？,, (()112)注或nn,,,, nnnn设则nNn,，，，,,5|12344.9. (10分) , 49.(5)4,,1(mod5)(14).,,,,,由定理知kk nnnnqrqrqrqr4444令则nqrr,，,,，，，,,，,，,，,4,03,1234(1)1(2)2(3)3(4)4 rrrr证明: ,，，，1234(mod5). nnnnrrrr,，，，，，，,,？若即得把代入检验可知5|1234,5|1234,0,1,2,30,4;rrn,, nnnnrrrr？，，，,,，，，若则易知4,0,5|1234,nr5|1234.,, ,()1m,10. 设是正整数证明是同余方程的解mamxbamaxbm,(,)1,:(mod)(mod).,,, ,()m10.(,)1,,1(mod).amEuleram,,由定理则 ()m,证明: ？,,axbabm(mod), ()-1m,(,)1,(mod).amxabm,？, p-1211. (10分) npnp是模的二次非剩余的充要条件是,,1(mod). p-111.(,)1,,1(mod),若则由定理npEulernp,, pp,,1122？，,,(1)(1)0(mod),nnp pp11,,22证明: pnpnp是素数则或中必有一个成立,10(mod)10(mod),，,,, p-12npnp是模的二次剩余的充要条件是,1(mod), p,12？,,np1(mod). 12. 设都是模的平方剩余yapyapp,,(mod),(mod),12 ybpybpp,,(mod),(mod).都是模的平方非剩余12 求证都是模的平方剩余:(mod),(mod),yaapybbpp,,1212(10分) yabpp,(mod).是模的平方非剩余11 由定理知12.1, pppp,,,,11112222aapbbp,,,,,1(mod),1(mod),1212证明: ppp,,,111222？,,,,aabbpabp()()1(mod),()1(mod),121211 ？得证. 2213. (10分) 设为两个形如的奇质数求证若无解则有两个解pqnxpqxqp,43,:(mod),(mod).，,, pq,1-113.:,43,,,证明均为形如的数均为奇数pqn，？22 pq,1-1,pqpp222又无解则xpq,？,,,,,,(mod),()1,()(-1)()()1.qpqq 222？,,,,xqpcccpccqp(mod),,-(mod),(-)(mod),有解设是其一解则因为且 , ？-,,c也是其一解又因为二次同余方程至多有两个解2故恰有两个解为xqpc,,(mod). 14. 设是适合的素数是模的平方剩余ppyapp,,1(mod4),(mod). (8分) 证明也是模的平方剩余:(mod).yapp,, p,1214.:41,1,1(mod),证明令由定理知pkap,，, p,12则(-)1(mod).ap, 215. (10分) 设是整数证明的任何奇因数都是的形式nnm,:141.，， 15.:,证明由于奇数都可表示成奇素数之积 而且任意多个形如的整数之积也具有的形式4141.mm，， 2我们只需证明若素数是的因数则具有的形式:1,41.pnpm，， 22若则即pnnpQRp|1,1(mod),-1(),，,,, 由以上推论知,41.pm,， p-116. (8分) 若是素数则同余方程有个解pxpp,1(mod)-1., 16.:(),.证明由费马定理定理可知任意与互质的数都是它的解Fermatp 因此这个同余方程恰好有个不同的解,-1,p 即xpp,1,2,3,,-1(mod). n-1nn17. (8分) 设求证NaaaaNa,，，，,，,101010,:9|9|.,-110nni,0i 23n17.101,101,101,,101(mod9),,,,, ,nn1Naaaaaaaa？,，，，，,，，，，101010(mod9);,,nnnn110110 52求证:641|21.，18. (8分) 248163218.24,216,2256,2154,21(mod641),,,,,,, 5322？，,？，210(mod641),64121. 19. (10分) 证明若则:,,()(,)([,]).mnNmnmnmn,,,, 19.:[,],(1).证明易知与有相同的素因数设它们是mnmnpik,,i 111则()(1-)(1-)(1-),mnmn,,pppk12 111([,])[,](1-)(1-)(1-),mnmn, ,pppk12 mnmnmn,(,)[,], 111？,,()(,)[,](1-)(1-)(1-)(,)([,]).mnmnmnmnmn,,pppk12 p20. (8分) 设是素数则对于任意的整数有paaap,,(mod)., pp,120.:(,)1,,1(mod),(()1),(mod).证明若由定理apEulerapppaap,,,,？,, p若则结论成立(,)1,,0(mod),appaaap,？,,？