五、数学归纳法
数学归纳法是一个递推的数学论证方法,论证的第一步是证明命题在n=1(或n)时成立,这是递推的基础;第二步是假设在n=k时命题成立,再证明n=k+1时命题也成立,这是递推的依据。实际上它使命题的正确性突破了有限,达到无限。证明时,关键是k+1步的推证,要有目标意识。
Ⅰ、再现性题组:
1. 用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2·1·2…(2n-1) (n∈N),从“k到k+1”,左端需乘的代数式为_____。
A. 2k+1 B. 2(2k+1) C. D.
2. 用数学归纳法证明1+++…+
1)时,由n=k (k>1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的代数式的个数是_____。
A. 2 B. 2-1 C. 2 D. 2+1
3. 某个命题与自然数n有关,若n=k (k∈N)时该命题成立,那么可推得n=k+1时该命题也成立。现已知当n=5时该命题不成立,那么可推得______。 (94年上海高考)
A.当n=6时该命题不成立 B.当n=6时该命题成立
C.当n=4时该命题不成立 D.当n=4时该命题成立
4. 数列{a}中,已知a=1,当n≥2时a=a+2n-1,依次计算a、a、a后,猜想a的
表
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达式是_____。
A. 3n-2 B. n C. 3 D. 4n-3
5. 用数学归纳法证明3+5 (n∈N)能被14整除,当n=k+1时对于式子3+5应变形为_______________________。
6. 设k棱柱有f(k)个对角面,则k+1棱柱对角面的个数为f(k+1)=f(k)+_________。
Ⅱ、示范性题组:
例1. 已知数列,得,…,,…。S为其前n项和,求S、S、S、S,推测S公式,并用数学归纳法证明。 (93年全国理)
【解】 计算得S=,S=,S=,S= , 猜测S= (n∈N)
当n=1时,…
【注】 从试验、观察出发,用不完全归纳法作出归纳猜想,再用数学归纳法进行严格证明,这是探索性问题的证法,数列中经常用到。 (试值 → 猜想 → 证明)
【另解】 用裂项相消法求和:
例2. 设a=++…+ (n∈N),证明:n(n+1)n (n>1且n∈N)