应用杠杆原理

应用杠杆原理 中学数学杂志(初中)2006年第1期 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 与解本 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 可先过EF,DK平移, 与GH构成三角形.第一问轻松得证.而第二 问的证明若能用前面的结论,会显得十分简 单. 例4(1999年江苏省竞赛题)图5中, 正方形ABDE,CDFI,EFGH的面积分别为 l7,10,l3,图6中,DPQR为矩形,对照图6, 计算图5中六边形ABCJGH的面积应为 D 图5图6 分析与解由图6可知, S?脚=S啪一S?肿一S?腑一S?脚 = 5.5,由前面结论知S口=S, = SG『F=SB=5.5.所以六边形 ABCJGH的面积应为 l7+l0+l3+4×5.5=62. 例5(2001年江苏 省竞赛题)如图7,已知八 边形ABCDEFGH中4个 正方形的面积分别为25, 144,48,121个平方单位, PR=13(单位),则该八 边形的面积= 平方单位. D 图7 分析与解显然,PR是直角三角形的 斜边.中间四边形的面积为x5×12+1× 11×4=30+22. S?ABP+S?陋R:S?删+S?(0= SM=30+22?3.最后得八边形的面积是 428十66?3面积单位. 应用杠杆原理巧求面积比值 江苏省泰州实验学校225300钱金龙 新课程 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 指出,在数学教学中,要注 意学科之间的渗透,以提高学生综合解决实 际问题的能力.根据这一理念,为充分体现数 理融会贯通,相互结合的精神,本文以两道自 己改编的竞赛题为例,通过精讲精析,介绍中 学物理中的杠杆平衡原理在求几何面积比值 问题中的应用,供中学师生教与学时参考. 1杠杆平衡原理简介 如图1所示,杠杆平衡的基本条件是: Fl:F2=0B:OA,即Fl?OA=F2? 013.亦即:动力×动力臂=阻力×阻力臂,此 时支点0所受的合力F=F.+F!,或:Mlrj = 0,这时合力的方向跟分力相同,各分力对 于以合力作用点为支点的合力矩等于0. F 图l 2竞赛题精讲精析 图2 例1如图2,已知AD是AABC的中 线,E是AD上的一点,且AE=1AD,CE 交AB于点F,求'S删:S(根据2000年 山东省初中数学竞赛题改编) 解(1)观察以D为支点的系统BDC, 一 日 -一 中学数学杂志(初中)2006年第l期39 由于D为BC的中点,故在B,C点各挂1N 重物,则在D点挂2N重物,那么系统BDC 就可以达到平衡状态.: (2)观察以E为支点的系统AED,由于 1 AE=?AD,所以AE:E1)=l:2,故应用杠J 杆平衡原理,得z?AE=2N?E1),所以z= l='n 2N?=2N×2=4N,即A点受力4N.从,1L 而可知E点受力FF=F^+FD=2N+4N = 6N,这时系统AED就能达到平衡状态. (3)观察以E为支点的系统C'EF,由于E 点所受合力为6N,C点所受力为1N,那么F 点所受分力为6N一1N=5N,这时系统C'EF 才可以达到平衡状态. (4)观察系统AFB,由于A点所受分力 为4N,F点所受分力为5N,B点所受分力为 1N,所以5N=4N+IN,即FF=F^+, 因而以F为支点的系统AFB正好处于平衡 状态,于是应用杠杆平衡原理,得AF?4N= BF?1N,故AF:BF=1:4. (5)又因为"等高的三角形面积之比等 于底边之比",所以S?:S?职:=AF:BF = l:4. 例2如图3,过AABC的顶点B的两 条直线分BC边上的中线AD所成的比AE: EF:FD=4:3:1,则这两条直线分AC边 所成的S:S脚:S,为(). (A)4:5:3(B)3:4:2 (C)2:3:I(D)1:l:1 (2003年全国数学奥林匹克竞赛初三训 练题,根据1993年第八届江苏省初中数学竞 赛题改编) 解将图3分割成图4,图5,先看图4. (1)观察以.D为支点的系统BDC,由于 .D为BC的中点,故在B,C两点各挂重物 1N,则在.D点就得挂2N重物,从而系统 BDC就可以达到平衡状态. (2)观察以E为支点的系统AED,由于 AE:ED=4:(3+1)=1,故A点挂2N重 物.E点挂4N重物,那么系统AED就可以 达到平衡状态. 图3 (3)观察以E点为 支点的系统BEG,由于 E点所受合力为4N,B 点所受分力为1N,那么 G点所受分力为4N一 1N=3N,这时系统 BEG就可以达到平衡状 态. 图4 图5 (4)观察系统AGC,由于A点所受分力 为2N,C点所受分力为N,那么若以G点为 支点,则所受合力应为Fc=FA+R=2N +1N=3N,而现在=3N,证明系统 AC,C正好处于平衡状态,于是应用杠杆平衡 原理得,AG?2N=GC?1N,因而AG:GC = l:2. 再看图5,先观察系统BDC,再观察系统 AFD和系统BFH,最后观察系统AHC,同法 可求得AH:HC=7:2,为节省篇幅,仅提 供各受力点的分力及合力的数字,详细解答 请读者自行完成. 至此,我们可以求得:=,;= ;一,再令AG=,C,H=Y,H(=,则可得 方程组: f.5/7一l{_-化简喉 【22 从而视,Y为主元,视为常数(辅助 元),解??得=z,Y=2z,于是AG: GH:HC=:2=吾z:22:2=3: 中学数学杂志(初中)2006年第l期 4:2. (5)又因为"等高的三角形面积之比等 于底边之比",所以S?BAG:S?日GH:S?删= AG:GH:HC=3:4:2,故选答案(B). 应用杠杆平衡原理为什么能解决上述几 何面积比值问题呢?其关键在于: ?我们可将几何图形中的各个交点视 为力点,从而可得到若干同向平行力,再利用 两个同向平行力的合成法则:"合力的大小等 于两分力的和,合力的方向跟分力的方向相 同,合力的作用点在分力作用点的连线上,各 分力点对于以合力作用点为支点的合力矩等 于零.如图1,即:F=F+F2,或:Mo=0 或F.?OA=F2?oB."来求解. ?应用"等高的三角形面积之比等于底 边之比",可将"面积问题转化为线段比问题" 来求解. 此法数理结合,解题明晰,富有规律,不添 或少添辅助线,故有必要引起重视.附练习题: 1.如图6,/XABC中,E,F分别在AB, 11 Ac上,AE:去AB,AF=?AC,延长FE,二叶 交CB的延长线于G,求?EGB和/xAEF的 1一个相似模型 面积比. (2001年第十二届"希望杯"全国数学邀 请赛初二培训题,答案:S?脚:S?AEF=2) 2.如图7,?ABC中,D,E是BC边上的 点,BD:DE:EC=3:2:1,M在AC上, CM:MA:1:2,BM交AD,AE于H,G, 则S?删:S?AHG:S?AGM为(). (A)3:2:1(B)5:3:1 (C)25:12:5(D)51:24:10. (2000年鲁中杯绍兴四市,县初中数学 竞赛联赛题,答案:选(D). 图6图7 参考资料 [1]于志洪.巧用杠杆平衡原理求几何比值问题[J]. 贵州安顺师专学报,2001,(1). [2]于志洪.一类几何问题连比题的解法[J].数理天 地(初中版),1992,(2). [3]于志洪.应用杠杆平衡原理巧解几何比值竞赛 题[J].数学教育,2003,(17). 一 个相似模型的应用 重庆市万州新田中学404027牟方田 口c口c 图l 模型:如图1,/XABC中,AB=AC.D 为BC上一点.以D为项点作EDF,使 EDF=B.并且EDF的一边与AB交 于E点.另一边与AC(或延长线)交于F点. 则有/xBDE??CFD. 证明因为AB=AC,所以B= C. 又因为B=EDF,所以BED+ BDE=BDE+FDC,所以BED= LFDC所以/xBDEc.,oACFD.所以BE= ,1 BDD . 所以雎.CF:BD.CD.?