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极限习题及答案:数学归纳法

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极限习题及答案:数学归纳法数列通项及用归纳法证明不等式 例一、  在1与2间插入n个正数 ,使这n+2个数成等比数列;又在1、2间插入n个正数 ,使这n+2个数成等差数列.记 .求: (1)数列 和 的通项; (2)当 时,比较An与Bn的大小,并证明你的结论. 分析:考查等差数列,等比数列的知识,以及观察、分析、归纳的能力和数学归纳法. 解:(1) 成等比数列, 成等差数列, 所以数列 的通项 ,数列 的通项 (2) 要比较 与 的大小,只需比较 的大小,也就是比较当 时, 与 的大小. ...

极限习题及答案:数学归纳法
数列通项及用归纳法证明不等式 例一、  在1与2间插入n个正数 ,使这n+2个数成等比数列;又在1、2间插入n个正数 ,使这n+2个数成等差数列.记 .求: (1)数列 和 的通项; (2)当 时,比较An与Bn的大小,并证明你的结论. 分析:考查等差数列,等比数列的知识,以及观察、分析、归纳的能力和数学归纳法. 解:(1) 成等比数列, 成等差数列, 所以数列 的通项 ,数列 的通项 (2) 要比较 与 的大小,只需比较 的大小,也就是比较当 时, 与 的大小. 当n=7时, ,知 经验证,n=8,n=9时,均有 成立,猜想,当 时有 下面用数学归纳法证明: (ⅰ)n=7时已证 (ⅱ)假设 时不等式成立,即 ,好么 故 .即 时不等式也成立. 根据(ⅰ)和(ⅱ)当 时, 成立,即 说明:开放题求解要注意观察题目的特点,可以先通过特殊数尝试可能的结果,然后 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 归纳出一般规律,利用归纳法证明结论. 猜想数列通项、利用归纳法证明不等式 例一、 设数列 满足 (1)当 时,求 ,并由此猜想出 的一个通项公式; (2)当 时,证明对所有的 ,有(ⅰ) (ⅱ) 分析:本小题主要考查数列和不等式等知识,考查猜想、归纳、推理以及分析问题和解决问题的能力. 解:(1)由 得 由 得 由 ,得 由此猜想 的一个通项公式: (2)(ⅰ)用数学归纳法证明: ①当 ,不等式成立. ②假设当n=k时不等式成立,即 ,那么, 也就是说,当 时, 根据①和②,对于所有 ,有 (ⅱ)由 及(ⅰ),对 ,有 …… 于是 说明:证明不等式的题型多种多样,所以不等式证明是一个难点,在由n=k成立,推导n=k+1不等式也成立时,过去讲的证明不等式的方法再次都可以使用,如比较法、放缩法、分析法、反证法等,有时还要考证与原不等式的等价的命题. 数列与归纳法的综合题 例一、 设 为常数,且 (Ⅰ)证明对任意 (Ⅱ)假设对任意 有 ,求 的取值范围. 分析:  本小题主要考查数列、等比数列的概念,考查数学归纳法,考考灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力. 证明:(Ⅰ)证法一:(1)当 时,由已知 ,等式成立. (ⅱ)假设当 等式成立,即 那么 也就是说,当 时,等式也成立. 根据(ⅰ)和(ⅱ)可知 证法二:如果设 用 代入,可解出 所以 是公比的-2,首项为 的等比数列. 即 (Ⅱ)解法一:由 通项公式 ① (ⅰ)当 时,①式即为 即为                   ② ②式对 都成立,有 (ⅱ)当 时, 即为                 ③ ③式对 都成立,有 综上,①式对任意 成立,有 故 的取值范围为 解法二:如果 成立,特别取 有 因此  下面证明当 时,对任意 ,有 由 通项公式 ,时 (2)当 时, 故 的取值范围为 判断证明过程的正误 例  试判断下面的证明过程是否正确: 用数学归纳法证明: 证明:(1)当 时,左边=1,右边=1 ∴当 时命题成立. (2)假设当 时命题成立,即 则当 时,需证 由于左端等式是一个以1为首项,公差为3,项数为 的等差数列的前 项和,其和为 ∴ 式成立,即 时,命题成立.根据(1)(2)可知,对一切 ,命题成立. 分析:看一个用数学归纳法证明数学问题是否正确.关键要看两个步骤是否齐全,特别是第二步归纳假设是否被应用,如果没有用到归纳假设,那就是不正确的. 解:  以上用数学归纳法证明的过程是错误的. 在证明当 时等式成立时,没有用到当 时命题成立的归纳假设,故不符合数学归纳法证题的要求. 第二步正确的证明方法是: 假设当 时命题成立,即 则当 时, 即当 时,命题成立. 说明:用数学归纳法证题的两个步骤相辅相成缺一不可.尽管有些与正整数有关的命题用其它方法也可以解决,但题目若要求用数学归纳法证明,则必须严格按照数学归纳法的步骤进行,否则是不正确的. 用数学归纳法证明等式 例  用数学归纳法证明 分析:用数学归纳法证明一个与整数有关的命题,关键是第二步,要注意当 时,等式两边的式子与 时等式两边的式子的联系,增加了哪些项,减少了哪些项,问题就会顺利解决. 证明:(1)当 时,左边 ,右边 ,赞美式成立. (2)假设当 时,等式成立,即 则当 时, 即当 时,等式成立. 根据(1)、(2)可知,对一切 ,等式成立. 说明:解题过程中容易将 时,等式右边错写为 ,从而导致证明错误或无法进行.特别要注意等式右边的每一个式子都在随 的变化而变化. 利用数学归纳法证明正切等式 例  用数学归纳法证明 分析:在由假设 时等式成立,推导当 时等式成立时,要灵活应用三角公式及其变形公式,本题中涉及到两个角的正切的乘积问题,联想到两角差的正切公式的变形公式: ,问题就会迎刃而解. 证明:(1)当 时,左边 右边 ,等式成立. (2)假设当 时, 等式成立,即 则当 时, 由 得 代入 式,得 右边 即 这就是说,当 时等式成立. 根据(1)、(2)可知,对任意 ,等式成立. 说明:灵活应用三角公式是解决三角问题常用的方法和技巧,恰当的应用公式是关键.如果应用公式 来变形,本题就会出现困难.解决有关 的式子时,经常要用到 展开式及其变形公式. 利用归纳法证明整除问题 例  用数学归纳法证明: 能被9整除. . 分析:证明一个与 有关的式子 能被一个数 (或一个代数式 )整除,主要是找到 与 的关系,设法找到式子 ,使得 ,就可证昨命题成立. 证明:(1)当 时, ,能被9整除,命题成立. (2)假设当 时, 能被9整除,当 时, 和 都能被9整除. 都能被9整除. 即 能被9整除. 即当 时,命题成立. 由(1)、(2)可知,对任何 命题都成立. 说明:如果将 时, 变为 能被9整除,困难就大一些.本题也可用二项式定理把 写成 展开后,再证明. 用归纳法证明直线分割平面问题 例   平面内有 条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明这 条直线把平面分成 个部分. 分析:用数学归纳法证明几何问题,主要搞清楚当 时比当 时,分点增加了多少个,区城增加了多少块,线段增加了多少条.本问题中第 条直线与前 条直线有 个分点,平面区域增加了 块. 证明:(1)当 时,平面被分成2部分. 又 ,命题成立. (2)假设当 时命题成立.即符合条件的 条直线把平面分成 个部分.现在来考虑平面内有 条直线的情况.任取其中的一条直线,记为 (如下图)图 与其它 条直线有 个交点,平面区域增加了 块,从而这 条直线把平面分成了 根据(1)、(2)可知,命题对任何正整数都成立. 说明:不能错误地认为第 条直线被其它 条直线分成 段,区域增加了 部分或2 部分. 证明有关几何问题,哪 边形内角和公式, 边形对角线条数公式,还要确定初始值 应为多少.由 到 时又是如何变化的. 猜想并证明数列的通项 例   对于数列 ,若 (1)求 ,并猜想 的 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式; (2)用数学归纳法证明你的猜想. 分析:由已知条件,可直接求出 式,通过观察归纳,猜想出 的表达式,再用数学归纳法加以证明. 解:(1) 同理可得 猜想 (2)(ⅰ)当 时,右边 ,等式成立. (ⅱ)假设当 时 ,等式成立,即 ,则当 时, 这就是说,当 时,等式也成立. 根据(ⅰ)、(ⅱ)可知,对于一切 , 成立. 说明:这类题型是常见题型,尤其是用数学归纳法证明与递推关系有关系的命题时,依归纳假设证明当 时命题也成立时,除了用上假设之外,一定还得用上递推关系,否则假设也没法用.这是用数学归纳法证明递推关系时值得注意的地方.
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