惠州市2017届高三第一次调研考试
数 学（文科）
注意事项：
1． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2． 回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。
3． 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求
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的。
(1) 已知
，则
( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(2) 若复数
满足
，则
( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(3) 若
，则
( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(4) 函数
( )
(A) 是偶函数 (B) 是奇函数
(C) 不具有奇偶性 (D) 奇偶性与
有关
(5) 若向量
和向量
平行，则
( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(6) 等比数列
的各项为正数，且
则
( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(7) 命题“任意
”为真命题的一个充分不必要条件是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(8) 已知
，则
的最小值是( )
(A) 1 (B) 16 (C) 8 (D) 4
(9) 执行如图所示的程序框图，则输出
的值为( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(10) 某几何体的三视图如右图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的
表
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面积为( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(11) 已知三棱锥
的底面是以
为斜边的等腰直角三角形，
，则三棱锥的外接球的球心到平面
的距离是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(12) 双曲线
：
的实轴的两个端点为
，点
为双曲线
上除
外的一个动点，若动点
满足
，则动点
的轨迹为( )
(A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
(13) 给出下列不等式：
…………
则按此规律可猜想第
个不等式为 ．
(14) 设
是定义在
上的周期为3的函数，右图表示该函数在区间
上的图像，则
．
(15) 已知
，点
的坐标为
，当
时，点
满足
的概率为 ．
(16) 设
，若直线
与
轴相交于点
，与
轴相交于点
，且
与圆
相交所得弦的长为2，
为坐标原点，则
面积的最小值为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
(17) （本小题满分12分）
已知函数
的部分图像如图所示．
(Ⅰ) 求函数
的解析式，并写出
的单调减区间；
(Ⅱ)已知
的内角分别是
为锐角，且
，求
的值．
(18) （本小题满分12分）
为了迎接第二届国际互联网大会，组委会对报名参加服务的1500名志愿者进行互联网知识测试，从这1500名志愿者中采用随机抽样的方法抽取15人，所得成绩如下：57，63，65，68，72，77，78，78，79，80，83，85，88，90，95.
(Ⅰ) 作出抽取的15人的测试成绩的茎叶图，以频率为概率，估计这1500志愿者中成绩不低于90分的人数；
(Ⅱ)从抽取的成绩不低于80分的志愿者中，随机选3名参加某项活动，求选取的3人中恰有一人成绩不低于90分的概率．
(19) （本小题满分12分）
如图，在三棱柱
中，
平面
为正三角形，
为
的中点．
(Ⅰ) 求证：平面
平面
(Ⅱ) 求三棱锥
的体积．
(20) （本小题满分12分）
已知椭圆
上的点到两个焦点的距离之和为
，短轴长为
，直线
与椭圆
交于
两点。
(Ⅰ) 求椭圆
的方程；
(Ⅱ) 若直线
与圆
相切，证明：
为定值．
(21) （本小题满分12分）
已知函数
(Ⅰ) 讨论函数
的单调性；
(Ⅱ) 若函数
有两个零点，求实数
的取值范围．
请考生在第22、23、24题中任选一题做答。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。
(22) （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，
是⊙
的直径，弦
与
垂直，并与
相交于点
，点
为弦
上异于点
的任意一点，连接
并延长交⊙
于点
(Ⅰ) 求证：
四点共圆；
(Ⅱ) 求证：
(23) （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系
中，直线
经过点
，其倾斜角为
，以原点
为极点，以
轴非负半轴为极轴，与直角坐标系
取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线
的极坐标方程为
(Ⅰ) 若直线
与曲线
有公共点，求
的取值范围；
(Ⅱ) 设
为曲线
上任意一点，求
的取值范围．
(24) （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设函数
(Ⅰ) 若
的解集为
，求实数
的值；
(Ⅱ) 当
时，若存在
，使得不等式
成立，求实数
的取值范围．
题号
模 块
知识点
分值
1
集合
集合，对数的运算
5
2
复数
复数的概念、运算
5
3
三角函数
三角函数运算
5
4
函数
函数的奇偶性
5
5
平面向量
向量运算
5
6
数列
等比数列
5
7
逻辑
充分条件
5
8
不等式
线性规划
5
9
程序框图
程序框图
5
10
立体几何
三视图、表面积
5
11
立体几何
球
5
12
圆锥曲线
轨迹方程
5
13
推理
归纳推理
5
14
函数
函数周期性
5
15
几何概型
线性规划，几何概型
5
16
直线与圆
弦长，面积
5
17
三角函数
三角函数图像与性质
12
18
概率统计
概率统计，古典概型
12
19
立体几何
空间中的线面关系、体积
12
20
圆锥曲线
求椭圆方程、直线与圆锥曲线相交
12
21
函数导数
单调性、极值、函数零点
12
22
几何证明选讲
切割线定理、三角形相似
10
23
坐标系与参数方程
坐标互化、直线的参数方程
24
不等式选讲
绝对值不等式
数学
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（文科）参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
A
B
C
B
C
C
A
C
A
C
1.【解析】
.所以
，故选C.
2.【解析】
，故选C.
3.【解析】
，故选A.
4.【解析】函数的定义域为
关于原点对称，
，故函数
是奇函数，故选B.
5. 【解析】依题意得，
，得x＝－3，又
,所以
，故选C.
6.【解析】
，
.
7.【解析】原命题等价于“
对于任意
恒成立”，得
，故选C.
8.【解析】如图，作出可行域（阴影部分），画出初始直线
，平行移动
，可知经过点
时，
取得最小值3，
，故选C.
9.【解析】
以4为周期，所以
，故选A.
10. 【解析】几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，三棱柱的底面积为：
，侧面积为：
；圆柱的底面半径是1，高是3，其底面积为：
，侧面积为：
；∴组合体的表面积是
,故选C．
11. 【解析】由题意
在平面
内的射影为
的中点
，
平面
，
，
，在面
内作
的垂直平分线
，则
为
的外接球球心．
，
，
，
，即为
到平面
的距离，故选A．
12．【解析】设
,实轴的两个顶点
，
，∵QA⊥PA，∴（-x-a）（-m-a）+ny=0，可得
同理根据QB⊥PB，可得
，两式相乘可得
，∵点P（m，n）为双曲线M上除A、B外的一个动点，
整理得
，
，故选C．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13.
14. 2. 15.
16.3
13. 【解析】观察不等式左边最后一项的分母3,7,15，…，通项为
，不等式右边为首项为1，公差为
的等差数列，故猜想第n个不等式为
答案：
14. 【解析】由于f(x)是定义在R上的周期为3的函数，所以f(2 015)＋f(2 016)＝f(672×3-1)＋f(672×3+0)＝f(-1)＋f(0)，而由图像可知f(-1)＝2，f(0)＝0，所以f(2 015)＋f(2 016)＝2＋0＝2.
15. 【解析】如图，点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)，满足
的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界),∴所求的概率
.
16. 【解析】由直线与圆相交所得弦长为2，知圆心到直线的距离为
，即
所以
，所以
，又
，所以
的面积为
，最小值为3.
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. 解：（Ⅰ）由周期
得
所以
………………2分
当
时，
，可得
因为
所以
故
………4分
由图像可得
的单调递减区间为
……………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
, 即
,又
为锐角,∴
.…………8分
，
. ……………9分
…………10分
. …………12分
18.
解：（Ⅰ）抽取的15人的成绩茎叶图如图所示， …………3分
由样本得成绩在90以上频率为
，故志愿者测试成绩在90分以上（包含90分）的人数约为
=200人. …………5分
（Ⅱ）设抽取的15人中，成绩在80分以上（包含80分）志愿者为
,
,
,
,
,
,其中
，
的成绩在90分以上（含90分）， …………6分
成绩在80分以上（包含80分）志愿者中随机选3名志愿者的不同选法有：{
，
，
}，{
，
，
}，{
，
，
}，{
，
，
}，{
，
，
}，{
，
，
}，{
，
，
}，{
，
，
}，{
，
，
}，{
，
，
}，{
,
,
},{
,
,
},{
,
,
}，{
，
，
}，{
，
，
}，{
，
，
}，{
，
，
}，{
，
，
}，{
，
，
},{
，
，
}共20种，………8分
其中选取的3人中恰有一人成绩在90分以上的不同取法有：{
，
，
}，{
，
，
}，{
，
，
}，{
，
，
}，{
，
，
}，{
，
，
}，{
,
,
},{
,
,
}，{
，
，
}，{
，
，
}，{
，
，
}，{
，
，
}共12种， …………10分
∴选取的3人中恰有一人成绩在90分以上的概率为
=
. …………12分
19．解：（Ⅰ）证明：因为
底面
，所以
……………2分
因为底面
正三角形，
是
的中点,所以
……………4分
因为
，所以
平面
………………5分
因为平面
平面
,所以平面
平面
…………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
中，
，
所以
………………………………9分
所以
………………………12分
20.解：（Ⅰ）由题意得
…………4分
（Ⅱ）当直线
轴时，因为直线与圆相切，所以直线
方程为
。 …………5分
当
时，得M、N两点坐标分别为
，
………6分
当
时，同理
； …………7分
当
与
轴不垂直时，
设
，由
,
, ………8分
联立
得
…………9分
，
， …………10分
=
………… 11分
综上，
（定值） ………… 12分
21. 解：（Ⅰ）
……………1分
1 当
上单调递减； ………………2分
2 当
.………… 3分
.…………4分
…………5分
综上：当
上单调递减；
当a>0时，
…………6分
（Ⅱ）当
由（Ⅰ）得
上单调递减，函数
不可能有两个零点；………7分
当a>0时，由（Ⅰ）得，
且当x趋近于0和正无穷大时，
都趋近于正无穷大，………8分
故若要使函数
有两个零点，则
的极小值
，………………10分
即
，解得
,
综上所述，
的取值范围是
…………………12分
22.解：（Ⅰ）证明:连接
，则
，……………2分
又
则
，……………4分
即
，则
四点共圆．……………5分
（Ⅱ）由直角三角形的射影定理可知
……………6分
相似可知：
，
,
……………8分
……………10分
23.解：（Ⅰ）将C的极坐标方程
化为直角坐标为
…1分
直线
的参数方程为
……………2分
将直线的参数方程代入曲线C的方程整理得
………3分
直线与曲线有公共点，
,得
的取值范围为
.……………5分
（Ⅱ）曲线的方程
，
其参数方程为
……………7分
为曲线C上任意一点，
.……9分
的取值范围是
……………10分
24.解：（Ⅰ）显然
，……………1分
当
时，解集为
，
，无解；……………3分
当
时，解集为
，令
，
，
综上所述，
.……………5分
（Ⅱ）当
时，令
…………7分
由此可知，
在
单调减，在
和
单调增，
则当
时，
取到最小值
， ……………8分
由题意知，
，则实数
的取值范围是
……………10分
浙公网安备 33021202002483