2013年广东高考文科数学试题及答案(word)版

2013年广东高考文科数学试 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 及答案(word)版 绝密?启用前 试卷类型:A 2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(文科) 本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟 注意事项: 1.答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号 填写在答题卡上。用2B铅笔讲试卷类型(A)填涂在答题卡相应的位置上。将条形码横贴在 答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域 B({0,2} C({,2,0} D({,2,0,2} 2(函数f(x) 2213Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。 lg(x,1) x,1的定义域是 A((,1,, ) B([,1,, ) C((,1,1) (1,, ) D([,1,1) (1,, ) x,y R，则复数x,yi的模是 3(若i(x,yi) 3,4i， A(2 B(3 C(4 D(5 4 (已知sin( A(, 1 5 2, ) 15，那么cos 25 B(,15 C(15 D(25 5(执行如图1所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是 A(1 B(2 C(4 D(7 正视图 俯视图 图 1 6(某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是 A(侧视图图 2 1 6 B(13 C( 2223 D(1 7(垂直于直线y x,1且与圆x ,y 1相切于第一象限的直线方程是 A(x,y, 0 B(x,y,1 0 C(x,y,1 0 D(x,y, 0 8(设l为直线， , 是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A(若l// ，l// ，则 // B(若l ，l ，则 // C(若l ，l// ，则 // D(若 ，l// ，则l 9(已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于1，则C的方程是 2 x2y2x2y2x2y2x2y2 , 1 C(, 1 B(, 1 D(, 1 A(4344243 10(设a是已知的平面向量且a 0，关于向量a的分解，有如下四个命题: ?给定向量b，总存在向量c，使a b,c; ?给定向量b和c，总存在实数 和 ，使a b, c; ?给定单位向量b和正数 ，总存在单位向量c和实数 ，使a b, c; ?给定正数 和 ，总存在单位向量b和单位向量c，使a b, c; 上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A(1 B(2 C(3 D(4 2 二、填空题:本大题共5小题(考生作答4小题(每小题5分，满分20分( (一)必做题(11,13题) 11(设数列{an}是首项为1，公比为,2的等比数列，则a1,|a2|,a3,|a4| 12(若曲线y ax,lnx 在点(1,a)处的切线平行于x轴，则a ( 2 x,y,3 0 13(已知变量x,y满足约束条件 ,1 x 1，则z x,y的最大值是 y 1 (二)选做题(14、15题，考生只能从中选做一题) ( 14((坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的极坐标方程为 2cos (以极点为原点， 极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为 ( 15((几何 证明选讲选做题)如图3，在矩形ABCD 中，AB 图 3 BC 3，BE AC，垂足为E，则ED 三、解答题:本大题共6小题，满分80分(解答须写出文字说明、证明过程和演算步 骤( 16((本小题满分12分) 已知函数f(x) x, ,x R( 12 (1) 求f 3 的值; 3 , ,2 5 23 (2) 若cos ，求f , 6 ( 17((本小题满分13分) 从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位:克)的频数分布表如下: (1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率; (2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85) 的有几个, (3) 在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率( 3 18((本小题满分13分) 如图4，在边长为1的等边三角形ABC中，D,E分别是AB,AC边上的点，AD AE，F是BC的中 点，AF与DE交于点G，将 ABF沿AF折起，得到如图5所示的三棱锥A,BCF，其中BC ( (1) 证明:DE//平面BCF; (2) 证明:CF 平面ABF; (3) 当AD 19((本小题满分14分) 图 4 2 , 23 时，求三棱锥F,DEG的体积VF,DEG 设各项均为正数的数列 an 的前n项和为Sn，满足4Sn an,1,4n,1,n N,且a2,a5,a14 构成等比数列( (1) 证明:a2 (2) 求数列 an 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数n，有20((本小题满分14分) 已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F,0,c,,c 0,到直线 l:x,y,2 0的距离为上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA,PB，其中A,B为切点( (1) 求 抛物线C的方程; (2) 当点P,x0,y0,为直线l上的定点时，求直线AB的方程; (3) 当点P在直线l上移动时， 求AF BF的最小值( 21((本小题满分14分) 设函数f(x) x,kx,x ,k R,( 3 2 1a1a2 , 1a2a3 , , 1anan,1 12 ( 2 (设P为直线l (1) 当k 1时,求函数f(x)的单调区间; (2) 当k 0时,求函数f(x)在 k,,k 上的最小值m和最大值M( 4 2013年广东高考文科数学A卷参考答案 二、填空题 11. 15 12. 12 13.5 14. x 1,cos y sin ( 为参数) 15. 2 三、解答题 16. 解:(1)f 3 3 , 312 1 4 (2) cos 3 , ,2 52 4 ，， sin , 5 1 f , , cos cos,sin sin ,( 6 4 44 5 17. 解:1)苹果的重量在[90,95)的频率为(2)重量在[80,85)的有4 2050 =0.4; 55+15 =1个; (3)设这4个苹果中[80,85)分段的为1， 95,100,分段的为2、3、4，从中任取两个，可 能的情况有: (1，2)(1，3)(1，4)(2，3)(2，4)(3，4 )共6种;设任取2个，重量在[80,85)和 95,100,中各有1个的事件为A，则事件A包含 有(1，2)(1，3)(1，4)共3种，所以P(A) 18. 解:(1)在等边三角形ABC中，AD AE 36 12 . ADDB AEEC ,在折叠后的三棱锥A,BCF中也成立， DE//BC , DE 平面BCF， BC 平面BCF， DE//平面BCF; (2)在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF BC?，BF CF 12 . 在三棱锥A,BCF中，BC 2 ， BC2 BF2,CF2 CF BF? BF CF F CF 平面ABF; 5 (3)由(1)可知GE//CF，结合(2)可得GE 平面 DFG. VF,DEG VE,DFG 11111 11 DG FG GF 32323 32 3324 22 19. 解:(1)当n 1时，4a1 a2,5,a2 4a1, 5， an 0 a2 22 (2)当n 2时，4Sn,1 an,4,n,1,,1，4an 4Sn,4Sn,1 an,1,an,4 2 22an,1 an,4an,4 ,an,2,, an 0 an,1 an,2 2 当n 2时， an 是公差d 2的等差数列. 2 a2 a14，,a2,8, a2 ,a2,24,，解得a2 3, a2,a5,a14构成等比数列， a5 2 2 由(1)可知，4a1 a2,5=4, a1 1 a2,a1 3,1 2 an 是首项a1 1,公差d 2的等差数列. 数列 an 的通项公式为an 2n,1. (3) 1a1a2 , 1a2a3 , , 1anan,1 11 3 , 13 5 , 15 7 , , 1 ,2n,1,,2n,1, 1 1 11 11 11 1, , , , , , , 2 3 35 57 2n,12n,1 1 1 1 1, .2 2n,1 2 20. 解:(1 )依题意d 2 ，解得c 1(负根舍去) 抛物线C的方程为x2 4y; (2)设点A(x1,y1),B(x2,y2)，P(x0,y0)， 由x 2 4y,即y 14 x2,得y 12 x. x12 ?抛物线C在点A处的切线PA的方程为y,y1 (x,x1)， 即y x12 x,y1, 12 x12. 6 ?y1 14 x12， ?y x12 x,y1 . x12 ?点P(x0,y0)在切线l1上, ?y0 x0,y1. ? 同理， y0 x22 x0,y2. ? 综合?、?得，点A(x1,y1),B(x2,y2)的坐标都满足方程 y0 ?经过A(x1,y1),B(x2,y2)两点 的直线是唯一的， ?直线AB 的方程为y0 x2 x0,y. x2 x0,y，即x0x,2y,2y0 0; (3)由抛物线的定义可知AF y1,1,BF y2,1， 所以AF BF ,y1,1,,y2,1, y1,y2,y1y2,1 x2 4y2 y,y02 0， 联立 ，消去x得y2,,2y0,x0, x0x,2y,2y0 0 22 y1,y2 x0,2y0,y1y2 y0 x0,y0,2 0 222 AF BF y0,2y0,x0,1=y0,2y0,,y0,2,,1 2 1 9 2=2y0,2y0+5=2 y0, + 2 2 2 19 当y0 ,时，AF BF取得最小值为 22 21. 解:f „ ,x, 3x2,2kx,1 „ (1)当k 1时f ,x, 3x2,2x,1, 4,12 ,8 0 f?,x, 0,f,x,在R上单调递增. (2)当k 0时，f „ ,x, 3x 2 ,2kx,1，其开口向上，对称轴x k3 ， 1, 且过,0， (i )当 4k,12 4k,递增， 2 , k, 0，即 k 0时，f?,x, 0，f,x,在 k,,k 上单调 7 从而当x k时，f,x, 取得最小值m f,k, k , 当x ,k时，f,x, 取得最大值M f,,k, ,k,k,k ,2k,k. 333 (ii )当 4k,12 4k,2, k, 0，即k ?2f,x, 3x,2kx,1 0 解得:x1 k,3k,,注意到k x2 x1 0, x2 3 (注:可用韦达定理判断x1 x2 13，x1,x2 2k3 k,从而k x2 x1 0;或者由对称结合 图像判断) m min f,k,,f,x1, ,M max f,,k,,f,x2, f,x1,,f,k, x13,kx12,x1,k ,x1,k,,x12,1, 0 f,x,的最小值m f,k, k, 32 f,x2,,f,,k, x2,kx2,x2,,,k3,k k2,k,=,x2,k,[,x2,k,,k2,1] 0 2 f,x,的最大值M f,,k, ,2k3,k 综上所述，当k 0时，f,x,的最小值m f,k, k,最大值M f,,k, ,2k,k 3 解法2(2)当k 0时，对,x k,,k ，都有 f(x),f(k) x3,kx2,x,k3,k3,k (x2,1)(x,k) 0，故f,x, f,k, f(x),f(,k) x3,kx2,x,k3,k3,k (x,k)(x2,2kx,2k2,1) (x,k)[(x,k)2,k2,1] 0故f,x, f,,k,，而 f(k) k 0， f(,k) ,2k3,k 0 所以 f(x)max f(,k) ,2k,k，f(x)min f(k) k 3 8