§2 向量的线性相关性

§2 向量的线性相关性 辽 东 学 院 教 案 纸 第3.2.1页 ?2 向量的线性相关性 教学目的 通过2学时教学，使学生基本掌握向量组线性相关与线性无关的定义、性质、判别，基本掌握替换定理及其应用，以及线性无关极大组、向量组等价、秩等概念( 教学内容 23向量的共线、共面与否系几何空间R、R中向量间的基本关系(它们在一般空间中的反映就是本节要阐述的向量的线性相关性( 2.1 线性相关与线性无关的概念 n定义1 设(若存在不全为零的数 k,k,,,,,？,,,F1212t ，使得 ？,k,Ft , k,，k,，？，k,,,1122tt 则称线性相关;否则，称线性无关( ,,,,？,,,,,,？,,12t12t2设 R，若与共线，则线性相关;否则，则,,,,,,,,,2121213线性无关(又设R，若共线或共面，则,,,,,,,,,,,,,,12123123 线性相关;否则，则线性无关( ,,,,,,,,,,123123n,,,,,,设，若，则线性无关;若，则线性相关(,,F,, n请注意，设，则 ,,,,？,,,F12t ( 0,，0,，？，0,,,12t 此时，切不能说线性无关(但是，若向量方程 ,,,,？,,12t x,，x,，？，x,,,1122tt 只有零解，即其解只为，则线性无关(x,x,？,x,0,,,,？,,12t12t 我们来考察线性相关与线性无关的一些基本事实(首先，由定义1易见 命题3.2.1 设数域F上的n维向量 aaa,,,,,,111t12,,,,,,aaa221t22,,,,,,,,,,,,, , … , , (1) 1t2？？？,,,,,,,,,,,,aaan1ntn2,,,,,, n，tA,(a),F记，则线性相关(线性无关)，当且仅当齐,,,,？,,12tijnt 次线性方程组AX = 0有非零解(只有零解)，即N(A)?0(N(A)=0)( nn,,？,命题3.2.2 设线性相关,,则 ,,？,,,F,,？,,,F11，1，ttts 辽 东 学 院 教 案 纸 第3.2.2页 也线性相关( ,,,,？,,tt，1t，s 证 此时，有不全为零的，使得 k,k,？,k,F12t ( k,，k,，？，k,,,1122tt 从而有 , k,，？，k,，0,，？，0,,,11ttt，1t，s故线性相关( ,,？,,,,,？,,1tt，1t，s 由命题3.2.2得到 n命题3.2.2, 设线性无关，则也线性无关，,,,？,,,,？,,,Fii1m1t这里是{1,…,m}中的t个不同元素( i,？,i1ts，t注意到若AX= 0有非零解，由A的s个行组成，则BX= 0B,F 也有非零解(于是，由定义1、命题3.2.1得到 n命题3.2.3 设，删去的同位置的n,s个分,,？,,,,？,,,F1t1ts量得到(若线性相关，则也线性相,,？,,,F,,？,,,,？,,11t1tt 关( sn命题3.2.3, 设，，且 ,,？,,,F,,？,,,F11tt,,,,,,,,,t12,,,,,,,,…,( ,,,,,,1t2,,,12t,,,,,,若线性无关，则也线性无关( ,,？,,,,？,,1t1t 考虑线性相关性与线性 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示的关系，我们有 nn命题3.2.4 设线性无关，，且线,,F,,？,,,,,,？,,,F1t1t 性相关，则可以由线性表示，且表达式是唯一的( ,,,？,,1t 证 由线性相关知道有不全为零的, 使得k,？,k,k,F,,？,,,,1t1t , k,，k,，？，k,，k,,,1122tt k,0且由线性无关知道(于是 ,,？,,1t kkkt12( ,,,,,,,？,,12tkkk ,设是由线性表示的任一表达式，其中,,c,，？，c,,,？,,11tt1t ，则 c,？,c,F1t kkt1(c)(c)( ，,，？，，,,,11ttkk kkii因为线性无关，所以，故，,,？,,cc，,0,i,1,？,t,,1tiikk i,1,？,t(唯一性也成立( nt,2命题3.2.5 设，则线性相关的充分且必要条件是,,？,,,F1t 这些向量中必有一个向量可以由其余向量线性表示( 辽 东 学 院 教 案 纸 第3.2.3页 证 必要性 此时，有不全为零的，使得 k,？,k,F1t ( k,，？k,，k,,,11t,1,t,1tt 不妨设,则如命题3.2.4的证明知道可以由线性表示.k,0,,,？,,tt1t,1 充分性 不妨设 , ,,k,，？，k,122tt 则，其中(因此，线性相k,,1,0,,？,,k,，k,，？，k,,,11t1122tt 关( n推论3.2.1 设，则线性相关，当且仅当它们的,,,,,,,F1212 分量对应成比例( 用矩阵秩的语言刻画向量的线性相关性，我们有 n，tn定理3.2.1 设如(1)所示，，则A,(a),F,,？,,,Fijnt1t 线性相关的充分且必要条件是rankA,t( ,,？,,1t 证 当t=1时，易见定理正确( 设t,1(若线性相关(当n,t时，则rankA,t，当n?t,,？,,1t 时，任取A的一个t阶子式 ？iii,,12tA, ,,12？t,, 必有一列是其余各列的线性组合，因而经过列的消法变换，此列可化 ？iii,,12tA,0为零列(于是(因此，rankA,t( ,,？12t,, 若rankA=r,t，则由推论2.6.2知道有可逆矩阵P，Q，使得 I0,,rAPQ,( ,,00,, 0,,,1X,Q,0于是是AX=0的一个非零解，从而由命题3.2.1知道 ,,1,, 线性相关( ,,？,,1t 推论3.2.2 设如定理3.2.1所述，则线性无关,,？,,,A,,？,,1t1t的充分且必要条件是rankA = t( 例1 易见 120,,,,011,3rank( ,,101,,110,, 所以,,(1,0,1,1),,,(2,1,0,1),,,(0,1,1,0)线性无关( 123 我们已经看到秩的作用(进而阐述 辽 东 学 院 教 案 纸 第3.2.4页 2.2 替换定理 n定理3.2.2 (替换定理) 在中，设向量组, F{,,,,？,,}12mL()(若线性无关，则m?t，并且适当调换向,,,,？,,,,,,？,,12t12m 量顺序，使得向量组 (2) ,,,？,,,,,？,,1mm，1t 与等价 ,,,,？,,12t 证 对中向量个数m用数学归纳法证明( {,,,,？,,}12m 当m = 1时，由于线性无关，则，1?t(又 ,,k,，,,,,11111 (于是，不全为零，不妨设，则 k,0？，k,k,？,ktt11t kk1t2,,,,,,？,,( 112tkkk11 因此，与等价，即m = 1时替换定理正确(,,,,？,,,,,,？,,12t12t 设m,1，且假设对于m,1情形替换定理成立;那么对于m，由 线性无关知道线性无关(于是，由归纳假,,,,？,,,,,,？,,12m12m,1 设知道m,1?t，且适当调换向量顺序，有向量组 (3) ,,,？,,,,,？,,1m,1mt 与等价(又(从而由线性表示的传递性,,,,,？,,,L(,,,,？,,)m12t12t 知道可以由(3)线性表示，设 ,m ( (4) ,,c,，？，c,，c,，？，c,m11m,1m,1mmtt由于线性无关，则由(4)知道m,1,t，从而m?t;并且,,,？,,,,1m,1m 不全为零，不妨设，则有 c,？,cc,0mtm cccc1m,1m，1t1,,,,,？,,，,,,,？,,( m1m,1mm，1tcccccmmmmm因此，(2)与(3)等价(从而由等价的传递性知道与(2)等价(故,,,,？,,12t替换定理成立( nF推论3.2.3 在中，若向量，且,L(,,,,,,,,？,,？,,)1212mtm,t，则线性相关( ,,,,？,,12mn,,,F注意到都可以由线性表示，则得 e,e,？,e12nnF推论3.2.4 中的任意n + 1个向量必线性相关( 由定理3.2.2还易见 nF推论3.2.5 中任意两个等价的线性无关向量组所含向量的个数相同( 由此，我们来阐述向量组秩的概念，先引进 n0,T,F{,,？,,},T定义2 设,,且满足 1t 辽 东 学 院 教 案 纸 第3.2.5页 1)线性无关; ,,？,,1t 2)T中的每一个向量都可以由线性表示， ,,？,,1t 则称向量组是向量组T的一个极大线性无关向量组( {,,？,,}1t 在定义2中，若T有极大无关组，则由替换定理知道它的极大线性无关组未必唯一，但由推论3.2.5知道T的极大线性无关组所含向量的个数相同(因此，引入 n0,T,F定义3 设，则称T的一个极大线性无关组所含向量的个数为向量组T的秩，记作rankT( T,0若，约定rankT=0( 由定义3与推论3.2.5立得 n推论3.2.6 设是中的两个等价向量组,则rankT=rankT. FT,T1212 课外作业: P120,121:2、1);3;5;8( 辽 东 学 院 教 案 纸 第3.2.6页 辽 东 学 院 教 案 纸 第3.2.7页