2017年高考数学基础突破——导数与积分：9.函数的图象与性质的综合应用

2017年高考数学基础突破——集合与函数 9．函数的图象与性质的综合应用（学生版，后附教师版） 【知识梳理】 1.利用描点法作函数图象 其基本步骤是列 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 、描点、连线. 首先：(1)确定函数的定义域，(2)化简函数解析式，(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等). 其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线. 2.函数图象间的变换 (1)平移变换 对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减. (2)对称变换 (3)伸缩变换 【基础考点突破】 考点1. 作函数的图像 　 【例1】作出下列函数的图像： (1)y＝ ；            (2)y＝（ ）|x＋1|；          (3)y＝|log2x－1|. 【 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 反思】为了正确作出函数的图像，除了掌握“列表、描点、连线”的方法外，还要做到以下两点： (1)熟练掌握几种基本函数的图像，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数以及形如y＝x＋ 的函数； (2)掌握常用的图像变换方法，如平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等． 变式训练1.分别作出下列函数的图像：(1)y＝2x＋2；(2)y＝ln(1－x)． 考点2.图象识别 【例2 】(1)若函数f(x)＝ 则函数y＝f(x＋1)的大致图像是(  ) (2)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是(  ) 【归纳总结】识图常用的方法如下． (1)定性 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 法：通过对问题进行定性分析，结合函数的单调性、对称性等解决问题． (2)定量计算法：通过定量(如特殊点、特殊值)的计算，来分析解决问题． (3)函数模型法：由所提供的图像特征，结合实际问题的含义以及相关函数模型分析解决问题． 变式训练2. (1) 函数y＝xsin x在区间[－π，π]上的大致图像是(  ) (2)[2013·四川卷] 函数y＝ 的图像大致是(  ) 【归纳总结】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项. 考点3.函数图像的应用   命题点1.确定方程根的个数   【例3】已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈ [－1，1]时，f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lg x|的图象的交点共有(  ) A.10个        B.9个    C.8个          D.7个 【归纳总结】当某些方程求解很复杂时，可以考虑利用函数的图象判断解的个数，即将方程解的个数问题转化为两个函数图象的交点问题，对应图象有几个交点，则方程有几个解. 变式训练3.已知f(x)＝ 则方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解的个数是________． 命题点2.求参数的取值范围   【例4】已知a>0，且a≠1，f(x)＝x2－ax，当x∈(－1，1)时，恒有f(x)< ，则实数a的取值范围是________． 命题点3.求不等式的解集   【例5】已知函数y＝f(x)的图像是圆x2＋y2＝2上的两段弧， 如图所示，则不等式f(x)>f(－x)－2x的解集是________． 【基础练习】 1.(2016·广州一调)把函数y＝(x－2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数解析式是(  ) A.y＝(x－3)2＋3      B.y＝(x－3)2＋1       C.y＝(x－1)2＋3          D.y＝(x－1)2＋1 2.函数y＝1－ 的图象是(  ) 3.使log2(－x)＜x＋1成立的x的取值范围是(  ) A.(－1，0)      B.[－1，0)      C.(－2，0)      D.[－2，0) 4.函数y＝xsin x在[－π，π]上的图象是(  ) 5.(2015·安徽卷)函数f(x)＝ 的图象如图所示，则下列结论成立的是(  ) A.a>0，b>0，c<0    B.a<0，b>0，c>0    C.a<0，b>0，c<0        D.a<0，b<0，c<0 6.点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是(  ) 7.(2014·新课标全国Ⅰ卷)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图象大致为(  ) 8.设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a＝(  ) A.－1      B.1      C.2      D.4 9.已知函数f(x)＝ 则对任意x1，x2∈R，若0<|x1|<|x2|，下列不等式成立的是(  ) A.f(x1)＋f(x2)<0    B.f(x1)＋f(x2)>0      C.f(x1)－f(x2)>0       D.f(x1)－f(x2)<0 10.(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点.点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x，将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为(  ) 11.设奇函数f(x)的定义域为[－5，5].若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)＜0的解集是________. 12.在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________. 13.设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________ . 14.已知函数f(x)＝ 且关于x的方程f(x)－a＝0有两个实根，则实数a的取值范围是____. 15.已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0. (1)求实数m的值；  (2)作出函数f(x)的图象； (3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；(4)若方程f(x)＝a只有一个实数根，求a的取值范围. 16.当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，求实数a的取值范围. 17.(1)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且当x∈R时，f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，求证y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称； (2)若函数y＝log2|ax－1|的图象的对称轴是x＝2，求非零实数a的值. 2017年高考数学基础突破——集合与函数 9．函数的图象与性质的综合应用（教师版） 【知识梳理】 1.利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线. 首先：(1)确定函数的定义域，(2)化简函数解析式，(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等). 其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线. 2.函数图象间的变换 (1)平移变换 对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减. (2)对称变换 (3)伸缩变换 【基础考点突破】 考点1.作函数的图像 　 【例1】作出下列函数的图像： (1)y＝ ；(2)y＝（ ）|x＋1|；(3)y＝|log2x－1|. 【解析】(1)易知函数的定义域为{x∈R|x≠－1}． y＝ ＝－1＋ ，因此由y＝ 的图像向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度即可得到函数y＝ 的图像，如图①所示． (2)先作出y＝( )x，x∈[0，＋∞)的图像，然后作其关于y轴的对称图像，再将整个图像向左平移1个单位长度，即得到y＝( )|x＋1|的图像，如图②所示． (3)先作出y＝log2x的图像，再将图像向下平移1个单位长度，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图像翻折到x轴上方来，即得到y＝|log2x－1|的图像，如图③所示． 【总结反思】为了正确作出函数的图像，除了掌握“列表、描点、连线”的方法外，还要做到以下两点： (1)熟练掌握几种基本函数的图像，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数以及形如y＝x＋ 的函数； (2)掌握常用的图像变换方法，如平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等． 变式训练1.分别作出下列函数的图像：(1)y＝2x＋2；(2)y＝ln(1－x)． 【解析】(1)将y＝2x的图像向左平移2个单位长度，即得到函数y＝2x＋2的图像，如图①所示． (2)作出函数y＝ln x的图像，将y＝ln x的图像以y轴为对称轴翻折，得到函数y＝ln(－x)的图像，再将y＝ln(－x)的图像向右平移1个单位长度，得到函数y＝ln(1－x)的图像，如图②所示． 考点2.图象识别 【例2 】(1)若函数f(x)＝ 则函数y＝f(x＋1)的大致图像是(  ) (2)[2013·湖北卷] 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是(  ) 【答案】(1)B　(2)C  【解析】 (1)作出f(x)＝ 的图像如图所示，再把f(x)的图像向左平移一个单位长度，可得到函数y＝f(x＋1)的图像．故选B. (2)由题意可知函数图像最开始为“斜率为负的线段”，接着为“与x轴平行的线段”，最后为“斜率为负值，且小于之前斜率的线段”．观察选项中图像可知，C项符合． 【归纳总结】识图常用的方法如下． (1)定性分析法：通过对问题进行定性分析，结合函数的单调性、对称性等解决问题． (2)定量计算法：通过定量(如特殊点、特殊值)的计算，来分析解决问题． (3)函数模型法：由所提供的图像特征，结合实际问题的含义以及相关函数模型分析解决问题． 变式训练2. (1) 函数y＝xsin x在区间[－π，π]上的大致图像是(  ) (2)[2013·四川卷] 函数y＝ 的图像大致是(  ) 【解析】 (1)容易判断函数y＝xsin x为偶函数，可排除D.当0＜x＜ 时，y＝xsin x＞0，当x＝π时，y＝0，可排除B，C.故选A. (2)函数的定义域是{x∈R|x≠0}，排除选项A；当x<0时，x3<0，3x－1<0，故y>0，排除选项B； 当x→＋∞时，y>0且y→0，故为选项C中的图像． 【归纳总结】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项. 考点3.函数图像的应用   命题点1.确定方程根的个数   【例3】已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈ [－1，1]时，f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lg x|的图象的交点共有(  ) A.10个        B.9个    C.8个          D.7个 【答案】A 【解析】根据f(x)的性质及f(x)在[－1，1]上的解析式可作图如下：可验证当x＝10时，y＝|lg 10|＝1；当x＞10时，|lg x|＞1. 因此结合图象及数据特点知y＝f(x)与y＝|lg x|的图象交点共有10个. 【归纳总结】当某些方程求解很复杂时，可以考虑利用函数的图象判断解的个数，即将方程解的个数问题转化为两个函数图象的交点问题，对应图象有几个交点，则方程有几个解. 变式训练3.已知f(x)＝ 则方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解的个数是________． 【解析】方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝ 或f(x)＝1.作出y＝f(x)的图像，由图像知f(x)＝ 有2个解，f(x)＝1有3个解，所以原方程解的个数为5. 命题点2.求参数的取值范围   【例4】已知a>0，且a≠1，f(x)＝x2－ax，当x∈(－1，1)时，恒有f(x)< ，则实数a的取值范围是________． 【答案】 ∪(1，2] 【解析】由题知，当x∈(－1，1)时，f(x)＝x2－ax< ，即x2－ f(－x)－2x的解集是________． 【答案】{x|－1f(－x)－2x可转化为2f(x)>－2x，即f(x)>－x.在图中作出直线y＝－x，由图可得原不等式的解集为{x|－1g(x)或可化为f(x)>g(x)的不等式，可以分别作出函数f(x)，g(x)的图像，找到f(x)的图像位于g(x)的图像上方部分所对应的x的取值范围，即为不等式f(x)>g(x)的解集． 【基础练习】 1.(2016·广州一调)把函数y＝(x－2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数解析式是(  ) A.y＝(x－3)2＋3      B.y＝(x－3)2＋1       C.y＝(x－1)2＋3          D.y＝(x－1)2＋1 答案　C 解析　把函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位，即把其中x换成x＋1，于是得y＝[(x＋1)－2]2＋2＝(x－1)2＋2，再向上平移1个单位，即得到y＝(x－1)2＋2＋1＝(x－1)2＋3. 2.函数y＝1－ 的图象是(  ) 解析　将y＝－ 的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即可得到函数y＝1－ 的图象. 答案　B 3.使log2(－x)＜x＋1成立的x的取值范围是(  ) A.(－1，0)      B.[－1，0)      C.(－2，0)      D.[－2，0) 解析　在同一坐标系内作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象，知满足条件的x∈(－1，0)，故选A. 答案　A 4.函数y＝xsin x在[－π，π]上的图象是(  ) 解析　容易判断函数y＝xsin x为偶函数，可排除D.当0＜x＜ 时，y＝xsin x＞0，当x＝π时，y＝0，可排除B，C，故选A. 5.(2015·安徽卷)函数f(x)＝ 的图象如图所示，则下列结论成立的是(  ) A.a>0，b>0，c<0    B.a<0，b>0，c>0    C.a<0，b>0，c<0        D.a<0，b<0，c<0 解析　函数f(x)的定义域为{x|x≠－c}，由题中图象可知－c＝xP＞0，即c<0. 令f(x)＝0，可得x＝－ ，则xN＝－ ，又xN＞0，则 ＜0，所以a，b异号，排除A，D. 答案　C 6.点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是(  ) 答案　C 7.(2014·新课标全国Ⅰ卷)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图象大致为(  ) 解析　由题图可知：当x＝ 时，OP⊥OA，此时f(x)＝0，排除A，D；当x∈ 时，OM＝cos x，设点M到直线OP的距离为d，则 ＝sin x，即d＝OMsin x＝sin xcos x，∴f(x)＝sin xcos x＝ sin 2x≤ ，排除B. 答案　C 8.(2015·全国Ⅰ卷)设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a＝(  ) A.－1      B.1      C.2      D.4 解析　设(x，y)是函数y＝f(x)图象上任意一点，它关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)，由y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，可知(－y，－x)在y＝2x＋a的图象上，即－x＝2－y＋a，解得y＝－log2(－x)＋a，所以f(－2)＋f(－4)＝－log22＋a－log24＋a＝1，解得a＝2，选C. 答案　C 9.已知函数f(x)＝ 则对任意x1，x2∈R，若0<|x1|<|x2|，下列不等式成立的是(  ) A.f(x1)＋f(x2)<0      B.f(x1)＋f(x2)>0 C.f(x1)－f(x2)>0      D.f(x1)－f(x2)<0 解析　函数f(x)的图象如图所示： 且f(－x)＝f(x)，从而函数f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数. 又0<|x1|<|x2|，∴f(x2)>f(x1)，即f(x1)－f(x2)<0. 答案　D 10.(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点.点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x，将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为(  ) 解析　法一　当点P位于边BC上时，∠BOP＝x，0≤x≤ ，则 ＝tan x，∴BP＝tan x，∴AP＝ ， ∴f(x)＝tan x＋ ，可见y＝f(x)图象的变化不可能是一条直线或线段，排除A，C.当点P位于边CD上时，∠BOP＝x ，则BP＋AP＝ ＋ ＝ ＋ . 当点P位于边AD上时，∠BOP＝x ，则 ＝tan(π－x)＝－tan x， ∴AP＝－tan x，∴BP＝ ，∴f(x)＝－tan x＋ ， 根据函数的解析式可排除D，故选B. 法二　当点P位于点C时，x＝ ，此时AP＋BP＝AC＋BC＝1＋ ，当点P位于CD的中点时，x＝ ，此时AP＋BP＝2 ＜1＋ ，故可排除C，D，当点P位于点D时x＝ ，此时AP＋BP＝AD＋BD＝1＋ ，而在变化过程中不可能以直线的形式变化，故选B. 答案　B 11.设奇函数f(x)的定义域为[－5，5].若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)＜0的解集是________. 答案　(－2，0)∪(2，5] 12.在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________. 解析　函数y＝|x－a|－1的图象如图所示，因为直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，故2a＝－1，解得a＝－ . 答案　－ 13.设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________ . 解析　如图，要使f(x)≥g(x)恒成立，则－a≤1，∴a≥－1. 答案　[－1，＋∞) 14.(2015·青岛模拟)已知函数f(x)＝ 且关于x的方程f(x)－a＝0有两个实根，则实数a的取值范围是________. 解析　当x≤0时，0＜2x≤1，所以由图象可知要使方程f(x)－a＝0有两个实根，即函数y＝f(x)与y＝a的图象有两个交点，所以由图象可知0＜a≤1. 答案　(0，1] 15.已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0. (1)求实数m的值；(2)作出函数f(x)的图象；(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间； (4)若方程f(x)＝a只有一个实数根，求a的取值范围. 解　(1)∵f(4)＝0，∴4|m－4|＝0，即m＝4. (2)f(x)＝x|x－4| ＝ f(x)的图象如图所示： (3)f(x)的减区间是[2，4]. (4)从f(x)的图象可知，当a>4或a<0时，f(x)的图象与直线y＝a只有一个交点，方程f(x)＝a只有一个实数根，即a的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞). 16.当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，求实数a的取值范围. 解　 设f(x)＝(x－1)2，g(x)＝logax， 在同一直角坐标系中画出f(x)与g(x)的图象， 要使x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，只需函数f(x)的图象在g(x)的图象下方即可. 当0＜a＜1时，由两函数的图象知，显然不成立； 当a＞1时，如图，使x∈(1，2)时， 不等式(x－1)2＜logax恒成立，只需f(2)≤g(2)， 即(2－1)2≤loga2，解得1＜a≤2. 综上可知，1＜a≤2. 17.(1)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且当x∈R时，f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，求证y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称； (2)若函数y＝log2|ax－1|的图象的对称轴是x＝2，求非零实数a的值. (1) 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 　设P(x0，y0)是y＝f(x)图象上任意一点，则y0＝f(x0).又P点关于x＝m的对称点为P′， 则P′的坐标为(2m－x0，y0). 由已知f(x＋m)＝f(m－x)，得f(2m－x0)＝f[m＋(m－x0)]＝f[m－(m－x0)]＝f(x0)＝y0. 即P′(2m－x0，y0)在y＝f(x)的图象上. ∴y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称. (2)解　对定义域内的任意x，有f(2－x)＝f(2＋x)恒成立. ∴|a(2－x)－1|＝|a(2＋x)－1|恒成立，即|－ax＋(2a－1)|＝|ax＋(2a－1)|恒成立. 又∵a≠0，∴2a－1＝0，得a＝ .