2015届高三
数学
数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划
三轮复习《双曲线》.doc
双曲线
班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________
一、选择题:(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
的代号填在题后的括
号内()
221((2010?全国?)已知F、F为双曲线C:x,y,1的左、右焦点，点P在C上，?FPF1212
,60?，则|PF|?|PF|,( ) 12
A(2 B(4
C(6 D(8
θ12解析:由题意得S?FPF,bcot,1×cot30?,3～又S?FPF,|PF|?|PF|?sin60?,3～12121222则|PF|?|PF|,4～故选B. 12
答案:B
22xy2((2010?浙江)设F、F分别为双曲线,,1(a>0，b>0)的左、右焦点(若在双曲线右1222ba
支上存在点P，满足|PF|,|FF|，且F到直线PF的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线21221
的渐近线方程为( )
3x?4y,0 B(3x?5y,0 A(
C(4x?3y,0 D(5x?4y,0
解析:设PF的中点为M～由于|PF|,|FF|～ 1212
故FM?PF～即|FM|,2a～ 212
22在直角三角形FFM中～|FM|,，2c，,，2a，,2b～ 121
故|PF|,4b～ 1
2222根据双曲线的定义得4b,2c,2a～得2b,a,c～即(2b,a),a，b～即3b,4ab,0～
即3b,4a～
b4故双曲线的渐近线方程是y,?x～即y,?x～即4x?3y,0. a3
答案:C
22xy3(已知双曲线,,1(a,0，b,0)的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，?22ab
2aOAF的面积为(O 为原点)，则两条渐近线的夹角为( ) 2
A(30? B(45?
C(60? D(90?
解析:依题意作图如下:
22aab11ababa,,显然A,||OF?||y,?c?,,～～?S～ ?OAFA,,cc22c22?a,b～即夹角为45?，45?,90?. 答案:D
22xy4(设双曲线,,1(0
2. ,,aa
答案:A
22xy5((2010?天津)已知双曲线,,1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y,3x，它的一个焦22ab
2点在抛物线y,24x的准线上，则双曲线的方程为( )
2222xyxyA.,,1 B.,,1 36108927
2222xyxyC.,,1 D.,,1 10836279
c,6,2222,,a,9,a，b,c,解析:由题意可知～解得～因此选B. 2, b,27,,b ,3,,a
答案:B
2x26((2010?福建)若点O和点F(,2,0)分别为双曲线,y,1(a>0)的中心和左焦点，点P为2a
??双曲线右支上的任意一点，则OP?FP的取值范围为( )
A([3,23，，?) B([3，23，，?)
77C([,，，?) D([，，?) 44
2x222解析:?a,(,2),1,3～故双曲线方程为,y,1～设点P的坐标为(x～y)(x?3)～ 1113
222xx4x??1112222则,1～?OP?FP,(x～y)?(x，2～y),x，2x，y,x，2x，,y,1,，2x11111111111333
,1～
224×，3，4x1因函数f(x),,1在[3～，?]上单调递增～故f(x)?，2x，23,1,3，23～1133
应选B.
答案:B
二、填空题:(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上()
2222xyxy7((2010?北京卷)已知双曲线,,1的离心率为2，焦点与椭圆，,1的焦点相同，22ab259
那么双曲线的焦点坐标为________;渐近线方程为________(
c22解析:椭圆的焦点坐标为(4,0)～(,4,0)～故c,4～且满足,2～故a,2～b,c,a,a
b23.所以双曲线的渐近线方程为y,?x,?3x. a
答案:(4,0)，(,4,0) y,?3x
8(已知平面内有一固定线段AB，其长度为4，O为AB的中点，动点P满足||PA,||PB,||AB3，则的最大值是______( 2||OP
解析:由双曲线的定义～可知动点P的轨迹为以A、B两点为焦点～3为2a的双曲线靠
||AB4近点B的一支～显然||OP的最小值为a～故的最大值为. 32||OP
4答案: 3
22xy22229(点P是双曲线C:,,1(a,0，b,0)和圆C:x，y,a，b的一个交点，且21222ab
?PFF,?PFF，其中F，F是双曲线C的两个焦点，则双曲线C的离心率为__________( 12211211
π解析:由题中条件知～圆的直径是双曲线的焦距～则?FPF,～易知?PFF,30?～?12122
PFF,60??3||PF,||PF～2||PF,||FF～ 2121212
||FF2c12e,, 2a||PF,||PF12
2||PF22,,,3，1. 3||PF,||PF3,122
答案:3，1
10(以下四个关于圆锥曲线的命题中:
???设A、B为两个定点，k为非零常数，若|PA|,|PB|,k，则动点P的轨迹为双曲线;?
1???过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若OP,(OA，OB)，则动点P的轨迹2
22xy2为椭圆;?方程2x,5x，2,0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;?双曲线,,259
2x21与椭圆,1有相同的焦点( ，y35
其中真命题的序号为______(写出所有真命题的序号)(
解析:?错误～当k,0且k,|AB|～
表
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示以A、B为焦点的双曲线的一支,当k,0且k,|AB|时表示一条射线,当k,0且k,|AB|时～不表示任何图形,当k,0时～类似同上(?错误～P是AB中点～且P到圆心与A的距离平方和为定值(故P的轨迹应为圆(??正确～很易验证(
答案:??
点评:多选题的特点是知识点分散～涉及面广～且只有每一个小题都做对时才得分(故为易错题～要求平时掌握知识点一定要准确～运算要细致(
三、解答题:(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤()
11(双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l、l，经过右焦点F做12
?????垂直于l的直线分别交l、l于A、B两点(已知|OA|、|AB|、|OB|成等差数列，且BF与FA同向( 112
(1)求双曲线的离心率;
(2)设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程(
???解析:(1)因为2|AB|,|OA|，|OB|～
???222又|OA|，|AB|,|OB|～
??,,??222|OA|，|OB|因此有|OB|,|OA|，,,～ ,,2
????化简有(5|OA|,3|OB|)(|OA|，|OB|),0.
4于是得tan?AOB,. 3
1??又BF与FA同向～故?AOF,?AOB～ 2
2tan?AOF4所以,～ 21,tan?AOF3
1解得tan?AOF,或tan?AOF,,2(舍去)( 2
b1因此,tan?AOF,～ a2
22a,2b～c,a，b, 5b～
c 5所以双曲线的离心率e,,. a2
222(2)由a,2b知～双曲线的方程可化为x,4y,4b.?
1由l的斜率为～c, 5b知～ 12
直线AB的方程为y,,2(x, 5b)(?
22将?代入?并化简～得15x,32 5bx，84b,0.
28432 5bb,～x?x,设AB与双曲线的两交点的坐标分别为(x～y)、(x～y)～则x，x212112211515
228b,. 5
于是AB被双曲线截得的线段长
2l, 1，，,2，?|x,x| 12
2, 5?[，x，x，,4xx] 1212
228b32 5b2,,, 5?[,4×] ,,515
4,b. 3
4而已知l,4～所以b,4～得b,3～a,6. 3
22xy故双曲线的方程为,,1. 369
22xy12(点P是以F，F为焦点的双曲线E:,,1(a>0，b>0)上的一点，已知PF?PF，122212ab
|PF|,2|PF|，O为坐标原点( 12
(1)求双曲线的离心率e;
27????(2)过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于P，P两点，且OP?OP,,，2PP，PP1212124
,0，求双曲线E的方程(
解析:(1)?|PF|,2|PF|～|PF|,|PF|,2a～ 1212?|PF|,4a～|PF|,2a. 12
222?PF?PF～?(4a)，(2a),(2c)～?e,5. 12
22xy(2)由(1)知双曲线的方程可设为 , ,1～渐近线方程为y,?2x. 22a4a设P(x2x)～P(x～,2x)～P(x～y)～ 11,1222
279???OP?OP,,3xx,, ?xx,～ 12121244
，x2x12x, ,3???2PP，PP,0? 12,2，2x,x，12 y, ,3
22，2x，x，,x，，2x1212?点P在双曲线上～? , ,1～ 229a9a
229a9a92化简得xx,～? , ?a,2～ 12884
22xy?双曲线方程为 , ,1. 28
22xy(2010?全国?)已知斜率为1的直线l与双曲线C:,,1(a>0，b>0)相交于B、D13(22ab
两点，且BD的中点为M(1,3)(
(1)求C的离心率;
(2)设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|?|BF|,17，求证:过A、B、D三点的圆与x轴
相切(
2. 解析:(1)由题意知～l的方程为y,x，
2222222代入C的方程～并化简～得(b,a)x,4ax,4a,ab,0.
设B(x～y)、D(x～y)～ 1122
22224a，ab4a则x，x,～x?x,,～? 12221222b,ab,a
2x，x14a12由M(1,3)为BD的中点知,1～故×,1～ 2222b,a
22即b,3a～?
22故c,a，b,2a～
c所以C的离心率e,,2. a
222(2)证明:由??知～C的方程为:3x,y,3a～
24，3aA(a,0)～F(2a,0)～x，x,2～x?x,,<0～ 12122故不妨设x?,a～x?a. 12
22|BF|,，x,2a，，y, 11
222，x,2a，，3x,3a,a,2x～ 111
22222|FD|,，x,2a，，y,，x,2a，，3x,3a 2222,2x,a～ 2
22|BF|?|FD|,(a,2x)(2x,a),,4xx，2a(x，x),a,5a，4a，8. 121212
2又|BF|?|FD|,17～故5a，4a，8,17～
9解得a,1或a,,(舍去)( 5
2故|BD|,2|x,x|,2?，x，x，,4xx,6. 121212连结MA～则由A(1,0)～M(1,3)知|MA|,3～ 从而MA,MB,MD～且MA?x轴～ 因此以M为圆心～MA为半径的圆经过A、B、D三点～且在点A处与x轴相切(
所以过A、B、D三点的圆与x轴相切(
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