数列的递推公式求通项公式

数列的递推公式求通项公式 由数列的递推公式求通项公式 一 准备知识 所谓数列，简单地说就是有规律的(有限或无限多个)数构成的一列数，常记作{}，n的公式叫做数列的通项公式(常用的数列有等差数列和等比数列( n 等差数列 等比数列 数列{}的后一项与前一项的差nnan}的后一项与前一项的比数列{n,为常数d ,n1a定义 n,1 为常数q(q?0) 专有名词 d为公差 q为公比 ,n1通项公式 =+(n,1)d =?q n1n1 (1)，，a，annn,dn1n，，a1,qS= na，,n11S= 前n项和 n221,q 数列的前n项和S与通项公式的关系是:=S,S(n?2)(,nnnnn1 有些数列不是用通项公式给出，而是用与其前一项或前几项的关系来给出的，例如:n =2+3，这样的公式称为数列的递推公式(由数列的递推公式我们可以求出其通项公式(，n1n 数列问题中一个很重要的思想是把数列的通项公式或递推公式变形，然后将它看成新数列(通常是等差或等比数列)的通项公式或递推公式，最后用新数列的性质解决问题( 二 例题精讲 8，18，28，n，，？，例1((裂项求和)求S=( n2222221，33，5(2n,1)，(2n，1) 8，n11解:因为==, n2222(2n,1)，(2n，1)(2n,1)(2n，1) ，，1111111,,,,？所以S==1,,，,，，,,,,,n,,2222222(2n，1)1335(2n1)(2n1),，,,,,，， a3n例2((倒数法)已知数列{}中，=，=，求{}的通项公式(n1n+1n2a，15n a2，111n解: ,,，2aaan，1nn ,,1156n,15?是以为首项，公差为2的等差数列，即+2(n,1)=,,,3aa33n,,n 3?= n6n,1 Sn,1练习1(已知数列{}中，=1，S=，求{}的通项公式(n1nn2S，1n,1 S2，111n,1解: ,,，2SSSnn,1n,1 ,,1?是以1为首项，公差为2的等差数列( ,,Sn,, 11?=1+2(n,1)=2n,1，即S=( n2n,1Sn 112?=S,S=,=, ,nnn1(2n,1)(2n,3)2n,12n,3 1,(n,1),11?= n,,(n,2),2n,12n,3, 例3((求和法，利用公式=S,S，n?2)已知正数数列{}的前n项和,nnn1n ,,11,,a，S=，求{}的通项公式( nnn,,2an,, ,,11,,a，解:S==，所以=1( 1111,,2a1,, 1?=S,S ?2S=S,S+ ,,nnn1nnn1S,Snn,1 122?S+S=，即S,S=1 ,,nn1nn1S,Snn,1 2?是以1为首项，公差为1的等差数列( ,,Sn 2?S=n，即S= nnn ?=S,S=,(n?2) nn,1,nnn1 ?=,( nn,1n 1,n1例4((叠加法)已知数列{}的前n项和S满足S,S=3×(,)(n?3)，且,nnnn22 3S=1，S=,，求{}的通项公式( 12n2 解:先考虑偶数项有: 2n,11,,S,S=,3? ,,,2n2n22,, 2n,31,,S,S=,3? ,,,,2n22n42,, …… 31,,S,S=,3? ,,422,, 3n,1，，11,,,,,1,,,,,,,24,,,,,,，，将以上各式叠加得S,S=,3×， 2n211,4 2n,11,,(n,1)所以S=,2+( ,,2n2,, 再考虑奇数项有: 2n1,,S,S=3? ，,,,2n12n12,, 2n,21,,S,S=3? ,,,,2n12n32,, …… 21,,S,S=3? ,,312,, 2n1,,(n,1)将以上各式叠加得S=2,( ，,,2n12,, 2n2n,111,,,,=S,=4,3=S,S=,4+3×所以S×，(,,,,,2n+12n+12n2n2n2n122,,,, n,1,1,,4,3，,n为奇数,,,n,1，，1,,,2,n1,,,，综上所述=，即=(,1)?43(,,,,nn,n,12,,1,,,,,，，,4，3，，n为偶数,,,2,,, 例5((=p+r类型数列)在数列{}中，=2,3，=5，求{}的通项公式(n+1nnn+1n1n 解:?,3=2(,3) n+1n ?{,3}是以2为首项，公比为2的等比数列( nn?,3=2 nn?=2+3( n 2a，1n练习2(在数列{}中，=2，且=，求{}的通项公式(n1n+1n2 1122解:=+ n+1n22 122?,1=(,1) nn+12 12?{,1}是以3为首项，公比为的等差数列( n+12 n,131,,21，?,1=3×，即= ,,n+1nn,122,, ,n1例6=p+((n)类型)已知数列{}中，=1，且=+3，求{}的通项公式(,n+1nn1nn1n ,nn1解:(待定系数法)设+p?3=+p?3 ,nn1 1,,n1n1则=,2p?3，与=+3比较可知p=,( ,,nn1nn12 n,,313所以是常数列，且,=,( ,a1,,n222,, nn13,13所以=,，即=( a,nn222 练习3(已知数列{}满足S+=2n+1，其中S是{}的前n项和，求{}的通项公式(nnnnnn 解:?=S,S,nnn1 ?S+S,S=2n+1 ,nnn1 ?2S=S+2n+1 ,nn1 (待定系数法)设2(S+pn+q)=S+p(n,1)+q ,nn1 ,p,2p,,2,,化简得:,pn,p,q=2n+1，所以，即 ,,,p，q,1q,1,,?2(S,2n+1)=S,2(n,1)+1， nn 31又?S+=2+1=3，?S=，S,2+1= 111122 11?{S,2n+1}是以为公比，以为首项的等比数列( n22 nnn111,,,,,,?S,2n+1=，即S=+2n,1，=2n+1,S=2,(,,,,,, nnnn222,,,,,, r例7((=p型)(2005年江西高考题)已知数列{}各项为正数，且满足=1，n+1nn1 1=((1)求证:<<2;(2)求{}的通项公式( a(4,a)n+1nn+1nnn2 解:(1)略( 12(2)=,(,2)+2 nn+12 12?,2=,(,2) nn+12 12 ?2,=(2,)nn+12 12?由(1)知2,>0，所以log(2,)=log(2,)=2?log(2,),1n2n+12n2n2 ?log(2,),1=2,log(2,),1, 2n+12n 即{log(2,),1}是以―1为首项，公比为2的等比数列 2n,n1?log(2,),1=,1×22n n,11,22化简得=2,( n 44(1)(1)xx，，,练习4((2006年广州二模)已知函数()(x,0fx(),44(1)(1)xx，,, ,{}aa,2afa,(){}an,N在数列中，，()，求数列的通项公式(n1nn，1n 4444,,(1)(1)1(1)1aaaaa，，,，，，nnnnn，1解:，a,,,,,,n，1444(1)(1)1(1)1aaaaa，,,,,,nnnnn，1,, aa，，11nn，1从而有， ln4ln,aa,,11nn，1 a，11由此及知: lnln30,,a,11 ,,a，1nlnln3数列是首项为，公比为的等比数列， 4,,a,1n,, n,14n,1aa，，1131，n,14,nnn,Nln4ln33,,,,,a故有()。n,1n4aa,,1131,nn 1，an,1例8((三角代换类型)已知数列{}中，=2，=，求{}的通项公式(n1nn1,an,1 ,,tan，tan,,,4解:令=tn，则==tn ,,，,,,n1n+1,4,,1,tan,tan,4 (n,1),，，，atctan2?=tn (n,,4，，