圆锥曲线解
题
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方法
圆锥曲线
一、代入法
Q(x,y)若动点依赖于另一动点而运动,而点的轨迹方程已知(也可能易于求P(x,y)Q00
x,f(x)y,g(x)得)且可建立关系式,,于是将这个点的坐标
表
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达式代入已知(或Q00
P求得)曲线的方程,化简后即得点的轨迹方程,这种方法称为代入法
2x,y,2,0y,x例1((2009年高考广东卷)已知曲线:与直线:交于两点Cl
和,且,记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所A(x,y)B(x,y)x,xAABBAB
围成的平面区域(含边界)为D.设点是L上的任一点,且点P与点A和点B均不重P(s,t)
合.若点Q是线段AB的中点,试求线段PQ的中点M的轨迹方程;
152ABy,x解:联立与得x,,1,x,2,则中点, y,x,2Q(,)AB22
1115M设线段 的中点坐标为,则, (x,y)PQxsyt,,,,(),()2222
15P即s,2x,,t,2y,,又点在曲线上, C22
115122PL?化简可得,又点是上的任一点, 2y,,(2x,)y,x,x,822
151AB且不与点和点重合,则,即,,x,, ,1,2x,,2442
11152M?中点的轨迹方程为(,,x,). y,x,x,844
PP(x,y)例2((2008年,江西卷)设 在直线x,m上,过点作双(y,,m,0,m,1)00221PAPBAB(,0)x,y,1曲线的两条切线、,切点为、,定点M。 过点A作直线m
的垂线,垂足为N,试求的重心G所在的曲线方程。 x,y,0,AMN
2222AxyBxy(,),(,)xy,,1xy,,1yy,0解:设,由已知得到,且,,(1)垂线AN1122121122
yyxx,,,,的方程为:, 11
yyxx,,,,,xyxy,,111111由得垂足,设重心 Gxy(,)N(,),xy,,022,
1311xy,,,11xxy,,,(93)xx,,,()11,,,,4m32m所以 解得 ,,111xy,11,,yyx,,,(93)yy,,,(0)11,,4m,32,
1122xy,,1由 可得 (33)(33)2xyxy,,,,,11mm
1222即为重心所在曲线方程 G()xy,,,39m
2C:y,x练一:(2005年,江西卷)如图,设抛物线的焦点为F,动点P在直线
上运动,过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、l:x,y,2,0
B两点.,求?APB的重心G的轨迹方程.
F(0,3)练二:(2006年,全国I卷)在平面直角坐标系中,有一个以和xOyF(0,,3)213为焦点、离心率为的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点2 P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B,且向量OM,OA,OB,求点M的轨迹方程
二、直接法
直接从题设的条件出发,利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论,从而确定选择支的方法叫直接法。从近几年全国各地的高考数学试题来看,绝大大部分选择题的解答用的是此法。但解题时也要“盯住选项特点”灵活做题,一边计算,一边对选项进行分析、验证,或在选项中取值带入题设计算,验证、筛选而迅速确定答案。
22xyC:,,1(a,0,b,0)例1(2009年高考全国II卷)已知双曲线的右焦点为F,过F22ab
AF,4FB3且斜率为的直线交C于A、B两点。若,则C的离心率e = (
AF,4FBA(x,y)B(x,y)(c,x,,y),4(x,c,y)解:设,,,由,得 F(c,0)11221122
yFx,,c3y,,4y?,设过点斜率为的直线方程为, 123
y,22x,,cb2bc,224(,a)y,y,b,0由消去得:, x,333222222,bx,ay,ab,0,
22,,6bc6bcyy,,,3y,,,122,,2222,,3(b3a),3(b3a),y,,4y? , 将 代入得化简得 ,,12443b3b2,,yy,4y,,1222222,,b3ab3a,,,,
2,2bcy,2,424224bc3b,3(b,3a) ,?, ,,,4222223b3(b,3a)4(b,3a)2,y,,222,4(b,3a),
36622222222216c,9(3a,b),9(3a,c,a)e,化简得:,?,,即。 25c,36ae,255