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可交换矩阵成立的前提和性质[优质文档].doc

可交换矩阵成立的前提和性质[优质文档]

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2017-12-20 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《可交换矩阵成立的前提和性质[优质文档]doc》,可适用于综合领域

可交换矩阵成立的前提和性质优质文档内蒙古财经大学本科学年论文可交换矩阵成立的条件与性质作者:系别:专业:年级:学号:指导教师:导师职称:指导教师评语:该学生在整个论文书写过程中态度端正~能配合指导教师~指导教师交给的任务基本能在规定时间内的完成。在开题以后~对论文题目理解正确~在指导下能完成论文初稿的书写~书写基本符合规范。但对参考书目及参考文献的依赖性太大~应在论文中添加自己独立的理解及总结。成绩:中指导教师:内容提要矩阵是高等数学中一个重要的内容在数学领域中以及其他科学领域中有着重大的理论意义众所周知矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的即在通常情况下但是在某种特殊情况下矩阵的乘法也能满足交换律可交换矩阵有着很多AB,BA特殊的性质和重要的作用本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发探讨了矩阵可交换的一些条件和可交换矩阵的部分性质并且介绍了几类特殊的可交换矩阵关键字:矩阵可交换条件性质上三角矩阵AbstractMatrixisanimportantcontentinaltitudemathematics,ithasagreattheoreticsignificanceintheaspectofbothmathematicsandothersciencefieldsAsfaraswehaveconcerned,themultiplicationofmatrixcouldnotsatisfytheexchangeruleunderAB,BAthenormalcondition,thatistosay,normally,Whereas,insomecertainconditions,themultiplicationofmatrixcouldsatisfytheexchangeruleTheexchangeablematrixhasmanyspecialpropertiesandimportanteffectionsThispaperdiscussessomeconditionsofthematrixexchangeandpartsofthepropertyoftheexchangeablematrix,andalsointroducesseveralkindsofspecificexchangeablematrixAllofthesearediscussedfromtheconceptofexchangeablematrixandrelativeinformationKeyWords:matrixinterchangeableconditionspropertyuppertriangularmatrix目录引言……………………………………………………………………………………………一可交换矩阵及相关定义…………………………………………………………………(一)矩阵………………………………………………………………………………………(二)可交换矩阵………………………………………………………………………………二可交换矩阵成立的条件与性质…………………………………………………………)可交换矩阵成立的条件…………………………………………………………………(一(二)相关结论…………………………………………………………………………………(三)可交换矩阵的性质………………………………………………………………………三几类常用的可交换矩阵…………………………………………………………………四可交换矩阵的应用………………………………………………………………………五总结………………………………………………………………………………………参考文献……………………………………………………………………………………致谢…………………………………………………………………………………………可交换矩阵成立的条件与性质引言随着科学技术的迅速发展和计算机技术的进步科学与工程计算即科学计算的研究受到科学技术人员的极大重视其应用范围已经渗透到各个学科领域计算机的普及使得矩阵理论越来越受到学者、工程技术人员和科技人员的关注矩阵理论不仅仅是一门重要的数学理论而且在数值分析、数学建模、最优化方法等数学分支上有极其重要的应用还在计算机科学、无线电技术和卫星通信等尖端技术科学领域和社会学、经济数学等许多方面都有着重要的用途和具体应用背景利用矩阵理论与方法来处理错综复杂的工程问题时具有表达简洁、对工程问题的实质刻画深刻的优点因此应用矩阵理论和方法来处理工程技术上的各种问题越来越受到工程界人士的极大重视逐渐成为数学建模中解决实际问题常用的一种方法矩阵理论与应用已成为众多学科领域的教学工具在科学技术人员和学者在解决这些矩阵的计算问题时逐渐发现把数学的一些计算公式如平方和、平方差等许多运算律运用到矩阵的计算中来既利于计算速度的提高也方便于通过计算机的编程来进行大型矩阵的迅速计算一、可交换矩阵及相关定义矩阵、矩阵的定义a由个数排成的行列的数表mni,,,?,m,j,,,?,nmnijaa?an,,aa?an,,A,,,???,,aa?annnnmnmn称为行列矩阵简称矩阵为表示它是一个整体总是加一个括弧并用大iAaA,aAj写黑体字母表示它也可以记为或(这里的表示位于的第行第列的ijijmnmn元素称为矩阵的阶数矩阵可分为实矩阵与复矩阵当行数与列数相等矩阵称为方阵只有一行的矩阵称为行矩阵只有一列的矩阵称为列矩阵所有元素为的矩阵称为零矩阵记为O两个矩阵如果行数与列数完全相同则称为同型矩阵、矩阵的运算加减法设为同型矩阵则A,a,B,bijijmnmnAB,abijijmn这里若设,B为B的负矩阵即则可以定义减法运算,B,,bijmnA,B,a,bijijmn数与矩阵的乘积kA设为实数则称为矩阵A的数乘且A,a,k,RijmnkA,kaijmnkA即给的每个元素均乘以数矩阵的乘积设则A,a,B,bijijmnAB,C,cijmnAB称为矩阵与矩阵的乘积其中cc,abab?abi,,,?,mj,,,?,nijijijijCiiAB即的第行第j列元素为的第行各元素与的第j列各元素对应相乘再相加ABAB注意:只有当的行数与的列数相等时与才能相乘(对称矩阵A在一个n阶方阵中若元素满足如下性质:A,A,,i,j,n,ijjiA则称为对称矩阵反对称矩阵An设是一个阶方阵如果TA,,AA则称为反对称矩阵可交换矩阵一般情况下矩阵的乘法不满足交换律其原因有以下几点:有意义时不一定有意义ABBA与均有意义时可能它们的阶数不相等ABBA与均有意义时且它们的阶数相等时仍可能出现ABBAAB,BA因此把满足乘法交换律的矩阵称为可交换矩阵即若矩阵满足:A,BAB,BA则称矩阵和是可交换的AB二、矩阵可交换成立的条件与性质若AB,BA成立则称方阵A与B为可交换矩阵设mm,fx,axax?axamm,PAP系数均为数域中的交换数为上的一个阶方阵记a,a,?,anmmm,fa,aAaA?aAaEmm,*AAIn容易看出:任何方阵都与其伴随矩阵是可交换的且二者的乘积为对于任何APPqq,,Afx,aAaA?aIgA,bAbA?bI方阵与可交换pq(一)可交换矩阵成立的条件AB,AB定理设阶方阵满足条件则可交换nA,BA,BAB,AB,,证明由条件diage,?e,I,变形可得n,I,A,IB,AB,(A,I)B(I,A),,(A,I)(B,I)A,IB,I即所以为可逆矩阵其逆矩阵为有(A,I)(B,I),I(A,I)(B,I),(B,I)(A,I),IAB,A,BI,BA,B,AIAB,BA即从而可得AB定理A,BA,B设均为对称矩阵则可交换的充要条件是为对称矩阵TTTAB,BAA,B证明设均为对称矩阵由于故AB,BA,BA,AB所以是对称的ABTTTT反之由于所以因此可交换A,BAB,ABAB,AB,BA,BAT推论设为阶对称矩阵则都可交换AnA,A定理设为对称矩阵为反对称矩阵则可交换的充要条件是为反ABABA,B对称矩阵TT证明设,由于,所以AB,BAA,,AB,,BTTTAB,BA,,BA,,AB所以AB为反对称矩阵反之若AB为反对称矩阵,则TTT,AB,AB,BA,,BAAB,BA从而AB定理设均为反对称矩阵则可交换的充要条件是为对称矩阵(A,BA,BTT证明因均为反对称矩阵故有A,,AB,,B又因为可交换故有A,BA,BAB,BA成立从而TTTAB,BA,,B,A,AB,BAAB反之若为对称矩阵则TTTAB,AB,BA,,B,A,BA,AB所以是可交换矩阵A,B,,定理,若为同阶可逆矩阵则可交换的充要条件是可交换A,BA,BA,BAB,BA证明因,故有,,,,,,BA,AB,BA,AB,,AB即与是可交换的,,AB反之因可交换故有,,,,,,BA,AB,BA,AB两边求逆得到AB,BA,,,推论可逆矩阵可交换的充要条件是A,BAB,BATTT定理若为阶方阵则可交换的条件是ABnA,BAB,ABTTTT证明如果那么AB,BAAB,BA,ABTTTTTTT反之若则即AB,BAAB,BAAB,BA,BA定理矩阵能与一切阶矩阵可交换的充分必要条件是为数量矩阵AAn证明若A与一切阶矩阵可交换自然与对角线上元素互不相同的对角矩阵可交n换由此可知A必为一对角线矩阵设d,,d,,,,A,,,,,,,dn取矩阵,,,,,,B,,,,,,,AB,BAA代入条件,得d,d,?,d所以是一个数量矩阵nA,aIB反之设,为任意阶矩阵则nAB,aIB,aB,Ba,BIa,BIa,BAA,AABA引理()时(即为零矩阵时)与可交换得矩阵可以是任意的与同B价的矩阵AA()的幂矩阵总是与可交换n,A定理与可交换的多项式矩阵总可以转化为小于等于次的多项式矩阵AA定理一个矩阵化为约当标准型后若中没有纯量矩阵的约当块那么与可n,BA交换的矩阵其充要条件为可化为的次多项式AB定理下列均是,可交换的充要条件:A,B,ABA,B,A,BAB()'''()AB,ABABAB,AB定理可逆矩阵,可交换的充要条件是:(定理()设,均为(反)对称矩阵,则,B可交换的充要条件是为对ABAAB称矩阵(()设,有一为对称矩阵,另一为反对称矩阵,则,可交换的充要条件是ABABAB为反对称矩阵(二)相关结论定理设,是可交换矩阵则以下结论成立:AB()A,B,A,BAB,ABA,B()AB,AABB()A,B,A,ABBKKKmm()其中分别为正整数k,mAB,BA,AB,BAmmm,m,m,A,B,A,BAAB?Bmmkm,kk()AB,CAB,mk,证明()因为ABA,B,AAB,BA,BABA,B,A,ABBA,BAB,BA由已知可得A,B,A,BAB,ABA,B()AB,ABAB,AABBABAB,BA由已知可得AB,AABB同理可得:A,B,A,ABBAB,BA()由已知,可得kkk,AB,ABAB?AB,AABB?AB,AA?AB?B,ABmmAB,ABB?B,BAB?B,?,BB?BA,BA()运用数学归纳法m,当时由()等式成立即A,B,A,BABm,k,假设时等式成立即有k,k,k,k,k,A,B,A,BAAB?B当m,k时由已知有AB,BAkkk,k,k,k,A,B,A,BAB,ABBAk,k,k,k,k,,A,BAAB?BAB,ABBAkk,k,k,k,k,k,,AAB?AB,BA,BA,?,B,ABBA由性质有k,k,k,k,BA,ABAB,BA因此上式可转化为:kkkk,k,k,kk,k,A,B,AAB?AB,BA,?,B,ABBAkk,k,k,k,k,k,k,AAB?ABAB,BABA,BA,?,Bk,k,k,,A,BAAB?Bk,k,k,,AA,BABA,B?BA,B即证得mmm,m,m,A,B,A,BAAB?B同理可证得mmm,m,m,A,B,AAB?BA,B()对用数学归纳法同()即可得证m(三)可交换矩阵的性质高等代数中可交换矩阵具有一些特殊的性质AB性质设,可交换,则有:kAB,BABA,AB(),,其中,都是正整数mBAB(),其中是的多项式,即与的多项式可交换AfB,fBAfB()A,B,A,BAAB,B,AABBA,Bmmkm,k()AB,CAB,mk,性质(矩阵二项式定理)设可交换,则有:A,BAB()若均为对合矩阵,则也为对合矩阵A,B()若A,B均为幂等矩阵,则AB,AB,AB也为幂等矩阵AB()若A,B均为幂幺矩阵,则也为幂幺矩阵A,BAB,AB()若均为幂零矩阵,则均为幂零矩阵三、几类常用的可交换矩阵假设以下矩阵均为阶实方阵n定理()设至少有一个为零矩阵,则可交换A,BA,B()设至少有一个为单位矩阵,则可交换A,BA,B()设至少有一个为数量矩阵,则可交换A,BA,B()设均为对角矩阵,则可交换A,BA,B()设均为准对角矩阵,则可交换A,BA,B**()设是的伴随矩阵,则与可交换AAAA()设A可逆,则A与A可交换()设AB,E,则可交换A,B定理()设,其中为非零实数,则可交换AB,,A,BA,B,,,Am,AB,E()设,其中为正整数,为非零实数,则可交换m,A,BAB,OAA,ABA,BA定理()设可逆,若或或,则可交换A,B()设均可逆,若对任意实数,,均有,则可交换A,A,kEBA,BA,B四、可交换矩阵的应用AA例设与所有的阶矩阵均可交换证明一定是数量矩阵niE证明记用将第行第j列的元素表示为而其余元素为零的矩阵nnaijijnnAE因与任何矩阵均可交换因此必与可交换ijAE,EA由,得ijija,ai,j,,,?,na,i,j,i,j,,,?,n及iijjijA故是数量矩阵例与任意一个n阶方阵相乘都可交换的方阵必为数量矩阵,BAB,BAB解不妨设为可逆矩阵由于所以对于任意可逆阵都有B,AB,AAAKI即的任意线性变换仍是自己这样的矩阵只能是(A,aEAAn例如果矩阵与所有的阶矩阵可交换则一定是数量矩阵即(证明记用将第i行第列的元素表示为而其余元素为零的矩阵因与任AAEjijij何矩阵均可交换所以必与可交换由得EAE,EAijiji(及不等于)a,aa,ji,j,,,,?njiijij故是数量矩阵(A例若矩阵都与可交换则也都与可交换BBA,AKALA,AA解由已知那么AB,BAAB,BAKALAB,KABLAB,BKABLA,BKALA(AAB,AAB,ABA,ABA,BAA例A与B可交换(即AB,BA)的充分必要条件是AB为对称矩阵(即T)(AB,ABABAB解题目根本就是错的取单位阵取任意非对称阵那么非对称但AB,BAABAB,BA(一定要加一个条件和本身都是对称阵才有结论若则TTTTAB,BA,AB,ABT反之若则AB,ABTTAB,BA,BA(AB例设,为乘积可交换的阶矩阵,且初等因子为一次的则存在阶可逆矩阵nnP,使得都为对角矩阵VAB证明在中选取一组基,存在线性变换,它们在该基下的矩阵分别为,且,A,B与对角形相似A例所有与可交换的矩阵对于矩阵的加法和乘法作成环n解一般地,由于交换性问题,乘法公式对于阶矩阵的多项式不再成立,如果所出现n的阶矩阵互相都是交换的,则乘法公式成立例如AB和可交换A,B,A,ABB,AB和可交换ABA,B,A,B,AB和可交换(不是!)有二项公式,,A,diaga,a,?,ai,j例()设矩阵为对角矩阵其中时n,则可交换的充要条件是为对角矩阵若均为对角矩阵Ba,ai,j,,,?,nA,BA,Bijj则可交换(若与可交换不等于时Bia,aA,diaga,a,?,aA,Bijn()i,j,,,?n证明设因为为对角矩阵故AB,b,AB,C,BA,dijijijnnnnnnc,ab,d,abi,j,,,?,nijiijijjij由,即得AB,BAc,di,j,,,?,nijija,ab,ijij而时a,a,i,j,,,?,n,i,jij故b,i,j,i,j,,,?,nijB所以为对角矩阵(五、总结本文通过大量的例题对可交换矩阵在计算与证明以及应用三方面进行了总结分析在证明方面涉及了矩阵的条件与性质和矩阵列(行)向量线性相关性等问题利用可交换矩阵可以很清晰地描述线性方程组的解与其相关内容对一些具体的解与矩阵行(列)向量组线性相关性之间的关系给出了结论通过本文的论述充分体现了可交换矩阵在代数计算与证明方面所具有的一定的优越性也给出了可交换矩阵和矩阵可交换在代数学中所具有的重要地位当然在对可交换矩阵的应用的论述上本文并不是所有类型的证明与计算都进行了讨论只是针对一些具有代表性的应用例子上进行证明所以在应用的完整性上还有待改进并可以继续进行研究探讨于此同时通过课题的详细研究也让我进一步巩固和加深了对可交换矩阵的理解在今后的探讨中相信也会有所进步(参考文献北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编高等代数(第三版)M高等教育出版社:戴立辉《矩阵可交换的条件及可交换矩阵的性质》华东地质学院学报()阎家灏赵锡英《可交换矩阵》兰州工业高等专科学校学报()戴笠辉、颜七笙《矩阵可交换的条件及可交换矩阵的性质》华东地质学院学报,()李瑞娟、张厚超《可交换矩阵浅析》和田师范专科学校学报()呙林兵《与方阵可交换的矩阵为矩阵多项式的探讨》长沙大学学报,()赵锡英、闫家瀛《可交换矩阵》兰州工业高等专科学校学报,()龙兴华、马圣荣、颜世建《矩阵方程AXXB=C的显式解及其应用》致谢

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