正切函数图象

正切函数 1.正切函数的图像 (1)根据tan(x+π)= = =tanx (其中x≠kπ+ ,k∈Z)推出正切函数的周期为π. (2)根据tanx= ,要使tanx有意义，必须cosx≠0, 从而正切函数的定义域为{x｜x≠kπ+ ,k∈Z} (3)根据正切函数的定义域和周期，我们取x∈(- , ).利用单位圆中的正切线，通过平移，作出y=tanx,x∈(- , )的图像，而后向左、向右扩展，得y=tanx,x≠kπ+ (k∈Z)的图像，我们称之为正切曲线，如图所示. y=tanx 2.余切函数的图像如下： y=cotx 3.正切函数、余切函数的性质： 正切函数y=tanx 余切函数y=cotx 定义域 {x｜x∈R且x≠kπ+ ,k∈Z} {x｜x∈R且x≠kπ,k∈z} 值域 R R 周期性 π π 奇偶性 奇 奇 单调性 每个区间(kπ- ,kπ+ ) 上递增(k∈Z) 每个区间(kπ,(k+1)π)上 递减(k∈Z).       注：正切函数在每一个开区间(kπ- ,kπ+ )(k∈Z)内是增函数，但不能说成在整个定义域内是增函数，类似地，余切函数也是如此. 【重点难点解析】 本节重点是正切函数图像的画法及性质的运用.正切函数的图像一般用单位圆中的正切线作.因y=tanx定义域是{x｜x∈R,x≠kπ+ ,k∈Z}，所以它的图像被平行线x=kπ+ (k∈Z)隔开而在相邻两平行线之间的图像是连续变化的. 1.正切函数应注意以下几点： (1)正切函数y=tanx的定义域是{x｜x≠kπ+ ,k∈Z},而不是R，这点要特别注意：(2)正切函数的图像是间断的，不是连续的，但在区间(kπ- ,kπ+ )(k∈Z)上是连续的；(3)在每一个区间(kπ- ,kπ+ )(k∈Z)上都是增函数，但不能说正切函数是增函数. 2.解正切不等式一般有以下两种方法： 图像法和三角函数线法.图像法即先画出正切函数的图像，找到符合条件的边界角，再写出所有符合条件的角的集合.三角函数线法则先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中划出符合条件的区域(这里特别要注意函数的定义域)，再用不等式正确 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示区域. 例1  作出函数y=｜tanx｜的图像，并根据图像求其单调区间. 分析：要作出函数y=｜tanx｜的图像，可先作出y=tanx的图像，然后将它在x轴上方的图像保留，而将其在x轴下方的图像向上翻(即作出关于x轴对称图像)，就可得到y=｜tanx｜的图像. 解：由于y=｜tanx｜= tanx,x∈Z［kπ,kπ+ ］ -tanx,x∈(kπ- ,kπ)(k∈Z) 所以其图像如图所示，单调增区间为［kπ,kπ+ (k∈Z);单调减区间为 kπ- ,kπ］(k∈Z). 说明：根据图像我们还可以发现：函数y=｜tanx｜的最小正周期为π.一般地，y=A｜tan(ωx+φ)｜的最小正周期与y=Atan(ωx+φ)的最小正周期相同，均为 . 例2  求函数y=lg(tanx- )+ 的定义域. 解：欲使函数有意义，必须 tanx＞ , 2cosx+ ≥0, x≠kπ+ (k∈Z) 由此不等式组作图 ∴函数的定义域为(kπ+ ,kπ+ ). 评析：解正切不等式一般有两种方法：图像法和三角函数线法.图像法即先画出函数图像，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合.三角函数线法则是先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域.要特别注意函数的定义域. 例3  求函数y=tan(2x- )的单调区间. 解：y=tanx,x∈(- +kπ, +kπ)(k∈Z)是增函数. ∴- +kπ＜2x- ＜ +kπ,k∈Z. 即- + ＜x＜ + ，k∈Z 函数y=tan(2x- )的单调递增区间是(- + , + ).(k∈Z) 例4  求函数f(x)=tan(2x+ )的周期. 解：因为tan(2x+ +π)=tan(2x+ ) 即tan［2(x+ )+ ］=tan(2x+ ) ∴tan(2x+ )的周期是 . 例5  求函数y=3tan(2x+ )的对称中心的坐标. 分析：y=tanx是奇函数，它的对称中心有无穷多个，即( ,0)(k∈Z).函数y=Atan(ωx+φ)的图像可由y=tanx经过变换图像而得到，它也有无穷多个对称中心，这些对称中心恰好为图像与x轴交点. 解：由2x+ = ,(k∈Z)得 x= - (k∈Z) ∴对称中心坐标为( - ,0)(k∈Z) 注意：函数y=Atan(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的图像及性质可与函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的图像及性质加以比较研究. 【难题巧解点拔】 例  判断函数f(x)=tan(x- )+tan(x+ )的奇偶性，并求此函数的周期及单调区间. 分析：奇偶性的判断必须考虑①定义域是否关于原点对称.②是否对任意x有f(-x)=-f(x)，或f(-x)=f(x)成立；关于周期和单调性必须将函数化为一个三角函数的形式方可求. 解：此函数的定义域为{x｜x∈R且x≠kπ+ ,k∈Z}它是关于原点对称. 又f(-x) =tan(-x+ )+tan(-x- ) =-tan(x- )-tan(x+ )=-f(x) 故此函数是奇函数. y=tan(x- )+tan(x+ ) =tan［(x- )+(x+ )］［1-tan(x- )tan(x+ )］ =tan2x［1+cot(x+ )tan(x+ )］=2tan2x ∵sin( -a)=cosa cos( -a)=sina ∴tan( -a)=cota cot( -a)=tana 故tan［ -(x+ )］=cot(x+ ) 即-tan(x- )=cot(x+ ) 周期为 当kπ- ＜2x＜kπ+ - ＜x＜ + (k∈Z) 即x∈( - , + )时，原函数是增函数. 评析：此题的难点在于通过三角恒等化简，将函数化为一个三角函数.同时 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 同学们必须熟悉正切函数的性质. y=Atan(ωx+φ)(A≠0)的周期为T= . 例2  已知 ≤1,求函数y=cot2x-2cotx+5的值域. 分析：从已知条件的不等式中解出cotx的范围，然后在此条件下求被求函数的值域. 解：由已知条件，可得0≤lg［ -9cos(x+ )］≤1. 得- ≤cos(x+ )≤ ∴kπ+ ≤x+ ≤kπ+ ,k∈Z. ∴kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z. ∴0≤cotx≤     y=cot2x-2cotx+5=(cotx-1)2+4 ∴当x=kπ+ ,k∈Z时，y取最小值4. 当x=kπ+ ,k∈Z时，y取最大值5. 从而函数y=cot2x-2cotx+5的值域是［4,5］. 【典型热点考题】 例1  满足tanα≥cotα的角的一个取值区间是(    ) A.(0， )      B.［0， ］      C.［ ， ］      D.( ， ) 分析：本考查正切函数单调性，应化同名函数，再化角为同一单调区间内. 解：由选择项，可以考虑α∈(0， )的性况. ∵tanα≥tan( -α),且α, -α∈(0, ) ∴α≥ -α,∴ ≤α＜ . 故选C. 例2  函数y= 的最小正周期是(    ) A.         B.         C.π            D.2π 解法1：将四个选项分别代入函数式验算，可知B正确. ∴应选B. 解法2：y= =cos4x ∴T= = ∴应选B. 例3  函数y= + 的定义域是        . 解：x应满足        2+log x≥0      ① x＞0            ② tanx≥0        ③ x≠kπ+ ,k∈Z      ④ 由①②得0＜x≤4      ⑤ 由③④并注意到⑤得        0＜x≤4 0≤x＜ 或π≤x＜ ∴0＜x＜ 或π≤x≤4. ∴应填(0， )∪[π，4] 例4  如果α、β∈( ,π),且tanα＜cotβ,那么必有(    ) A.α＜β      B.β＜α      C.α+β＜       D.α+β＞ 解：∵tanα＜cotβ＜0，∴tanαtanβ＞1. 有tan(α+β)= ＞0 有α+β∈(π， )∴α+β＜ . ∴应选C. 说明：本题也可采取化为同名函数的方法，或都取特殊值比如取α=β= ,可排除A、B、D. 【同步达纲练习】 一、选择题 1.下列不等关系中，正确的是(    ) A.cot3＞cot4＞cot5                  B.cot4＞cot3＞cot5 B.cot4＞cot5＞cot3                D.cot5＞cot4＞cot3 2.下列不等式中，正确的是(    ) A.tan π＞tan π                B.tan(- π)＞tan(- π) C.cot4＜cot3                        D.cot281°＜cot665° 3.观察正切曲线，满足条件｜tanx｜≤1的x的取值范围是(其中k∈Z) (    ) A.(2kπ- ,2kπ+ )                B.(kπ,kπ+ ) C.(kπ- ,kπ+ )                D.(kπ+ ,kπ+ ) 4.函数y=tanx-cotx的奇偶性是(    ) A.奇函数                            B.偶函数 C.既是奇函数，也是偶函数            D.非奇非偶函数 5.如果 ＜θ＜ ，则sinθ,cosθ,tanθ的大小关系是(    ) A.sinθ＜cosθ＜tanθ            B.cosθ＜sinθ＜tanθ C.tanθ＜sinθ＜cosθ            D.cosθ＜tanθ＜sinθ 6.y=tanx+cotx的最小正周期是(    ) A.π            B.             C.         D.以上均不正确 7.将函数y=tan2x的图像向右平移 个单位后得到的图像的解析式为(    ) A.y=tan(2x+ )                B.y=tan(2x- ) C.y=cot2x                    D.y=-cot2x 8.若tan(2x- )≤1,则x的取值范围是(    ) A. - ≤x≤ + (k∈Z) B. - ＜x≤ + (k∈Z) C.kπ- ≤x＜kπ+ (k∈Z) D.kπ- ＜x＜kπ+ (k∈Z) 9.函数f(x)= 的定义域为(    ) A.(kπ,kπ+ ),k∈Z                B.(kπ- ,kπ),k∈Z C.(kπ,kπ+π),k∈Z                D.以上均不正确 10.下列命题中正确的是(    ) A.y=tanx在第一象限单调递增.        B.在y=cotx中，x越大，y反而越小 C.当x＞0时，tanx＞0.            D.以上均不正确. 11.函数y=tan( x- )在一个周期内的图像是(    ) 12.函数f(x)= 的最小正周期是(    ) A.4π            B.2π            C.π                D. 二、填空题 1.使函数y=tanx和y=cosx同时为单调递增函数的区间是        . 2.满足tanα＜cotα的角α的范围是        . 3.函数y=3tan( x- )的定义域是        ，值域是        .