一、模糊集合（fuzzy set）用来表达模糊性概念的集合。又称模糊集、模糊子集。普通的集合是指具有某种属性的对象的全体。这种属性所表达的概念应该是清晰的，界限分明的。因此每个对象对于集合的隶属关系也是明确的，非此即彼。但在人们的思维中还有着许多模糊的概念，例如年轻、很大、暖和、傍晚等，这些概念所描述的对象属性不能简单地用“是”或“否”来回答，模糊集合就是指具有某个模糊概念所描述的属性的对象的全体。由于概念本身不是清晰的、界限分明的，因而对象对集合的隶属关系也不是明确的、非此即彼的。这一概念是美国加利福尼亚大学控制论专家L.A.扎德于 1965 年首先提出的。模糊集合这一概念的出现使得数学的思维和方法可以用于处理模糊性现象，从而构成了模糊集合论（中国通常称为模糊性数学)的基础。
1、当模糊集合中的元素为有限个时，模糊集合可表示为：令论域
U={u(1),u(2),....,u(n)}
（1） Zadeh表示法：
A=
（2） 向量表示法：
A={A(u1),A(u2),....}
（3） 序偶表示法；
A=((u1,A(u1)),(u2,A(u2)),....)
2、当模糊集合中的元素为无穷多个时，模糊集合可用Zadeh法表示为：
二、模糊数：利用凸模糊集可以定义模糊数。模糊数的讨论是在区间数的基础上,所谓区间数就是把一个闭区间[a,b]作为一个数来处理,从而形成计算数学的一个新的分支——区间分析。
当满足以下条件的模糊集合A，即可被称为模糊数：
A 必须是一个正规(Normal)模糊集合。
αA对所有的α∈(0, 1] 必须是一个封闭区间 (也就是必须是凸集合)。
0+A (A的底集) 必须是有界的。
条件1现今已非绝对必要的。现在的研究容许有非正规 (Non-normal) 模糊数的存在，此类的模糊数又可称为一般性模糊数 (Generalized Fuzzy Numbers)。
模糊数常被用来表示人类的语义，如：很好、普通…等。
三、分解定理：在实际应用中，对于模糊现象常常需要作出清晰的判断，因此需要有一道“桥梁”能够把模糊集与普通集（Cantor集）沟通起来。对于一个普通集
，只是当
时（
），才把
看成是A的一个元素，即
，这里
为集合A的特征函数。对于模糊集来说，这样的“门槛”太高了，需要把门槛不同程度地降低，将1改成某一个数
。给定这样的门槛以后，当且仅当
时，就说
是A中的元素。这样，对每一个
，都能确定U上的一个普通集，它是A在
这一信任程度上的显像。
四、表现定理：与分解定理一样，表现定理也是模糊集合论中最重要的定理，它从另外一个角度来阐明模糊集与普通集之间的关系。
称映射
为论域U上的一个集合套，如果满足条件：
上全体集合套组成的集合记为
。在
中规定运算
：
特别，对于一般指标集T，我们可以规定：
五、扩展原理：扩展原理是模糊集合论中的一个基本定理，它有着广泛的应用。
设X，Y是两个论域，给定映射
，如何由映射f
诱导出一个F(X)到F(Y)的映射
？这是扩展原理的基本作用。
先回顾一下普通集论中的扩展原理，即当 F(X) 和 F(Y) 分别蜕化为 P(X) 和 P(Y)时，由映射
可诱导一个从 P(X) 到 P(Y) 的映射，仍记为f：
还可以诱导出一个从 P(Y) 到P(X)的映射：
称f(A)为A的像，称
为B的逆像。
将经典扩展原理进行推广，便有：
扩展原理1：由映射
可以诱导出映射：
称为由 f诱导的 F(X) 到 F(Y) 的映射，或称由 f 诱导的 X 到 Y 的模糊变换,
叫做A的像。由 f 还可诱导出映射：
称为由f诱导的 F(Y) 到 F(X) 的映射，或称由f诱导的Y到X的模糊变换。
叫做B的逆像。
扩展原理2：给定映射
，我们有
(1) 若
，则
（2） 若
，则
六、模糊等价关系
定义3.3 给出模糊关系
，称R为X的模糊等价关系，当且仅当对
截关系
都是X的（经典）等价关系。
定理3.2
是X的模糊等价关系，当且仅当R满足：
1). 自反性:
；
2). 对称性:
；
3). 传递性:
.
证明 “
” 设R为X的模糊等价关系, 则
.
由定义3.3，
是 X的等价关系，因而满足
于是
1）
2）
3）
“
” 设R满足自反性，对称性和传递性，往证
，
是X的等价关系. 事实上，
1）
2）
3）
另一方面，由
，根据表现定理
因此，
定理3.3说明模糊关系满足自反性、对称性和传递性当且仅当它所对应的所有截关系都满足自反性、对称性和传递性。因此，定理3.3也可作为模糊等价关系的定义。
特别地，若论域为有限论域，即
，则模糊的概念价关系可表示为一个n 阶模糊矩阵
且满足
1） 自反性：
即 主对角线元素为1；
2） 对称性：
即 为对称矩阵；
3） 传递性：
即
七、模糊逻辑：也称弗晰逻辑。建立在多值逻辑基础上，运用弗晰（模糊）集合的方法来研究模糊性思维、语言形式及其规律的科学。
模糊逻辑通常使用 IF/THEN 规则，或构造等价的东西比如模糊关联矩阵。
规则通常表达为如下形式:
IF 模糊变量 IS 模糊集合 THEN 动作
例如，一个非常简单的使用风扇的温度调节器:
IF 温度 IS 非常冷 THEN 停止风扇
IF 温度 IS 冷 THEN 减速风扇
IF 温度 IS 正常 THEN 保持现有水平
IF 温度 IS 热 THEN 加速风扇
注意没有 "ELSE"。所有规则都被求值，因为温度在不同程度上可以同时是"冷"和"正常"。
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