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[教学]高中数学概率中的涂色问题.doc

[教学]高中数学概率中的涂色问题

翔龙_罗汉
2017-10-18 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《[教学]高中数学概率中的涂色问题doc》,可适用于初中教育领域

教学高中数学概率中的涂色问题别计算出两种情形的种数再用加法原理求出不同涂色方法总数。例用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内每个区域涂一种颜色高考数学中涂色问题的常见解法及策略相邻两个区域涂不同的颜色如果颜色可以反复使用共有多少种不同的涂色方法,怀仁云北高三数学组年月分析:可把问题分为三类:与涂色问题有关的试题新颖有趣,近年已经在高考题中出现其中包含着丰富的数学思想。解()四格涂不同的颜色方法种数为A决涂色问题方法技巧性强且灵活多变因而这类问题有利于培养学生的创新思维能力、分析问题()有且仅两个区域相同的颜色与观察问题的能力有利于开发学生的智力。本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法()即只一区域涂色问题有一组对角小方格涂相、根据分步计数原理对各个区域分步涂色这是处理染色问题的基本方法。同的颜色涂法种数为例、用种不同的颜色给图中标、、、的各部分涂色每部分只涂一种颜色相邻部分涂不同颜色则不同的涂色方法有多少种,CA)两组对角小方格分别涂相同的颜色涂法种数为A因此所求的涂法种数为ACAA,、根据相间区使用颜色的种类分类分析:先给号区域涂色有种方法再给号涂色有种方法接着给号涂色方法有种例如图个扇形区域A、B、C、D、E、F现给这个区域着色要求同一区域涂由于号与、不相邻因此号有种涂法根据分步计数原理不同的涂色方法有同一种颜色相邻的两个区域不得使用同一种颜色现有种不同的颜色可解()A,当相间区域A、C、E着同一种颜色时、根据共用了多少种颜色讨论分别计算出各种出各种情形的种数再用加法原理求出不有种着色方法此时同的涂色方法种数。CB、D、F各有种着色方法B、四种不同的颜色涂在如图所示的个区域且相邻两个区域不能同色。例F各有种着色方法此时B、D、D分析:依题意只能选用种颜色要分四类:,故有AE()与同色、与同色则有A种方法。F()与同色、与同色则有A()与同色、与同色则有()当相间区域A、C、E着色两不同的颜色时有种着色方法此时B、D、ACAF有种着色方法故共有种着色方法。CA,()与同色、与同色则有()与同色、与同色则有AA()当相间区域A、C、E着三种不同的颜色时有种着色方法此时B、D、FA所以根据加法原理得涂色方法总数为=A各有种着色方法。此时共有种方法。A,例、如图所示一个地区分为个行政区域故总计有=种方法。现给地图着色要求相邻区域不得使用同一颜色说明:关于扇形区域区域涂色问题还可以用数列中的递推公来解决。现有种颜色可供选择则不同的着方法共有多少种,分析:依题意至少要用种颜色如:如图把一个圆分成个扇形每个扇形用红、白、蓝、黑四色之nn(),)当先用三种颜色时区域与必须同色一染色要求相邻扇形不同色有多少种染色方法,)区域与必须同色故有A种a解:设分成n个扇形时染色方法为种AAn)当用四种颜色时若区域与同色AAaAA()当n=时、有=种即=AA)则区域与不同色有种若区域与同色则区域与不同色有AAAAA()当分成n个扇形如图与不同色与不同nA种故用四种颜色时共有种。由加法原理可知满足题意的着色方法共有AA?色n,?AA==n,AAA与不同色共有种染色方法但由于与nn、根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论从某两个不相邻区域同色与不同色入手分An,邻所以应排除与同色的情形与同色时可把、看成一个扇形与前AAAAAA种()使用三种颜色涂色则必须将一组对边染成同色故有CCAnnnn,个扇形加在一起为个扇形此时有种染色法故有如下递推关系:a()使用二种颜色时则两组对边必须分别同色有种An,n,aa,,因此所求的染色方法数为种ACCAA,nn,nnn,,,?,,,,,aaa(),解法二:涂色按AB,BC,CD,DA的顺序进行对AB、BC涂色有种涂nnn,,色方法。由于CD的颜色可能与AB同色或不同色这影响到DA颜色的选取方法数故分类讨nnnnn,,,,,,,,,,aann,,论:当CD与AB同色时这时CD对颜色的选取方法唯一则DA有种颜色可供nnn,,选择CD与AB不同色时CD有两种可供选择的颜色DA也有两种可供选择的颜色,,,,??(),从而对CD、DA涂色有种涂色方法。nn,,(),由乘法原理总的涂色方法数为种二点的涂色问题ABCD,例、用六种颜色给正四面体的每条棱染色要求每条棱只染一种颜色且共方法有:()可根据共用了多少种颜色分类讨论()根据相对顶点是否同色分类讨论()顶点的棱涂不同的颜色问有多少种不同的涂色方法,将空间问题平面化转化成区域涂色问题。解:()若恰用三种颜色涂色则每组对棱必须涂同一颜色而这三组间的颜色不同故SABCD,例、将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色并使同一条棱的两端点异色有种方法。A如果只有种颜色可供使用那么不同的染色方法的总数是多少,解法一:满足题设条件的染色至少要用三种颜色。()若恰用四种颜色涂色则三组对棱中有二组对棱的组内对棱涂同色但组与组之间不同色()若恰用三种颜色可先从五种颜色中任选一种染顶点S再从余下的四种颜色中任故有种方法。CA选两种涂A、B、C、D四点此时只能A与C、B与D分别同色故有种CA,()若恰用五种颜色涂色则三组对棱中有一组对棱涂同一种颜色故有种方法。CA方法。()若恰用四种颜色染色可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S再从余下的四种()若恰用六种颜色涂色则有种不同的方法。A颜色中任选两种染A与B由于A、B颜色可以交换故有种染法再从余下的两种颜色中任A综上满足题意的总的染色方法数为种。ACACAA,选一种染D或C而D与C而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可故有三面涂色问题种方法。CACC,例、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色将一个正方体的个面涂色每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色则不同的涂色方案共有多少种,()若恰用五种颜色染色有种染色法A,分析:显然至少需要三种颜色由于有多种不同情况仍应考虑利用加法原理分类、乘法综上所知满足题意的染色方法数为=种。原理分步进行讨论,解法二:设想染色按SABCD的顺序进行对S、A、B染色有种解:根据共用多少种不同的颜色分类讨论染色方法。()用了六种颜色确定某种颜色所涂面为下底面则上底颜色可有种选择在上、下底由于C点的颜色可能与A同色或不同色这影响到D点颜色的选取方法数故分类讨论:已涂好后再确定其余种颜色中的某一种所涂面为左侧面则其余个面有~种涂色方C与A同色时(此时C对颜色的选取方法唯一)D应与A(C)、S不同色有种选择案根据乘法原理n,!,C与A不同色时C有种选择的颜色D也有种颜色可供选择从而对C、D染色有,,种染色方法。由乘法原理总的染色方法是()共用五种颜色选定五种颜色有C,种方法必有两面同色(必为相对面)确定解法三:可把这个问题转化成相邻区域不同色问题:如图为上、下底面其颜色可有种选择再确定一种颜色为左侧面此时的方法数取决于右侧D对这五个区域用种颜色涂色有多少种不同的涂色方法,A面的颜色有种选择(前后面可通过翻转交换)二线段涂色问题Sn,C,()共用四种颜色,仿上分析可得对线段涂色问题要注意对各条线段依次涂色主要方法有:C)根据共用了多少颜色分类讨论Bn,CC,n,C,()共用三种颜色,)根据相对线段是否同色分类讨论。PABCD,例、四棱锥用种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上要求相邻不同色例、用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD的四条边每条边只涂一种颜色有多少种涂法,且使相邻两边涂不同的颜色如果颜色可以反复使用共有多少种不同的涂色方法,A解法一:()使用四颜色共有种P如果把两条异面直线看作“一对”那么六棱锥的棱和底面所有的条直线中异面直线有:ABCDB用正五棱柱的个顶点中的个顶点作四棱锥的个顶点共可得多少个四棱锥,,分类:以棱柱的底面为棱锥的底面CC以棱柱的侧面为棱锥的底面CC以棱柱的对角面为棱锥的底面CC解:这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题如右图区域、、、相当于四个侧面区域以图中(梯形)为棱锥的底面ADCBCC相当于底面根据共用颜色多少分类:构造几何模型求解()最少要用种颜色即与同色、与同色此时有种A在正方体的个顶点的所有连线中有多少对异面直线,()当用种颜色时与同色、与两组中只能有一组同色此时有CA与空间不共面的四点距离相等的平面有多少个,(年湖北)以平面六面体的任意三个顶点为顶点作三角形从中随机取ABCDABCD,故满足题意总的涂色方法总方法交总数为ACA,出两个三角形则这两个三角形不共面的概率为用三种不同的颜色填涂如右图方格中的个区域要求每行、每列的三个区域都不同色则不同的填涂方法种数共有(D)ABCDAA、、B、C、D、在知识的网络交汇点初设计命题是近几年高考命题改革强调的重要观念之一在复习备考中要把握好知识间的纵横联系和综合使所学知识真“立几”中的计数问题求解策略正融会贯通运用自如形成有序的网络化知识体系。在近几年的高考试题和各地模拟试题中频繁出现以“立几”中的点、线、面的位置关系为背景对于已知直线a,如果直线b同时满足下列三个条件:与直线a异面的计数问题这类问题题型新颖、解法灵活、多个知识点交织在一起综合性强能力要求高,与直线a所成的角为定值与直线a的距离为定值d那么这样有一定的难度它不仅考查相关的基础知识而且注重对数学思想方法和数学能力的考查。现结的直线b有合具体例子谈谈这种问题的求解策略。A条B条C条D无数条直接求解如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面例:从平面上取个点从平面上取个点这个点最多可以确定多少个三棱锥,,,对”在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数解析:利用三棱锥的形成将问题分成,平面上有个点、个点、个点三类直接求解共有是ABCD个三棱锥CCCCCC,设四棱锥PABCD的底面不是平行四边形,用平面,去截这个四棱锥,使得截面四边形是平行四例:在四棱锥PABCD中顶点为P从其它的顶点和各棱的中点中取个使它们和点P在同边形,则这样的平面,一平面上不同的取法有ABCD种A不存在B只有个C恰有个D有无穷多个解析:满足题设的取法可以分成三类PPP,,,?如图,点分别是四面体的顶点或棱的中点,那么在同一平面上的四点组()在四棱锥的每一个侧面上除P点外取三点有种不同取法C,PPPP,,,共有个ijk()在两个对角面上除点P外任取点共有种不同取法C,在正方体的一个面所在的平面内,任意画一条直线,则与它异面的正方体的棱的条数是()过点P的每一条棱上的点和与这条棱异面的棱的中点也共面共有种不同取C,正方体的个顶点中任取个不在同一平面上的顶点组成的二面角为PQMN,,,法,故共有=种PMNQ,,的大小可能值有个评注:这类问题应根据立体图形的几何特点选取恰当的分类标准做到分类不重复、不遗漏。答案结合“立几”概念求解DBD或或或个例:空间个点无三点共线其中有个点共面此外没有任何四个点共面则这些点可以组成多少个四棱锥,CC,解析:结合“立几”图形求解

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