高中数学公式及知识点速记
1. 元素与集合的关系
,
.
2.德摩根公式
.
3.包含关系
4.容斥原理
.
5.集合
的子集个数共有
个;真子集有
–1个;非空子集有
–1个;非空的真子集有
–2个.
6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式
;
(2)顶点式
;
(3)零点式
.
7.解连不等式
常有以下转化形式
.
8.方程
在
上有且只有一个实根,与
不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程
有且只有一个实根在
内,等价于
,或
且
,或
且
.
9.闭区间上的二次函数的最值
二次函数
在闭区间
上的最值只能在
处及区间的两端点处取得,具体如下:
(1)当a>0时,若
,则
;
,
,
.
(2)当a<0时,若
,则
,若
,则
,
.
10.一元二次方程的实根分布
依据:若
,则方程
在区间
内至少有一个实根 .
设
,则
(1)方程
在区间
内有根的充要条件为
或
;
(2)方程
在区间
内有根的充要条件为
或
或
或
;
(3)方程
在区间
内有根的充要条件为
或
.
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)在给定区间
的子区间
(形如
,
,
不同)上含参数的二次不等式
(
为参数)恒成立的充要条件是
.
(2)在给定区间
的子区间上含参数的二次不等式
(
为参数)恒成立的充要条件是
.
(3)
恒成立的充要条件是
或
.
12.真值表
p
q
非p
p或q
p且q
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
13.常见结论的否定形式
原结论
反设词
原结论
反设词
是
不是
至少有一个
一个也没有
都是
不都是
至多有一个
至少有两个
大于
不大于
至少有
个
至多有(
)个
小于
不小于
至多有
个
至少有(
)个
对所有
,
成立
存在某
,
不成立
或
且
对任何
,
不成立
存在某
,
成立
且
或
14.四种命题的相互关系
原命题 互逆 逆命题
若p则q 若q则p
互 互
互 为 为 互
否 否
逆 逆
否 否
否命题 逆否命题
若非p则非q 互逆 若非q则非p
15.充要条件
(1)充分条件:若
,则
是
充分条件.
(2)必要条件:若
,则
是
必要条件.
(3)充要条件:若
,且
,则
是
充要条件.
注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然.
16.函数的单调性
(1)设
那么
上是增函数;
上是减函数.
(2)设函数
在某个区间内可导,如果
,则
为增函数;如果
,则
为减函数.
17.如果函数
和
都是减函数,则在公共定义域内,和函数
也是减函数; 如果函数
和
在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数
是增函数.
18.奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.
19.若函数
是偶函数,则
;若函数
是偶函数,则
.
20.对于函数
(
),
恒成立,则函数
的对称轴是函数
;两个函数
与
的图象关于直线
对称.
21.若
,则函数
的图象关于点
对称; 若
,则函数
为周期为
的周期函数.
22.多项式函数
的奇偶性
多项式函数
是奇函数
的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数
是偶函数
的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
23.函数
的图象的对称性
(1)函数
的图象关于直线
对称
.
(2)函数
的图象关于直线
对称
.
24.两个函数图象的对称性
(1)函数
与函数
的图象关于直线
(即
轴)对称.
(2)函数
与函数
的图象关于直线
对称.
(3)函数
和
的图象关于直线y=x对称.
25.若将函数
的图象右移
、上移
个单位,得到函数
的图象;若将曲线
的图象右移
、上移
个单位,得到曲线
的图象.
26.互为反函数的两个函数的关系
.
27.若函数
存在反函数,则其反函数为
,并不是
,而函数
是
的反函数.
28.几个常见的函数方程
(1)正比例函数
,
.
(2)指数函数
,
.
(3)对数函数
,
.
(4)幂函数
,
.
(5)余弦函数
,正弦函数
,
,
.
29.几个函数方程的周期(约定a>0)
(1)
,则
的周期T=a;
(2)
,
或
,
或
,
或
,则
的周期T=2a;
(3)
,则
的周期T=3a;
(4)
且
,则
的周期T=4a;
(5)
,则
的周期T=5a;
(6)
,则
的周期T=6a.
30.分数指数幂
(1)
(
,且
).
(2)
(
,且
).
31.根式的性质
(1)
.
(2)当
为奇数时,
;
当
为偶数时,
.
32.有理指数幂的运算性质
(1)
.
(2)
.
(3)
.
注: 若a>0,p是一个无理数,则ap表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用.
33.指数式与对数式的互化式
.
34.对数的换底公式
(
,且
,
,且
,
).
推论
(
,且
,
,且
,
,
).
35.对数的四则运算法则
若a>0,a≠1,M>0,N>0,则
(1)
;
(2)
;
(3)
.
36.设函数
,记
.若
的定义域为
,则
,且
;若
的值域为
,则
,且
.对于
的情形,需要单独检验.
37. 对数换底不等式及其推广
若
,
,
,
,则函数
(1)当
时,在
和
上
为增函数.
, (2)当
时,在
和
上
为减函数.
推论:设
,
,
,且
,则
(1)
.
(2)
.
38. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N,平均增长率为
,则对于时间
的总产值
,有
.
39.数列的同项公式与前n项的和的关系
( 数列
的前n项的和为
).
40.等差数列的通项公式
;
其前n项和公式为
.
41.等比数列的通项公式
;
其前n项的和公式为
或
.
42.等比差数列
:
的通项公式为
;
其前n项和公式为
.
43.分期付款(按揭贷款)
每次还款
元(贷款
元,
次还清,每期利率为
).
44.常见三角不等式
(1)若
,则
.
(2) 若
,则
.
(3)
.
45.同角三角函数的基本关系式
,
=
,
.
46.正弦、余弦的诱导公式
(n为偶数)
(n为奇数)
(n为偶数)
(n为奇数)
47.和角与差角公式
;
;
.
(平方正弦公式);
.
=
(辅助角
所在象限由点
的象限决定,
).
48.二倍角公式
.
.
.
49. 三倍角公式
.
.
.
50.三角函数的周期公式
函数
,x∈R及函数
,x∈R(A,ω,
为常数,且A≠0,ω>0)的周期
;函数
,
(A,ω,
为常数,且A≠0,ω>0)的周期
.
51.正弦定理
.
52.余弦定理
;
;
.
53.面积定理
(1)
(
分别表示a、b、c边上的高).
(2)
.
(3)
.
54.三角形内角和定理
在△ABC中,有
.
55. 简单的三角方程的通解
.
.
.
特别地,有
.
.
.
56.最简单的三角不等式及其解集
.
.
.
.
.
.
57.实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数,那么
(1) 结合律:λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律:λ(a+b)=λa+λb.
58.向量的数量积的运算律:
(1) a·b= b·a (交换律);
(2)(
a)·b=
(a·b)=
a·b= a·(
b);
(3)(a+b)·c= a ·c +b·c.
59.平面向量基本定理
如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1、λ2,使得a=λ1e1+λ2e2.
不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
60.向量平行的坐标表示
设a=
,b=
,且b
0,则a
b(b
0)
.
53. a与b的数量积(或内积)
a·b=|a||b|cosθ.
61. a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.
62.平面向量的坐标运算
(1)设a=
,b=
,则a+b=
.
(2)设a=
,b=
,则a-b=
.
(3)设A
,B
,则
.
(4)设a=
,则
a=
.
(5)设a=
,b=
,则a·b=
.
63.两向量的夹角公式
(a=
,b=
).
64.平面两点间的距离公式
=
(A
,B
).
65.向量的平行与垂直
设a=
,b=
,且b
0,则
A||b
b=λa
.
a
b(a
0)
a·b=0
.
66.线段的定比分公式
设
,
,
是线段
的分点,
是实数,且
,则
(
).
67.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为
、
、
,则△ABC的重心的坐标是
.
68.点的平移公式
.
注:图形F上的任意一点P(x,y)在平移后图形
上的对应点为
,且
的坐标为
.
69.“按向量平移”的几个结论
(1)点
按向量a=
平移后得到点
.
(2) 函数
的图象
按向量a=
平移后得到图象
,则
的函数解析式为
.
(3) 图象
按向量a=
平移后得到图象
,若
的解析式
,则
的函数解析式为
.
(4)曲线
:
按向量a=
平移后得到图象
,则
的方程为
.
(5) 向量m=
按向量a=
平移后得到的向量仍然为m=
.
70. 三角形五“心”向量形式的充要条件
设
为
所在平面上一点,角
所对边长分别为
,则
(1)
为
的外心
.
(2)
为
的重心
.
(3)
为
的垂心
.
(4)
为
的内心
.
(5)
为
的
的旁心
.
71.常用不等式:
(1)
(当且仅当a=b时取“=”号).
(2)
(当且仅当a=b时取“=”号).
(3)
(4)柯西不等式
(5)
.
72.极值定理
已知
都是正数,则有
(1)若积
是定值
,则当
时和
有最小值
;
(2)若和
是定值
,则当
时积
有最大值
.
推广 已知
,则有
(1)若积
是定值,则当
最大时,
最大;
当
最小时,
最小.
(2)若和
是定值,则当
最大时,
最小;
当
最小时,
最大.
73.一元二次不等式
,如果
与
同号,则其解集在两根之外;如果
与
异号,则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.
;
.
74.含有绝对值的不等式
当a> 0时,有
.
或
.
75.无理不等式
(1)
.
(2)
.
(3)
.
76.指数不等式与对数不等式
(1)当
时,
;
.
(2)当
时,
;
77.斜率公式
(
、
).
78.直线的五种方程
(1)点斜式
(直线
过点
,且斜率为
).
(2)斜截式
(b为直线
在y轴上的截距).
(3)两点式
(
)(
、
(
)).
(4)截距式
(
分别为直线的横、纵截距,
)
(5)一般式
(其中A、B不同时为0).
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