无穷小量与无穷大量

无穷小量与无穷大量 1.5 无穷小量与无穷大量 [教学目的] 理解无穷小、无穷大的概念，掌握极限的运算性质。 [重点与难点] 重点是无穷小的概念与性质，极限运算法则，用各种变形法求极 限。 -,,难点是极限A=0，?，??时的说法。 [教学过程] 一、问题的提出:什么是无穷小 在极限的研究中，极限为0的函数有着重要的作用，我们给予特别的讨论。 x,xx,,n,,0在以下讨论中我们仅仅以和为例，其它如、 ，,x,xx,xx,,,0x,，,0、、、 的情形，请读者自己类似得出。 x,x，，fxx,,0无穷小的定义 如果当(或)时，以0为极限， x,x，，fxx,,0则称是(或)时的无穷小量，无穷小量也简称为无穷小。 ，，limfx,0，，limfx,0x,x，，fxx,x0x,,0即，如果(或)，则称是(或x,,)时的无穷小量。 22x、x、x，x、sinxx,0例如， 时，都是无穷小量。 注意，无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，是以0为极限的函数，不要把它与很小的数混淆起来。任何非零常量无论它多么小，都不是无穷小，谈及无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。 关于无穷小有如下一些结论: x,x，，fxx,,0A定理1 当(或)时，函数有极限的充分必 x,x，，fx,A，,,x,,0要条件是，其中是(或)时的无穷小。 x,xx,,0证明 以时的情形证明，可类似地证明。 ，，limfx,Ax,x,,,00，,必要性 如果，则对>0，都，使得当 ，，lim,,fx,A,00,x,x,,，，fx,A,,0x,x0时，总有，即。 lim,,0x,x，，,,fx,Ax,x,00现在令，则有，即是时的无穷小，且 ，，fx,A，, x,x，，fx,A，,,0A充分性 如果，是常数，是时的无穷小，则 ，，fx,A,, lim,,00,x,x,,0x,x,,,00，,，则对>0，都，使得当时，又 ，，limfx,A，，,,,fx,A,,x,x0总有，即，即。 根据极限的运算法则和无穷小的定义，容易证明无穷小的下列性质: 定理2 有限个无穷小的和也是无穷小。 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小。 推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小。 注意，无穷多个无穷小量之和不一定是无穷小量;无穷多个无穷小量之积也不一定是无穷小量。 1xlimsinx,0x例1 求。 1sinxx,0x解 当时是无穷小量，是有界函数，所以 1xlimsin,0x,0x。 二(无穷大 下面我们介绍另以类型的“极限”，之所以在极限二字上加上引号，是因为“极限值”不是一个实数。在这个意义上，它与前面讨论过的极 1fx,，，x,0x限不相同。先考察一个例子，设函数。很显然，当时，，，fx的值变得要多大就有多大。为了研究函数的这种特点，我们引入 ,M,0，,,0无穷大的定义 如果对(不论它多么大)，总，当0,x,x,,，，fx,Mx,x，，fx00时，总有，则称是时的无穷大 ，，limfx,,x,x0量，记作。 ，,x,xx,xn,,x,,0x,，,0对于自变量、、、、、 x,,x,,,,M,0的情形可类似地定义，如时的定义:如果对(不 x,X，，fx,M，，fx，X,0论它多么大)，总，当时，总有，则称 ，，limfx,,x,,x,,是时的无穷大量，记作。 无穷大量也简称为无穷大。 ，，fx,M，，fx,M如果在无穷大的定义中，把换成(或，，fx,,M)，就记作 ，，，，limfx,，,limfx,,,x,xx,x00 (或)。 注意，无穷大是变量而不是数，不要把无穷大与“很大很大的数”混为一谈。 1lim,,x,1x1,例2 证明 0,x,1,,M,0,,0，,证明 只需证明对，都，使得当时，成立不等式 1，，fx,,Mx,1 11x,1,,,0,x,1,,MM即，于是取，则当时，必有1,Mx,1， 1lim,,x,1x1,即 2lim3x,，,x,,,例3 证明 。 M,0X,0x,,X，,证明 只需证明对，都，使得当时，成立不等式 23x,M Mx,,3x,0即(不妨考察的时候，想一想为什么,)，于是取 MX,,23x,,X3x,M，则当时，必有， 2lim3x,，,x,,,即 无穷小与无穷大有如下关系: 1 ，，fx，，fx定理4 在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则 1 ，，，，fxfx,0，，fx为无穷小;反之，如果为无穷小，且，则为无穷大。 x,x0证明 以的情况为例。 ，，limfx,,x,x,M,0，,,00设，则对，总，使得当 1,,0,x,x,,，，fx,M0MM时，总有。取，由于是任意的 0,x,x,,0,正数，所以也是任意的正数，且当时，总有111,,,x,x，，fxM，，fx0，所以当时为无穷小。 ，，limfx,0x,x,,,00，,反之，设，则对>0，都，使得当 1M,0,x,x,,，，fx,,0,,时，总有，取，由于是任意的正数， 0,x,x,,，，fx,00M所以也是任意的正数，又，则当时，总有111,,M，，,fx，，fx，所以为无穷大。 三. 无穷小的比较 前面我们讨论了无穷小的和、差、积，知道两个无穷小的和、差、积 x,0仍是无穷小。但两个无穷小的商就不确定了。例如，当时， 122xxxxsinxxsin、、，、、x都是无穷小，但是 1xsin22xxx，xxlim,0lim,1lim,,lim2x,x,x,00x,00xxxx， ，，不存在。 两个无穷小的商的极限反映了这两个变量趋于0的相对“快慢”程度。 2xxx,0x在的过程中，趋于0比趋于0更“快”些，反过来趋于0 22xxx，x比趋于0“慢”些，而与趋于0的“快慢相仿”。 为了 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达这种“快慢”程度，我们给出下面的定义。 x,xx,,00设时，变量、都是无穷小量，且在的一个充分小的去心邻域不取零值。 ,lim,0，，,,;,,x,x,0,1(如果，就说是比高阶的无穷小，记作; ,lim,,,x,x,0,2(如果，就说是比低阶的无穷小。 ,lim,c,0,x,x,0,(如果，就说是和同阶无穷小; 3 ,lim,1,,~,x,x,0,特别，，就说与是等价无穷小，记作。 ,lim,c,0，k,0k,,xx,0k,4(如果，就说是关于的阶无穷小。 关于等价无穷小，有如下结论。 x,x,,,,,,,,,0定理5 设时，，，，是无穷小量，且~， ,,,lim,alim,a,,,x,xx,x00,,,~，如果，则。 证明 ,,,,,,,,,,,,,,,,,lim,lim,limlimlim,lim,a,,x,xx,xx,xx,xx,xx,x000000,,,,,,,,,,,,,,,。 这个定理说明，求两个无穷小的商的极限时，分子、分母均可用它们的等价无穷小代替，从而使计算简化。 x,x，x,x,n,,x,,x,,,x,，,00对于、、、、、 也有类似的定义和结论，请读者自己给出。 2xlimx,0tanxsin5x例4求。 tanx~x,sin5x~5xx,0解 时，，所以 22xx1limlim,,2x,x,00tansin55xx5x。 tanx,sinxlim3x,0x例5 求。 121,cosx~xx,0tanx~x2解 当时，， ，所以 tanxsinxtanx(1cosx)tanx1cosx1,,,limlimlim(),,,,332x,x,x,000x2xxx xlimx,0arctanx例6 求。 x,0t,0t,arctanxx,tant解 令，则，且时，，所以 xttanlim,lim,1x,0t,0xtarctan。 x,0下面我们给出在时常用的等价无穷小: x,0当时， x，，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln1，x~e,1 ， 121,cosx~x2。 习 题 1-5 x,01(写出当时，下列无穷小量的等价无穷小: 32arcsinx2x，3x1); (2); ( 2(下列说法对么, (1)两个无穷小的商一定是无穷小; (2)零是可以作为无穷小的唯一常数; (3)无穷大是指很大的数。 x,03(证明:当时， 21x,,sec1~，，1，x~x,,0x,22(1); (2)。 4(求下列极限: 1,cos2xarcsin2xlimlim2x,0x,0sinxtanx(1); (2); msinxtanx,sinxlimlimn3,0xx,0m,ntanxsinx(3)(是正整数); (4); 42xtanx1，x,1limlim3x,0sinx(1,cosx)x,01,cosx(5); (6) tan(tanx)limx,0sinx(7)。 5(下列变量在给定变化过程中是不是无穷大量: 2n，n，2(n,,)lnn(n,,)(1); (2); 3x,5x(x,,)(3); (4)x，x，x(x,，,)。 11~2a,b,cx,,x，1ax，bx，c6(当时，若，试求。 7(证明无穷小的等价关系具有下列性质: ,~,(1) (自反性); ,~,,~,(2)若，则 (对称性); ,~,,~,,~,(3)若，，则 (传递性)。