第2章——多自由度系统的振动——两自由度运动方程的建立

第2章——多自由度系统的振动——两自由度运动方程的建立 第2章——多自由度系统的振动——两自由度运动方程的建 立 船体振动基础 1 第章多自由度系统的振动第2章多自由度系统的振 一、引言 二、两自由度系统的振动 2 上节课内容的回顾 2.任意激励下系统的响应在(0，t1)时间间隔内受到突加的矩形脉冲力作用 0?t?t1?P0,P(t)=?t>t1?0, 求:系统响应P(t)P0t1t 上节课内容的回顾 教材 民兵爆破地雷教材pdf初中剪纸校本课程教材衍纸校本课程教材排球校本教材中国舞蹈家协会第四版四级教材 习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 :习题P331.19 第2章多自由度系统的振动1引言1. ?实际工程问题中，经常会遇到不能简化为单自由度系统的振?多自由度系统，就是在任何瞬时，系统的位置都必须用两个或者更多的广义坐标才能确定的系统。 9 第2章多自由度系统的振动1引言1. ? 船舶作为一个刚体，具有六个自由度;在研究总纵强度时，只——————————————————————————————————————————————— 考虑船舶的升沉运动和纵摇运动，即约束四个自由度，可 θy)。视为两自由度系统((z， 10 第2章多自由度系统的振动1引言1. ? 件组成的复杂的弹性结构，理论上都是无限自由度系统。? 对于这些具有分布质量无限多自由度系统，往往要对质量和弹性体进行11 第2章多自由度系统的振动1引言1. ? 至于取多少个自由度，可根据工程上实际所要求的精度来确定，广义坐尽可能取在能反映结构特征的那些点上，以便更好的逼近实际的动挠度曲线。好的逼近实际的动挠度曲线 12 多自由度系统的特点: 某自由度的振动往各个自由度彼此相互联系，某一自由度的振动往 往导致整个系统的振动。往导致整个系统的振动。 运动微分方程的变量之间通常相互耦合，需要求解联立方程。解联立方程。 第2章多自由度系统的振动2运动微分方程的建立2. ? 两个自由度是最简单的多自由度系统，从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同，但从两自由度系统到更多自由度系统的振动，无论是模型的简化、振动的振动无论是模——————————————————————————————————————————————— 型的简化振动的微分方程的建立和求解的一般方法，以及系统响应表现出来的振动特性等，没有本质上的差别，而主要是量上差别，因此多自由度系统的分析，只要将两自由度系统的振动理论加以推广以推广。 14 多自由度系统是指具有两个以上自由度以上的动力学系统多自由度系统是指具有两个以上自由度以上的动力学系统，二自由度系统是最简单的多自由度系统。 汽车左右对称化为平面系统汽车左右对称，化为平面系统 汽车具有前后悬架，上下运动、俯仰运动 第2章多自由度系统的振动2运动微分方程的建立2. ? 达朗贝尔原理——?惯性力:当质点受到其它物体的作用而改变其原来的运动状态时，由于质点的惯性产生对施力物体的反作用力，称为质点的惯性力。 惯性力的大小等于 质点的质量与其加速度的乘积， 方向与加速度的方向相反，方向与加速度的方向相反 并作用在施力物体上。 FI= -ma16 第2章多自由度系统的振动2运动微分方程的建立2. ? 质点的达朗贝尔原理—— 质点在运动的每一瞬时,作用在质点上的主动力,约束反力与质点——————————————————————————————————————————————— 的惯性力构成一平衡力系。的惯性力构成一平衡力系 F+ N+ FI= 0 ? 质点系的达朗贝尔原理—— 质点系的达朗伯原理:在质点系运动的每在质点系运动的每一瞬时瞬时,作用于质点系作用于质点系上的所的所有主动力,约束反力与假想地加在质点系上各质点的惯性力构成平衡。 {IF+N+Fii?i=0 ?mF+mN+mFioioio??))I??=0?17 第2章多自由度系统的振动 21P362运动微分方程的建立? 例2.1 P362. 两自由度的弹簧质量系统。两物体均作直线平移略去摩擦力物体均作直线平移， 及其它阻尼。 取两物体为研究对象，物体离开取两物体为研究对象物体离开其平衡位置的位移用x1、x2表示。在水平方向的受力如图示，由牛顿第二定律得 &1+(k1+k2)x1?k2x2=0?m1&x?&2?k2x1+(k2+k3)x2=0?m2 &x&1=?k1x1+k2(x2?x1)m1&x&2=?k2(x2?x1)?k3x2m 2&x18 第2章多自由度系统的振动 &1+(k1+k2)x1?k2x2=0?m1&x自由振动微分方——————————————————————————————————————————————— 程:?&2?k2x1+(k2+k3)x2=0?m2&x 矩阵形式: m?1?0?&1??k1+k20??&x???+??&2???k2m2??&x?k 2??x1??0????=???k2+k3??x2??0? ?m10?M=???0m2? 质量矩阵?k2??k1+k2K=??k2+k3???k2刚度矩阵振动方程的矩阵形式:M&&x+Kx=0 第2章多自由度系统的振动 22P372运动微分方程的建立? 例2.2 P372. &&,Cx&,Kx=Cz&,Kz(M1,M2)&&x,M1aθ &&,(K?Mga)θ=0&&,(I,Ma2)θMax1C111 20 第2章多自由度系统的振动 23P382运动微分方程的建立? 例2.3 P382. 系统简化成二自由度系统，即一根刚性杆(车体的简化模型)支承在两个弹簧(悬挂弹簧和轮胎的模型)上，刚性杆作跟随其质心的上下垂直振动和绕刚性杆质心轴的俯仰运动。 以钢杆中点垂直位移和转角为广义坐标，可以得到动力学方程: &,k1(x?l1θ),k2(x,l2θ)=0m&x &&?k(x?lθ)l,k(x,lθ)l=0Icθ11122221 第2章多自由度系统的振动 ——————————————————————————————————————————————— 23P382运动微分方程的建立? 例2.3 P382. &,k1(x?l1θ),k2(x,l2θ)=0m&x &&?k(x?lθ)l+k(x+lθ)l=0Icθ111222合并后: 22 第2章多自由度系统的振动3多自由度的无阻尼振动3. &1+(k1+k2)x1?k2x2=0?m1&x?&2?k2x1+(k2+k3)x2=0?m2 &x ?我们感兴趣的是m1和m2是否能以相同的频率和相角 但不同的振幅作简谐振动 假设在振动两个质量按同样频率和相位角作简谐振动。最简单最特殊形式的解最简单，最特殊形式的解:x1=A1sin(ωt+θ)??x2=A2sin(ωt+θ)? 23其中振幅A1与A2，频率ω和相位角θ都为待定常数 第2章多自由度系统的振动3多自由度的无阻尼振动3. x1=A1sin(ωt+θ)??代入运动微分方程组可得x2=A2sin(ωt+θ)? *(a?ω2&&1,ax1?bx2=0?x?&&2?cx1,dx2=0?x+sin(ωt ,θ)=0)A?bA 12 2sin(ωt+θ)不恒等于零[?cA1+(d?ω)A2]sin(ω t+θ)=0 2 所以:(a?ω)A1?bA2=0???2?cA1+(d?ω)A2=0??25 ——————————————————————————————————————————————— 第2章多自由度系统的振动?固有频率 ω2 1和ω2 2 称为振动系统的固有频率。较低的一个称为第一阶固有频率，简称基频。较高的一个称为第二阶固有频率。 28 ?固有振型(主振型)对应于ω2 1和ω振幅A1和A2，之间有两个确定的比值。2 2 x1=A1sin(ωt,θ)??x2=A2sin(ωt,θ)? 两个质量任一瞬时的位移的比值x1/x2也同样是确定的，并且等于振幅比。 在振动过程中系统各点位移的相对比值都可由振幅比确定振幅比决定了整个系统的振动形态，称为主振型。与ω1对应的振幅比ν1称为第一阶主振型。与ω2对应的振幅比ν2称为第二阶主振型。 两自由度系统的振动 ?主振动 系统以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动，称为系统的主振动 第一阶主振动为x x ——————————————————————————————————————————————— x x(2)1 (2) 2(1)1(1)2???(1)(1)=A2sin(ω1t+θ1)=v1A1sin(ω1t+θ1)??=Asin(ω1t+θ1)(2)1(1)1第二阶主振动为=Asin(ω2t+θ2)???(2)(2)=A2sin(ω2t+θ2)=v2A1sin(ω2t+θ2)?? 系统作主振动时，各点同时经过静平衡位置和到达最大偏离位置，以确定的频率和振型作简谐振动。 微分方程组&&1+ax1?bx2=0?x?的通解是两种主振动的叠加&&2?cx1+dx2=0?x (2) 1 (2) 2x1=x,x(1)2(1)1=Asin(ω1t,θ1),Asin(ω2t,θ2)x2=x,x???(1)(2)=v1A1sin(ω 1t,θ1),v2A1sin(ω2t,θ2)??(1)1(2)1 在一般情况下，系统的自由振动是两种不同频率的主振动的叠加，其结果不一定是简谐振动。?例1 试求图示系统的振动 系统的固有频率和主振型 假设已知m1=mm2=2mK1=K2=KK3=2K ?例1 试求图示系统的振动系统的固有频率和主振型 假设已知m1=mm2=2mK1=K2=KK3=2K解:振动微分方程——————————————————————————————————————————————— &1+(K1+K2)x1?K2x2=0?m1&x?&2?K2x1+(K2+K3)x2=0?m 2&x &&1+2ax1?ax2=0?x?&2?ax1+3ax2=0?2&x&1+2 Kx1?Kx2=0?m&x?&2?Kx1+3Kx2=0?2m&x 代入运动微分方程组得 x1=A1sini(ωt,θ)??x2=A2sin(ωt,θ)?*2a?ωA1?aA2+sin(ωt,?)=02()*?aA1,( 3a?2ω)A2+sin(ωt,?)=02 ?刚体在平面内的振动 9弹簧-质量系统和扭转系统等，就动力学性质而言，是属于质点 作直线运动或刚体绕定轴转动的问题。9在工程实际问题中，例如具 有对称平面的机器和基础的隔振系统以及车体等的振动，往往可简化 为弹性支承的刚体在平面内的振动，一般具有上下移动及转动两个自 由度。 选择不同的广义座标，将会得到不同形式耦合的振动微分方程。 以车体振动为例说明这一类型振动的基本性质，并由此讨论两自 由度系统在一般情况下的静力耦合和动力耦合问题。99 9车辆结构一般是一个复杂的空间多自由度系统。在进行研究计 算时，可以根据研究的目的，结构的特点，要求计算的精确程度等等， 从实际情况出发进行简化。 9汽车是由许多部件组成的复杂结构，即使忽略零部件的局部振 ——————————————————————————————————————————————— 动，单研究车体和前后桥的振动，把车体和前后桥作为刚体，联结和支承在弹性元件悬挂弹簧和轮胎上，如图所示，仍然包括车体和前后桥的上下垂直振动，左右摇摆振动以及车体的前后俯仰振动等。 9如略去次要的左右摇摆振动，可简化为在汽车对称平面内的振动，如下图所示。 9考虑到前后桥的质量比车体质量小得多，在计算精度要求不太高时，可以略去不计，可进一步简化成下图所示的两自由度系统:一根刚性杆(车体)支承在弹簧(悬挂弹簧和轮胎)上，作上下垂直振动和绕刚性杆质心轴的前后俯仰振动。 9设刚性杆质量为m，两端弹簧的刚度为K1与K2，杆质心c与弹簧K1、K2的距离为l1和l2，杆绕质心轴的转动惯量为I0。以质心垂直位移x及杆绕质心的角位移θ为两个独立坐标，其正方向如图d所示。 x的座标原点取在静平衡位置，使杆重和与之相平衡的弹簧静压力都不出现在运动方程式中 z在任一瞬时杆便受到弹性 恢复力的作发生微小位移x 与θ，两端用弹性支持。 根据牛顿运动定律和转动方程式，可写出x与θ两个方向的振动微分方程式 表明两种主振动如以相同的角位作比较，第一阶主振动的质心位移远大于第二阶主振动的质心位移，第一阶主振动以上下垂直振动为——————————————————————————————————————————————— 主，其主振型如图所示。 第二阶主振动以杆绕质心轴的俯仰振动为主，其主振型如下图所 示 ?静力耦合和动力耦合 一般情况下两自由度系统振动微分方程组为: &1+m12&&1+k11x1+k12x2=0?m11&xx?&1+m22&&2+k21x1+k22x2=0?m21&xx 方程组&&+ax?bθ=0?x中坐标之间有耦合的情况称 为?&&?cx+dθ=0静力耦合或弹性耦合。θ? ?主坐标:能够使振动微分方程组完全解耦的广义坐标。在特殊 情况下，由于结构上的安排，可以找到明显的主座标 2ρc为汽车的回转半径Ic=mρc &1+ml1&&2+K1(l1+l2)x1+K2(l1+l2)x2=0?ml2&xx?&1?Ic&&2+K1l1(l1+l2)x1?K2l2(l1+l2)x2=0?Ic&xx 2ρ第一式乘以c，分别与第二式乘以l1相加 &1,mρc2l1&&2,K1ρc2(l1,l2)x1,K2ρc2(l1,l2)x2=0?mρc2l2&xx??222&1?mρcl1&&2,K1l1(l1,l2)x1?K2l1l2(l1,l2)x2=0?mρcl1&xx? &1,K1(ρ,l)(l1,l2)x1,K2(ρ?l1l2)(l1,l2)x2=0mρ(l1,l2)&x2 ——————————————————————————————————————————————— c2c212c ?主坐标:能够使振动微分方程组完全解耦的广义坐标。在特殊 情况下，由于结构上的安排，可以找到明显的主座标 2ρc为汽车的回转半径Ic=mρc &1+ml1&&2+K1(l1+l2)x1+K2(l1+l2)x2=0?ml2&xx?&a mp;1?Ic&&2+K1l1(l1+l2)x1?K2l2(l1+l2)x2=0?Ic&xx 第一式乘以 2 c21ρc2，分别与第二式乘以l1相减2c2c&+mρ l&&+K1ρ(l1+l2)x1+K2ρ(l1+l2)x2=0?mρ l&xx??222&1?mρ cl2&&2+K1l1l2(l1,l2)x1?K2l2(l1,l2)x2=0?mρcl2&xx? 222&&mρ(l1,l2)x2,K1(ρc?l1l2)(l1,l2)x1,K2(ρc,l2)(l1,l2)x2=0 2 c2c12 &1+2kx1?kx2=F1 (1)m&x &2?kx1+2kx2=F2 (2)m&x x&2?&x&1)+3k(x2?x1)=F2?F1(2),(1):m(& x&2+&x&1)+k(x2+x1)=F2+F1(2)，(1):m(& 引入坐标变换:y1=x2?x1 ——————————————————————————————————————————————— y2=x2+x1定义广义力: Q1=F2?F1Q2=F2+F1m&y&1+3ky1=Q1 m&y&2+ky2=Q2 ?m0?质量矩阵和刚度矩阵同时为对角矩 阵:[M]=???0m??3k[K]=??00??k? 质量矩阵和刚度矩阵的形式与坐标选取有关 ?通过选取坐标系直接使质量矩阵和刚度矩阵同时为对角矩阵难以实现。 ?通过坐标变换使振动微分方程组质量矩阵和刚度矩阵同时对角化(解耦)——振动模态分析的基本思路。 ?系统的振动表示为所 有n个主振动的叠加 ?微分方程组。 ?等或有一个等于零)。当系统按其中任一固有频率作自由振动时，称为主振动。主振动是一种简谐振动。 ?系统作主振动时，任何瞬时各点位移之间具有一定的相对比值，即整个系统具有确定的振动形态，称为主振型，主振型是系统的固有特性。 ?通过坐标变换，有可能使系统振动微分方程组解耦，即使其质量矩阵和刚度矩阵同时对角化。 ?是否存在、及如何找到使系统振动微分方程组解耦的坐标变换,——振动模态分析。 ——————————————————————————————————————————————— ———————————————————————————————————————————————