二次根式化简求值的常用技巧
陈开金
二次根式(常见的有分式型,复合二次根式型,无限循环型或混合型)的化简求值,是中考及各级各类数学竞赛中的常见题目.下面举例谈谈八种常见方法——约分法、裂项法、取倒法、配方法、公式法、平方法、方程法、换元法,供读者参考.
一、约分法:对“分式型”代数式,分子分母都是多项式时,有时可以先分别因式分解,通过约分达到化简目的.
7,5例1 化简
21，14,15,10
7,5解:原式,7(3，2),5(3，2)
7,5, (3，2)(7,5)
1,,3,23，2
二、裂项法:对于一些连续相加的分式型二次根式,如果拆项后能互相抵消,则可用此法.
111化简，，？，例2 2，232，2320042003，20032004
1解:因为
，n，1)n，nn，1
1,n(n，1)(n，1，n)
n，1,n, n(n，1)
11,,,nn，1
11111所以原式,，1,，，，,，，？，，,，
22320032004 1501,1,,1,.10022004
三、取倒法:如果一个“分式型”二次根式只有分子可进行因式分解,常常可先取倒再用第二种方法解决.
6，3，2，2例3 化简.
3，22，1
(3，2)(2，1)解:设原式,,x,(3，2)，(2，1)
111则,，x3，22，1
,3,2，2,1
,3,1,
13，1所以原式,,.23,1
四、配方法:在复合二次根式中，如果存在x,0,y,0,使得a，mb
222xy,mb,x，y,a,则可把被开方数写成完全平方式,达到化简目的,
2 写成式子为a，mb,(x，y),x，y.在使用此法时,一般先拆开mb成2xy
的形式,再检查平方项.
例4 化简 14,65.
解:原式= 9,2，3，5，5
2 ,(3,5),3,5.
例5 化简 23,22，17,122等于()(A) (B) 5,4242,1
(C)5 (D)1
解:23,22，17,122
,22,2，2，1，1，9,2，3，22，8 22,2(2,1)，(3,22)
,22,2，3,22,1.
五、公式法:对于
akak，,22这可以利用算术平方根的定义ab,a,0,b,0,k,0,abk,ab,,若且存在使得,,则,,,22
进行证明。
例6 化简 7，35.
解:原式= 7，45,
22 由于7,45,4,2,
所以a=7,k=2,
所以原式,7，45
7，27,2,， 22
3210,，.22
六、平方法:对于被开方数为和差型的复合二次之和(差),常以退为进，先求出它的平方。
10，3，10,3例7化简
10，1
210，22解:设原式=x,则 x,,2,
10，1
所以原式= 2.
七、方程法:对于一些带„„号的无限循环式的化简,通常可设原式值为x,设法建立一个关于x的方程求解.
例8 化简求值 6，6，6，？
2解:设原式=x,则x=两边平方得 6，x,x,x,6,0,即(x-3)(x+2)=0,取正数x=3.
1例9化简2， 122，122，22，？
解:设原式=x, x，2,m,
1则m,22，,m
2所以m,22m,1,0.
用求根公式得
22,12m,,2,3. 2
取正值m,2，3,
原式,3.
八、换元法:当问题的结构过于复杂，难以直接发现规律时，可以通过换元，将结论的形式转化为简单形式，
以便于发现解题规律。
例10 (第十届初二“希望杯”)已知a、b、c都为正数，且
111111a,b,x,，，,y,，，,则x与y的大小关系为( ) abcabbcac
(A)x,y (B)x,y
(C)x=y (D)随a、b、c的取值变化而定
111222解:设m,,n,,k,,则x,m，n，k,y,mn，nk，mk.abc
1222222,,因为m，n，k,mn,nk,mk,(m,n)，(n,k)，(m,k), 2
222又因为a,b,c,从而m,n,k,所以m，n，k,mn,nk,mk,0.222故m，n，k,mn，nk，mk,
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
为，A，。
2，5,3例11 (十二届初二“希望杯”)化简 的结果是______.
230,62，43
解:设a,2,b,5,c,3,则
a，b,c原式,222(abc,ac，ac)
a，b,c1,,2ac(b,c，a)2ac
16,,.1226
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