11氦原子基态能级

11氦原子基态能级 第一章 绪 论 1.1引言 对氦原子基态能级的探讨一般选用微扰法及变分法，本文重点讨论变分法对氦原子基态能级的求解。变分法是解决氦原子和类氦离子基态问题的强有力工具，到目前为止，国内外为追求高精度所选取的变分参数个数已由数百增至数千，在忽略 ,9核质量的情况下，它们的非相对论基态波函数和能量的不确定度分别达到10,,10,1910和10，这对于计算高精度的相对论修正和辐射修正具有非常重要的意义。在量子力学教科书中，一般介绍的近似求解法是微扰法和变分法，而变分法中选择的尝试波函数一般是一个参数型的，例如周世勋编《量子力学》、曾谨言著《量子力学教程》等介绍的便是用一个参数型的尝试波函数变分法求氦原子体系基态能级。 l.2 选题的依据和意义 1.2.1 选题的依据 在量子力学中，对于具体物理问题的薛定谔方程，可以精确求解的问题是很少的。在经常遇见的许多问题中，由于体系的哈密顿算符比较复杂，往往不能求得精确的解，而只能求近似解。微扰法和变分法都是用来求问题的近似解的方法。 用微扰法求氢原子和类氢离子是比较适合的，但是遇到比氢原子稍微复杂一点的氦原子时，微扰法就不及变分法容易和求解精确。用一参变分法即选用含一个参数的尝试波函数，这种波函数形式简单，其物理意义清晰，物理模型简单，适用于教育教学，但精确度比较低。选用含二参数的尝试波函数，这样的模型相对于更多参数的波函数要简单，又比一参变分法求解精确度高很多，这样既有利于理解怎样用变分法求基态能级，可适用于教学,又能求得比一参法更为精确的数值，因而具有重要的物理意义。 1.2.2 选题的意义 氦原子是比类氢离子这种单粒子体系复杂但是相对于其他粒子要简单的粒子，研究氦原子这种简单的多粒子体系，对于研究更复杂的多粒子体系具有重要 1 的意义。变分法是解决氦原子和类氦原子的强有力工具，只要选择合适的试探波函数，对于提高求解能级近似值有很大的帮助。 l.3 本文的主要研究内容 本文主要研究氦原子的基态能级，通过应用双参数变分法，选择适当的试探波函数，求出氦原子基态能级的能量，并将计算值与试验值进行比较，再与用微扰法求出的氦原子基态能量结果进行对比，通过对比体现出用变分法求氦原子基态能级的优越性。 2 第二章 变分法介绍 2.1变分法原理 ^^ 已知量子力学中用微扰法求解问题的条件是体系的哈密顿算符可以分为和HH0^ 两部分: ,H^^^ H=+， ,0HH^^ H其中的本征值与本征函数是已知的，而很小。如果这些条件不能满足，微扰法就,0H^ 不能应用。因而在遇到不是很小的情况下，就需要寻找另外的求解方法，量子力学,H 中求解问题的又一种简单方便的方法——变分法的应用不受上述条件的限制。 ^ 设体系哈密顿算符的本征值由小到大的顺序排列为: H ,, ,，, (1) ？？EEEE0n12 与这些本征值对应的本征函数是: ？？,,,,, (2) ,,,,0n12 ^E和,是基态能量和基态波函数。为简单起见，我们假定的本征值E是分立的，本H00n 征函数,组成正交归一系。于是有 n ^ ,,E, (3) Hnnn ,,,设是任意一个归一化的波函数，将按展开: n ,, (4) ,ann,n 在Ψ所描写的状态中，体系能量的平均值是 ^*H (5) ,,H,d,, 将(4)式代入(5)式，得 ^**aH ,a ,H,d,n,m,m,n 3 毕业论文 应用(3)式有 ** a,,d,EH,an,mn,m,n * E,,aamn,nmnm,n 2 (6) E,|a|n,nn E由于是基态能量，所以(n=1,2, …)，在上式中用代替，则 EE,EEn000n 2 (7) E,EH,|a|0,0nn 2最后一步用了的归一化条件。 ,|a|,1,nn (6)式和(7)式给出: ^* (8) E,,H,d,0, ^ 这个不等式说明，用任意波函数算出的平均值总是大于体系基态能量，而只有当,,H ^ 恰好是体系的基态波函数时，的平均值才等于能量。 ,EH00 上面讨论中曾假定,是归一化的，如果,不是归一化的，那么(5)式应该写为: ^*,,,Hd,, (9) H*,,d,, (8)式应写为 ^*,,,Hd,E, (10) 0*,,d,, ^^ ,,E根据波函数算出的平均值总是不小于，我们可以选取很多的并算出的HH0 E平均值，这些平均值中最小的一个最接近于。 0 4 毕业论文 2.2变分法求体系基态能量的步骤 2.2.1 选取一个参量的尝试波函数 ,选取含有一个参量的尝试波函数代入(5)式和 (9)式，算出平均能量，,(,)H(,) 然后由 ,dH(),0 (11) d, 求出的最小值。所得结果就是的近似值。 EH(,)0 2.2.2 选取两个参量的尝试波函数 选取含有两个参量、的尝试波函数代入(5)式和 (9)式，算出平均能量,,,(,,,) ，然后由 H(,,,) ,,,,,H(,),H(,) =0，=0 (12) ,,,, 求出的最小值，所得结果就是的近似值。 EH(,,,)0 5 毕业论文 第三章 氦原子基态能量的变分计算 根据第二章变分法原理可知，氦原子的基态能量可由下式计算得到: ^* (13) E,{min,H,d,}0, ^ 其中，为哈密顿算符, Ψ为归一化的试探波函数。 H 若波函数未归一化，氦原子的基态能量可由下式计算得到: ^,,*Hd,,,,,, (13.1) Emin,,,0*d,,,,,,,, 氦原子有一个原子核和两个电子，它们都处于运动状态。由于原子核的质量相对于电子非常大,核的运动比电子的运动要慢的多，因此近似把核看成是固定的，氦原子的哈密顿算符可写为: 2222^2e2e,e22sss() (14) ,,，,,,，,H12r2,rr1212其中，是电子质量，与分别代 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 第一、第二个电子到核的距离;为两个电子之rrr,1212间的距离。 2e为方便计算，采用原子单位(其中能量单位为哈特利,即)，氦原子体,2，13.6eVa0 系的非相对论哈密顿算符可写为: ^122122,,, =()+ (14.1) ,，,H122rrr1212 3.1尝试波函数的选择 用变分法求近似解的关键在于选择合适的尝试波函数，尝试波函数选得好，可以在很大程度上提高计算结果的精度。 ,zre对类氢离子,电子的基态波函数为(取原子单位,以下暂不考虑归一化常数),它 1z1z所表示的状态有这样一个特点:电子的最概然半径为,电子在半径为的球壳附近 6 毕业论文 分布的概率较大。对于类氦离子,如果不考虑两个电子相互排斥作用,则基态波函数为,，zrr，，12,二电子的最概然半径皆为,但若考虑两电子的相互作用,利用单参数变分法e1z [1,8]求得基态近似波函数为: ,,，()()z,rr12 (15) e (15)式中=.在这种模型下,由于排斥作用,两个电子的最概然半径增长到,516 .我们认为这个模型仍然比较粗糙,二电子之间的关系考虑得不够,现将试探波1z,,，， 函数改进为如下形式:假如二电子可以区分即存在某种差别,我们设想由于二电子的径 ,,r1向排斥作用,电子1的最概然半径为且处于形式为的波函数描述的状态,电子2e1, ,,r2的最概然半径为且处于形式为的波函数描述的状态,则两个电子的基态波函数e1, 可写作: ,,,，,,,,rrrr()1212eee, (16) ,为变分参数。 ,, 显然,上述说法不满足全同粒子波函数交换对称性的要求,事实上我们不能说清某 1个电子处于哪个状态.由于基态为态,波函数的自旋部分是反对称的,空间部分要求是s0 对称的,因此,满足交换对称性要求的波函数为: ,(,r，,r),(,r，,r)1221 (17) ,(r,r),A[e，e]12 值得强调,如果,则式(17)退化为单参数的.它们究竟会不会相等不是由想象而是由,,= 变分原理——能量平均值取极小值条件来决定.在计算时，需注意以上波函数是未归一化的。 3.2氦原子能量平均值的计算 ^**,,d,利用(14.1)式和(16)式，我们先计算，然后计算。有: ,H,d,,, ^*,H,d,, ，，1221,，,，,，,，()()()(),,,,,,,,rrrrrrrr2212211221,，,,，,,,，，AeeAeedd[]()[],,1212,,,,rrr21212，， (18) 7 毕业论文 12()()()()2,,r,，r,,r，,r,,r，,r,,r，,r12211221= (18.1) A[e，e](,,,)A[e，e]d,d,112,,2r1 12()()()()2,,r,，r,,r，,r,,r，,r,,r，,r12211221 (18.2) ，A[e，e](,,,)A[e，e]d,d,212,,2r2 1()()()(),,r，,r,,r，,r,,r，,r,,r，,r12211221+ (18.3) A[e，e]，，A[e，e]d,d,12,,r12 首先，求解(18)式中的(18.1)式，有 12()()()()2,,r,，r,,r，,r,,r，,r,,r，,r12211221 A[e，e](,,,)A[e，e]d,d,112,,2r1 1，，1,,2,，,，,，,，()()()(),,,,,,,,rrrrrrrr212211221,A= (18.1-1) ，，，，eereedd,,，，()112,,2,,，，，，2rrr,,111，， 1()()()()2,,r，,r,,r，,r,,r，,r,,r，,r12211221 (18.1-2) ,2A[e，e]，，[e，e]d,d,12,,r1先求解(18.1)式中的(18.1-1)式，有 1，，1,,2,，,，,，,，()()()(),,,,,,,,rrrrrrrr212211221,A eereedd,,[]()[]，，112,,2,,2rrr,,111，， ，，12,2,，,，,，()()(),,,,,,rrrrrr2122112,,A[]()eeedd，, ,,,12,,,2r，，1 ，，12,2,，,，,，()()(),,,,,,rrrrrr2122121,Aeeedd[]()，, ,,,12,,,2r1，， ,,2,162(),,r，,r222212,,Ardr(,r,2,r)edr 22111,,200 8 毕业论文 ,,2,16()(),,r，,r,,r，,r2222221221,Ardr[(,r,2,r)，(,r,2,r)]edr 2211111,,200 ,,2,162(),,r，,r222221,Ardr(,r,2,r)edr 22111,,200 ,2，，，，162121,,,rr22,,222222=Areedr {22},,，,,,,,22,,,,,32322(2)(2)(2)(2),,,,，，，，0 ,2，，162121,,,r(),，22222Aredr22,,，,,,,,22,,,32322()()()()，，，，,,,,,,,,，，0 222，，，，1622,,22,,,222A,,{} ,,，，，,,,,3232332(2,)(2,)(2)(2)(2)(2),,,,，，，， 222，，162222,,,,,22A,,，, ，,,332322(,，,)()()()()，，，，,,,,,,,,，， 222，，11114()4,,，16,2A,,，,，,= ,,3333642168168()()，，,,,,,,,,,,,,，， 2，，16,118,,2A,= (18.1-1.1) ,,,,,33621616()，,,,,,,，， 接着求解(18.1)式中的(18.1-2)式，有 1()()()()2,,r，,r,,r，,r,,r，,r,,r，,r12211221 ,2A[e，e]，，[e，e]d,d,12,,r1 122()2()()(),,r，,r,,r，,r,,r，,r,,r，,r12211221,2A= e，e，e，d,d,[2]12,,r1 ,,,,r,，r,,r，,r,,，,r,,，,r2()2()()()2221221122rdr[e，e，2e]rdr,32,A= 2211,,00 9 毕业论文 ,，，11222(),,,,rrr222,,,，222= ,32,Aeeerdr，，22,,,222,,,,(2)(2)()，，，0 ，，22422= ,32,A，，,,23325,,,,,,(2)(2)(2)(2)()，，， ，，4()4,,，22= (18.1-2.1) ,32,A，,,335(2)(2)()，,,,,，， 然后，求解(18)式中的(18.2)式，有 12()()()()2,,r,，r,,r，,r,,r，,r,,r，,r12211221 A[e，e](,,,)A[e，e]d,d,212,,2r2 1，，1,,2,，,，,，,，()()()(),,,,,,,,rrrrrrrr212211221,A= (18.2-1) eereedd,,[]()[]，，212,,2,,2rrr,,222，， 1()()()()2,,r，,r,,r，,r,,r，,r,,r，,r12211221 (18.2-2) ,2A[e，e]，，[e，e]d,d,12,,r2先求解(18.2)式中的(18.2-1)式，有 11,,2()()()()2,,r,，r,,r，,r,,r，,r,,r，,r12211221,A [e，e][(r)][e，e]d,d,212,,22,r,rr222 ，，12,2,，,，,，()()(),,,,,,rrrrrr2122112,Aeeedd= []()，,,,,12,,,2r2，， 1,22()()()2,,r，,r,,r，,r,,r，,r122121,A[e，e][(,,)e]d,d, 12,2r2 ,,2,162(),,r，,r222212,Ardr(,r,2,r)edr= 11222,,200 10 毕业论文 ,,2,16()(),,r，,r,,r，,r2222221221,Ardr[(,r,2,r)，(,r,2,r)]edr 1122222,,200 ,,2,162(),,r，,r222221,Ardr(,r,2,r)edr 11222,,200 ,2，，，，162121,,,rr22,,222211=Areedr {22},,，,,,,,11,,,,,32322(2)(2)(2)(2),,,,，，，，0 ,2，，162121,,,r,，()22221Aredr22,,，,,,,,11,,,32322()()()()，，，，,,,,,,,,，，0 222，，，，22,,22,,,16222, =A{} ,,，，，,,,,3232332(2,)(2,)(2)(2)(2)(2),,,,，，，， 222，，2222,,,,,1622,A ,，, ，,,332322(,，,)()()()()，，，，,,,,,,,,，， 222，，11114()4,,，,162,A=,，,，, ,,3333642168168()()，，,,,,,,,,,,,,，， 2，，,16118,,2,A= (18.2-1.1) ,,,,,33621616()，,,,,,,，， 接着求解(18.2)式中的(18.2-2)式，有 1()()()()2,,r，,r,,r，,r,,r，,r,,r，,r12211221 ,2A[e，e]，，[e，e]d,d,12,,r2 122()2()()(),,r，,r,,r，,r,,r，,r,,r，,r12211221,2A= e，e，e，d,d,[2]12,,r2 ,,,,r,，r,,r，,r,,，,r,,，,r2()2()()()2221221122rdr[e，e，2e]rdr,32,A= 1122,,00 11 毕业论文 ,，，11222(),,,,rrr222,,,，111= ,32,Aeeerdr，，11,,,222,,,,(2)(2)()，，，0 ，，22422= ,32,A，，,,23325,,,,,,(2)(2)(2)(2)()，，， ，，4()4,,，22= (18.2-2.1) ,32,A，,,335(2)(2)()，,,,,，， [1]最后，求解(18)式中的(18.3)式，这里根据参考文献，有 1,,(r，,r),,(r，,r),(,r，,r),(,r，,r)12211221 A[e，e]，，A[e，e]d,d,1,,r12 ,,1,,r,，r,,r，,r,,r，,r，,r，,r2()2()()()222212211221rdrr[e，e，2e]dr=16,A 2211,,r1200 r,21,,2(r,，r),2,(r，,r),(,r，,r)，(,r，,r)222212211221rdrre，e，edr[2]16,A= 2211,,r200 ,,1,,2(r,，r),2,(r，,r),(,r，,r)，(,r，,r)22221221122116,Ardrre，e，edr+[2] 2211,,r10r2 ,22rr1rr1,2(,，,)r2222222rdr(,,,,,,)e16,A= 222323,,2,24,2,2,4,0 ,11,2,r,2,r2222rdr(e，e)16,A+ ,2233,,440 ,2，，24rr4,，2(),,r2222216,Ardre,,,+ 22,,23,()()(),,,,,,，，，，，0 ,4,(,，,)r22216,Ardre+ 223,(,，,)0 12 毕业论文 ,22r1r12r2,2(,，,)r2222222，，，，，rdr()e+ 16,A22,222,,,,,，,,，,2424()()0 ,222，，rrrrrr24,，2(),,r222222222= 16,A()(),,,,，,,edr2,,232323,,,,,,,,,4444()()，，，，0 ,，，rrr422(),,,,rrr22,,,，222222+ 16,A()eeedr，，2,,,333,,,,44()，，，0 ，，121122= 16,A,，,，,,2332,,,,,,48()44()，，，， ，，121122+16,A ,，,，,,2332,,,,,,48()44()，，，， ，，22412216,A+ ,，,，,,2332,,,,,,,,()8()()4()，，，，，， ，，1111412216,A+ ，，，，，323232,,,,,,,,,,4444()()，，，， ,,,,2233，，,,,,,,，，，52216,A,,，= (18.3-1) ,,333251616()16()2()，，，,,,,,,,,，，^**,,d,计算完了，接着计算。有: ,H,d,,, *()()()(),,r，,r,,r，,r,,r，,r,,r，,r12211221,,d,= A[e，e]A[e，e]d,d,12,,, ()()()()2,,r，,r,,r，,r,,r，,r,,r，,r12211221= A[e，e][e，e]d,d,12,, 2()2()()()2,,r，,r,,r，,r,,r，,r,,r，,r12211221= A[e，e，2e]d,d,12,, 13 毕业论文 ,,,,r,，r,,r，,r,,r，,r,,r，,r2()2()()()222212211221rdr[e，e，2e]rdr= 16,A2211,,00 ,22422()2,r,r,,r,,,，22222，，[eee]rdr= 16,A22333,,,,，,(2)(2)()0 ，，22224222= 16,A，，，，，,,333333,,,,,,,,(2)(2)(2)(2)()()，，，， ，，1822= (19) 16,A，,,336,,,,8()，，， 由于波函数Ψ(，)是未归一化的波函数，因此由(9)式、(18)式各个计算结果、,, (19)式计算结果可知: ^*,,,__Hd,= H*,,d,, 222233,,,,，，，，,,,,,,,,,,,,，，，，，8165，,,，,,，,,,,3363353332516()4()1616()16()2()，，，，，,,,,,,,,,,,,,,,,，，，，,，，18，336,,8()，,,,,，， (20) 336将(20)式右边分子分母同乘可得:16,,，(,，,) 322644__,,,,,,,,(，,3,3)(，)，128H, 6332(,，,)，128,, 3333443,,,,,,,,,,,,216(，)，(2，2，，)(，), 6332(,，,)，128,, 87625344352678,,,,,,,,,,,,,,,,，6，16，26，158，26，16，6， = 6542332456,2，12,,，30,,，168,,，30,,，12,,，2, 14 毕业论文 765243342567,,,,,,,,,,,,,,4，26，72，330，330，72，26，4- (21) 6542332456,2，12,,，30,,，168,,，30,,，12,,，2, ____ ,,,,H(,),H(,),根据(12)式=0，=0，以及(21)式的结果，有:,,,, 765243342567 [(8,，42,,，96,,，130,,，632,,，78,,，32,,，6,) 6542332456 ,(28,，156,,，360,,，1320,,，990,,，144,,，26,)] 6542332456 ，(2,，12,,，30,,，168,,，30,,，12,,，2,) 87625344352678 ,[(,，6,,，16,,，26,,，158,,，26,,，16,,，6,,，,) 765243342567 ,(4,，26,,，72,,，330,,，330,,，72,,，26,,，4,)] 54322345 (22) ，(12,，60,,，120,,，504,,，60,,，12,),0 765243342567 [(8,，42,,，96,,，130,,，632,,，78,,，32,,，6,) 6542332456 ,(28,，156,,，360,,，1320,,，990,,，144,,，26,)] 6542332456 ，(2,，12,,，30,,，168,,，30,,，12,,，2,) 87625344352678 ,[(,，6,,，16,,，26,,，158,,，26,,，16,,，6,,，,) 765243342567 ,(4,，26,,，72,,，330,,，330,,，72,,，26,,，4,)] 54322345 (23) ，(12,，60,,，120,,，504,,，60,,，12,),0 ,和,联立(22)、(23)可解得有用的，有: 15 毕业论文 ,,2.1832， (24) ,,1.1885 将(24)式的结果代入(20)式可解得: 222233,,,,，，,,,,,,,,,,,,，，，，，8165[]，,,，,,，,,3363353332516()4()1616()16()2()，，，，，,,,,,,,,,,,,,,,,，， H,，，18，,,3368()，,,,,，， 0.0221061274971，0.0141282750151,0.0482514988418,0.0367176901797, 0.0071553665572，0.005449817866 0.01206286971045,0.0014964375639,0.0038031242148，0.0057371390906， 0.0071553665572，0.005449817866 ,,2.876058145316 ,,2.876058 (25) 上面所求采用的是原子单位制，因此在国际单位制中，最后求得的，亦即氦原子HH 的基态能量为: 2eH,,2.876058 (26) a0 16 毕业论文 第四章 结果比较 4.1氦原子基态能量的计算值与实验值比较 2e[1]s由参考文献可知用实验方法得出氦原子基态能量为，而用变分法算出,2.904a0 2e来的结果由(26)式可知为。其相对误差为: E,H,,2.8760560a0 22eess,2.904,(,2.876058)aa00 (27) ，100%,0.962%2es,2.904a0 4.2一参变分法与二参变分法比较 2e[1]s由参考文献可知用一参变分法计算能量，准确到第一级近似的结果为，,2.85a0 2es而用实验方法得出氦原子基态能量为,2.904，可算出其相对误差为: a0 22eess,2.904,(,2.85)aa00 (28) ，100%,1.859%2es,2.904a0 从(27)式和(28)式可以看出，用二参变分法计算氦原子基态能量比用一参变分法计算氦原子基态能量又要精确很多。由此可知，求多粒子体系的基态能量时，变分法的参数的 17 毕业论文 多少对求解结果的影响也是很大的。 4.3变分法与微扰法比较 2e[1]s由参考文献可知用微扰法计算能量，准确到第一级近似的结果为，而用,2.75a0 2es实验方法得出氦原子基态能量为，可算出其相对误差为: ,2.904a0 22eess,2.904,(,2.75)aa00，100%,5.303% (29)2es,2.904a0 比较(27)式、(28)式和(29)式可以看出，用变分法计算氦原子基态能量比用微扰法计算氦原子基态能量要精确很多。由此可知，求多粒子体系的基态能量时，变分法有着微扰法无法比拟的优越性。 18 毕业论文 参考文献 [1] 周世勋.量子力学[M]. 北京:高等教育出版社,1979. [2] 余凤军.氦原子及类氦原子基态的二参数变分法研究[J],大学物理,2008,27(5) [3] 马二俊.类氦原子体系基态能量变分法的数值研究[J],大学物理,2003,23(6) [4] 陈小波.应用双参数法对氦原子基态能级的研究[J],太原师范学院学报, 2006,5(4) [5] 杨汉嵩,李元杰.氦原子组态能级的变分法计算[J].黄河科技大学学报.2007,9(4) [6]陈玉红,李延龙. He原子基态能量与波函数的变分计算[J],甘肃工业大学学报,2003,29(4) [7] 胡先权,许杰,马勇,殷霖.四参数法计算氦原子基态能级[J].云南大学学报(自然科学版),2005,27(5A) [8]李青仁.用变分法求解氦原子的基态能级[J].松辽学刊(自然科学版)，1998，(4) [9] 杨铜锁.氦原子及类氦离子基态能级与波函数研究[J].陕西师范大学学报(自然科学版)2002,30(2) [10]孟现柱.氦原子及类氦原子基态能量的经验公式[J].光谱实验室,2004,21(5) [11] 刘玉孝, 陈玉红,张丽杰. He原子非相对论基态能量的变分计算_英文_[J],原子与分子物理学报,2005，22(2) [12]C.Le Sech,G.Hadinger,M.Auber-Frécon. Variational calculations in a halfspace for the interaction of ground and excited state helium atom with its mirror image[J].ZEITSCHRIFT FüR PHYSIKD,1994. 19 毕业论文 致 谢 本人承蒙苏卡林教授的悉心指导，才能顺利完成此论文。老师严谨的治学态度，务实的工作作风，孜孜不倦的学习精神令我敬佩至深，受益非浅。苏院长从繁忙的工作中一次又一次抽出宝贵的时间来给我们的论文写作做精心的指导，不厌其烦地为我们解答各种问题，我内心对苏老师充满了感激。在此，我对他致以最诚挚的谢意。 同时，在本论文的写作过程中，吴琴琴等老师也给我提出了许多修改意见，给予了我极大的关心与帮助，在此，我也对他们表示深深的感谢。 其次我要感谢我的同学和朋友，他们给予了我无私的帮助和无穷的精神动力。在我遇到知识上的或技术上的难点时，他们总是能给我及时的援助，对他们的帮助我特别感谢。 最后，对关心、支持我的亲人和老师致以最衷心的感谢。 20