2013年全国中考题分类汇编：分式、一次函数、反比例函数、一元二次方程、三角形、四边形(培优)

八年级巩固练习 一、分式 1.若2a=3b=4c，且abc≠0，则 的值是（  ） A． 2 B． ﹣2 C． 3 D． ﹣3                   2.若关于x的分式方程 的解为正数，那么字母a的取值范围是　            　． 3.阅读下面材料，并解答问题． 材料：将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为﹣x2+1，可设﹣x4﹣x2+3=（﹣x2+1）（x2+a）+b 则﹣x4﹣x2+3=（﹣x2+1）（x2+a）+b=﹣x4﹣ax2+x2+a+b=﹣x4﹣（a﹣1）x2+（a+b） ∵对应任意x，上述等式均成立，∴ ，∴a=2，b=1 ∴ = =x2+2+ 这样，分式 被拆分成了一个整式x2+2与一个分式 的和．[w^ww#.~zzste&p.co*m] 解答： （1）将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．[来源@:zzstep.*%c&#om] （2）试说明 的最小值为8． 二、一次函数 均匀地向一个瓶子注水，最后把瓶子注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示，则这个瓶子的形状是下列的（  ） A． B． C． D．                   2.已知点O是坐标系 的原点，直线y＝－x＋m＋n与双曲线y＝ 交于两个不同的点A（m，n）(m≥2)和B（p，q）,直线y＝－x＋m＋n与y轴交于点C ，求△OBC的面积S的取值范围． 3.如图，直线y=﹣ x+2 分别与x、y轴交于点B、C，点A（﹣2，0），P是直线BC上的动点． （1）求∠ABC的大小； （2）求点P的坐标，使∠APO=30°； （3）在坐标平面内，平移直线BC，试探索：当BC在不同位置时，使∠APO=30°的点P的个数是否保持不变？若不变，指出点P的个数有几个？若改变，指出点P的个数情况，并简要说明理由． 4.周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发1小 时后到达南亚所（景点），游玩一段时间后按原速前往湖光岩．小明离家１小时50分钟，妈妈驾车沿相同路线前往湖光岩，如图是他们离家的路程 与小明离家时间 的函数图象． （１）求小明骑车的速度和在南亚所游玩的时间； （２）若妈妈在出发后 分钟时，刚好在湖光岩门口追上小明，求妈妈驾车的速度及 所在直线的函数解析式． 5.在一条笔直的公路上有A、B两地，甲骑自行车从A地到B地；乙骑自行车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回，如图是甲、乙两人离B地的距离y（km）与行驶时x（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题： （1）写出A、B两地直接的距离； （2）求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义； （3）若两人之间保持的距离不超过3km时，能够用无线对讲机保持联系，请直接写出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x的取值范围． 三、反比例函数 1.下列图形中，阴影部分面积最大的是（  ） A． B． C． D．                   2.如图，直线y= 与双曲线y= （k＞0，x＞0）交于点A，将直线y= 向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线y= （k＞0，x＞0）交于点B，若OA=3BC，则k的值为（  ） A． 3 B． 6 C． D．                   3. 如图，点A（a，1）、B（﹣1，b）都在双曲线y=﹣ 上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是（  ） A． y=x B． y=x+1 C． y=x+2 D． y=x+3                   4.函数y=x的图象与函数y= 的图象在第一象限内交于点B，点C是函数y= 在第一象限图象上的一个动点，当△OBC的面积为3时，点C的横坐标是            　． 5.直线 与双曲线 相交于 ， 两点，则 的值为          . 6.如图，直线l: y=x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C与原点O关于直线l 对称反比例函数y= 的图象经过点C，点P在反比例函数图象上且位于C点左侧过点P作x轴、y轴的垂线分别交直线l于M、N两点． (l)求反比例函数的解析式； (2)求AN×BM的值． 7.如图7-1，直线AB过点A（ ，0），B（0， ），且 （其中 >0， >0）。 （1） 为何值时，△OAB面积最大？最大值是多少？ （2）如图7-2，在（1）的条件下，函数 的图像与直线AB相交于C、D两点，若 ，求 的值。 （3）在（2）的条件下，将△OCD以每秒1个单位的速度沿 轴的正方向平移，如图7-3，设它与△OAB的重叠部分面积为S，请求出S与运动时间（秒）的函数关系式（0<<10）。 四、三角形与勾股定理 1.如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形，则展开后的等腰三角形周长是（  ） A． 12 B． 18 C． 2+ D． 2+2                   2.如图，△ABC和△FPQ均是等边三角形，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，点P在AB边上，连接EF、QE．若AB=6，PB=1，则QE=　    　． 3.如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2013个等腰直角三角形的斜边长是　    　． 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E． （1）求证：∠CBP=∠ABP； （2）求证：AE=CP； （3）当 ，BP′=5 时，求线段AB的长． [ 5.在 中， ， ， ，设 为最长边，当 时， 是直角三角形；当 时，利用代数式 和 的大小关系，探究 的形状（按角分类）. （1）当 三边分别为6、8、9时， 为        三角形；当 三边分别为6、8、11时， 为        三角形. （2）猜想，当     时， 为锐角三 角形；当     时， 为钝角三角形. （3）判断当 ， 时， 的形状，并求出对应的 的取值范围. 6.如题22图，矩形ABCD中,以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF,使得另一边EF过原矩形的顶点C. (1)设Rt△CBD的面积为S1, Rt△BFC的面积为S2, Rt△DCE的面积为S3 , 则S1______ S2+ S3(用“>”、“=”、“<”填空)； (2)写出题22图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明. 7.有一副直角三角板,在三角板ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=6,在三角板DEF中,∠FDE=90°,DF=4,DE= .将这副直角三角板按如题25图(1)所示位置摆放,点B与点F重合,直角边BA与FD在同一条直线上.现固定三角板ABC,将三角板DEF沿射线BA方向平行移动,当点F运动到点A时停止运动. (1)如题25图(2),当三角板DEF运动到点D与点A重合时,设EF与BC交于点M,则∠EMC=______度； (2)如题25图（3），在三角板DEF运动过程中,当EF经过点C时,求FC的长; (3)在三角板DEF运动过程中,设BF= ,两块三角板重叠部分面积为 ,求 与 的函数解析式,并求出对应的 取值范围. 8.用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题： 探究一：将以上两个三角形如图③拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P． （1）当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长； （2）当点P在运动的过程中出现PA=FC时，求∠PAB的度数． 探究二：如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN．在旋转△DEF的过程中，△AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由． 9.如图，在平面直角坐标系中，有一条直线 ： 与 轴、 轴分别交于点 、 ，一个高为3的等边三角形 ，边 在 轴上，将此三角形沿着 轴的正方向平移. （1）在平移过程中，得到 ，此时顶点 恰落在直 线 上，写出 点的坐标          ； （2）继续向右平移，得到 ，此时它的外心 恰好落在直线 上，求 点的坐标； （3）在直线 上是否存在这样的点，与（2）中的 、 、 任意两点能同时构成三个等腰三角形，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由. 10.一透明的敞口正方体容器ABCD -A′B′C′D′ 装有一些 液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α （∠CBE = α，如图17-1所示）． 探究 如图17-1，液面刚好过棱CD，并与棱BB′ 交于点Q，此时液体的形状 为直三棱柱，其三视图及尺寸如 图17-2所示．解决问题： （1）CQ与BE的位置关系是___________，BQ的长是____________dm； （2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液 = 底面积SBCQ×高AB） （3）求α的度数.(注：sin49°＝cos41°＝ ，tan37°＝ ) 拓展 在图17-1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图17-3或图17-4是其正面示意图.若液面与棱C′C或CB交于点P，设PC = x，BQ = y.分别就图17-3和图17-4求y与x的函数关系式，并写出相应的α的范围. 延伸 在图17-4的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板（厚度忽略不计），得到图17-5，隔板高NM = 1 dm，BM = CM，NM⊥BC.继续向右缓慢旋转，当α = 60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4 dm3. 五、四边形 1. 如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N．有下列四个结论：①DF=CF；②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S△BEF=3S△DEF．其中，将正确结论的序号全部选对的是（  ） A． ①②③ B． ①②④ C． ②③④ D． ①②③④                   2. 如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下： 甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形． 乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形． 根据两人的作法可判断（  ） A． 甲正确，乙错误 B． 乙正确，甲错误 C． 甲、乙均正确 D． 甲、乙均错误                   3.如图，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE = EF = FB = 5，DE = 12，动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止.设运动时间为t秒，y = S△EPF，则y与t的函数图象大致是（      ） 4. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是　  　． 5.如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P是CD上一动点，分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB，设正方形对角线的交点分别为O1、O2，当点P从点C运动到点D时，线段O1O2中点G的运动路径的长是      ． 6.如图，正方形ABCD的边长为1，顺次连接正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形A1B1C1D1，由顺次连接正方形A1B1C1D1四边的中点得到第二个正方形A2B2C2D2…，以此类推，则第六个正方形A6B6C6D6周长是　_________　． 7.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF． （1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由． 8.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，点A关于对角线BD的对称点F刚好落在腰DC上，连接AF交BD于点E，AF的延长线与BC的延长线交于点G，M，N分别是BG，DF的中点． （1）求证：四边形EMCN是矩形； （2）若AD=2，S梯形ABCD= ，求矩形EMCN的长和宽． 9.正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F． （1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明） （2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明． 10.在矩形ABCD中，点E在BC边上，过E作EF⊥AC于F，G为线段AE的中点，连接BF、FG、GB．设 =k． （1）证明：△BGF是等腰三角形； （2）当k为何值时，△BGF是等边三角形？ （3）我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．事实上，在一个三角形中，较大的边所对的角也较大；反之也成立． 利用上述结论，探究：当△BGF分别为锐角、直角、钝角三角形时，k的取值范围． 11.我们把由不平行于底的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”．如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”．其中∠B=∠C． （1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）； （2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD中∠B=∠C．E为边BC上一点，若AB∥DE，AE∥DC，求证： = ； （3）在由不平行于BC的直线AD截△PBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E．若EB=EC，请问当点E在四边形ABCD内部时（即图3所示情形），四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何？写出你的结论．（不必说明理由） 12.阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为 的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积。 小明发现：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2） 请回答： （1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则这个新的正方形的边长为__________； （2）求正方形MNPQ的面积。 参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ，若 ，则AD的长为__________。 13.将矩形 置于平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 在 上，将矩形 沿 折叠压平，使点 落在坐标平面内，设点 的对应点为点 . （1）当 时，点 的坐标为        ，点 的坐标为      ； （2）随着 的变化，试探索：点 能否恰好落在 轴上？若能，请求出 的值；若不能，请说明理由. （3）如图，若点 的纵坐标为 ，抛物线 （ 且 为常数）的顶点落在 的内部，求 的取值范围. 14.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA=2，0C=6，在OC上取点D将△AOD沿AD翻折，使O点落在AB边上的E点处，将一个足够大的直角三角板的顶点P从D点出发沿线段DA→AB移动，且一直角边始终经过点D，另一直角边所在直线与直线DE，BC分别交于点M，N． （1）填空：D点坐标是（　 　，　 　），E点坐标是（  ，　 　）； （2）如图1，当点P在线段DA上移动时，是否存在这样的点M，使△CMN为等腰三角形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，当点P在线段AB上移动时，设P点坐标为（x，2），记△DBN的面积为S，请直接写出S与x之间的函数关系式，并求出S随x增大而减小时所对应的自变量x的取值范围． 15.（1）如图（1）点P是正方形ABCD的边CD上一点（点P与点C，D不重合），点E在BC的延长线上，且CE=CP，连接BP，DE．求证：△BCP≌△DCE； （2）直线EP交AD于F，连接BF，FC．点G是FC与BP的交点． ①若CD=2PC时，求证：BP⊥CF； ②若CD=n?PC（n是大于1的实数）时，记△BPF的面积为S1，△DPE的面积为S2．求证：S1=（n+1）S2． 六、一元二次方程 1.已知一元二次方程 有一个根为2，则另 一根为（  ）[来源:Z_xx_k.Com] A.2      B.3     C.4        D.8 2.已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为（    ） A．-1    B. 9    C. 23    D. 27 3.下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是（    ） A.         B.         C.         D. 4.关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是（  ） A． 2 B． 1 C． 0 D． ﹣1                   5.已知x－ ＝3，则4－ x2＋ x的值为（    ） A．1                B．                 C．             D． 6.我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2=﹣1（即方程x2=﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2?i=（﹣1）?i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1=i4n?i=（i4）n?i=i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1．那么i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013的值为（  ） A． 0 B． 1 C． ﹣1 D． i                   7.若关于x的一元二次方程kx2+4x+3=0有实根，则k的非负整数值是　    　． 8.若两个不等实数m、n满足条件：m2﹣2m﹣1=0，n2﹣2n﹣1=0，则m2+n2的值是　    　． 9.已知x=2m+n+2和x=m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，且m﹣n+2≠0，则当x=3（m+n+1）时，多项式x2+4x+6的值等于　  　． 10.无论x取任何实数，代数式 都有意义，则m的取值范围为　    　． 11.设x1，x2是方程x2﹣x﹣2013=0的两实数根，则 =　      　． 12.解方程： 13.已知：关于x的方程kx2﹣（3k﹣1）x+2（k﹣1）=0 （1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根； （2）若此方程有两个实数根x1，x2，且|x1﹣x2|=2，求k的值． 14.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）是否存在实数k使得 ≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 15.若x1，x2是关于x的方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根，且 ＋ ＝2 （k是整数），则称方程x2＋bx＋c＝0为“偶系二次方程”.如方程x2－6x－27＝0，x2－2x－8＝0，x2＋3x－ ＝0， x2＋6x－27＝0， x2＋4x＋4＝0都是“偶系二次方程”. （1）判断方程x2＋x－12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由； （2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2＋bx＋c＝0是“偶系二次方程”，并说明理由. 16.已知关于x的二次函数y=x2﹣2mx+m2+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2）；（x1＜x2） （1）当k=1，m=0，1时，求AB的长； （2）当k=1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想． （3）当m=0，无论k为何值时，猜想△AOB的形状．证明你的猜想． （平面内两点间的距离公式 ）． 17.已知：一元二次方程x2+kx+k﹣=0． （1）求证：不论k为何实数时，此方程总有两个实数根； （2）设k＜0，当二次函数y=x2+kx+k﹣的图象与x轴的两个交点A、B间的距离为4时，求此二次函数的解析式； （3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为C，过y轴上一点M（0，m）作y轴的垂线l，当m为何值时，直线l与△ABC的外接圆有公共点？