一元三次方程求根公式[资料]
浅谈一元三次方程求根公式
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邹琼
机械设计制造及其自动化2009-4班，学号:2009302216
摘要:使方程两边左右相等的未知数叫做方程的解.一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。最具代表性的解法有两种:卡尔丹公式和盛金公式。
一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的,用类似解一元二次方程的求
32axbxcxd，，，,0根公式的配方法只能将型如的
标准
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型一元三次方程形式化为3xpxq，，,0的特殊型。
一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到,即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来
333xAB,，的形如 的一元三次方程的求根公式的形式应该为型,即为两xpxq，，,0
个开立方之和。一元三次方程的求根公式主要有两种，即卡尔丹公式和盛金公式。其中卡尔丹公式是历史上首个完整解决一元三次方程的求根问题的重要公式，它所具有的历史意义是重大的，是不可磨灭的。
下面就首先简略介绍一下卡尔丹公式的内容及其推导过程。一元三次方程32axbxcxd，，，,0的求根公式是1545年由意大利学者卡当发表在《关于代数的大法》一书中，人们就把它叫做“卡当公式(有的数学资料叫“卡尔丹公式”)。
3方程，(p，q?R) xpxq，，,0
23判别式。 ,,，(/2)(/3)qp
33; xAB,，1
233; xAB,，,,2
233。 xAB,，,,3
这就是著名的卡尔丹公式。
卡尔丹公式的推导如下: 第一步:
32aaxbxcxd，，，,0 为了方便，约去得到
32xkxmxn，，，,0
xyk,,/3令 ，
32代入方程， (/3)(/3)(/3)0ykkykmykn,，,，,，,
23中的项系数是-k ， y(/3)yk,
22中的项系数是k ， ykyk(/3),
2所以相加后抵消 ， y
3得到 ypyq，，,0
32其中 ， pkm,,，
3。 qkkmn,,，2(/3)/3
第二步:
3方程的三个根为: xpxq，，,0
232333xqqpqqp,,，，，,,，/2(/2)(/3)/2(/2)(/3); 1
2322333xqqpqqp,,，，，,,，,,/2(/2)(/3)/2(/2)(/3); 2
2232333xqqpqqp,,，，，,,，,,/2(/2)(/3)/2(/2)(/3) ; 3
其中。 ,,,，(13)/2i
3x,11、方程的解为，， ; xi,,，,(13)/2,xi,,,,(13)/2,x,1231
32333xA,2、方程的解为，，， xA,xA,,xA,,123
32axbxcxd，，，,0(0)a,3、一般三次方程,两边同时除以,可变成a32xsxtxu，，，,0的形式。
3xys,,/3再令,代入可消去次高项，变成的形式。 xpxq，，,0
3设是方程的解，代入整理得: xpxq，，,0xuv,，
33?， ()(3)0uvuvpuvq，，，，，,
33uvp,,/3如果u和v满足,则?成立， uvq，,,
3323uv由一元二次方程韦达定理和是方程的两个根。 yqyp，,,(/3)0
23解之得，yqqp,,,，/2(/2)(/3)，
2323不妨设Aqqp,,，，/2(/2)(/3),Bqqp,,,，/2(/2)(/3)，
33uA,vB,则; ，
2333或者或者; A,uA,A,
2333或者或者 ， B,vB,B,
uvp,,/3但是考虑到，所以u、v只有三组解:
33，; uA,vB,11
233，; uA,,vB,,22
233，， uA,,vB,,33
最后:
3方程的三个根也出来了，即 xpxq，，,0
33; xuvAB,，,，111
233; xuvAB,，,，,,222
233。 xuvAB,，,，,,333
这就是卡尔丹公式的简单推导过程。由此我们可以看出这样的求根步骤是相当复杂的，而我们也不得不因此向发现这一方法的伟人致敬---很难想象他为此而付出了多少努力～
然而随着科学的进步，数学当然也要进步～因此新的一元三次方程的求根公式也应运而生了，即盛金公式。盛金公式相对于卡尔丹公式表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高;盛金判别法判别方程的解较直观。下面就简要介绍一下盛金公式。
盛金公式的内容:
32axbxcxd，，，,0(,,,,0)abcdRa,,且一元三次方程，。
22Abac,,3Ccbd,,3重根判别式:;;， Bbcad,,9
2,,,BAC4总判别式:。
当时，盛金公式?: AB,,0
xbaxcbxdc,,,,,,/(3),/,3/。 123
2,,,,BAC40当时，盛金公式?:
33; xbyya,,,,()/(3)112
3333xxbyyayyia,(2)/(6)3/(6),,，，,,， ，，231212
22其中。 yyAbaBBACi,3(4)/2,1,，,,,,,12
2,,,,BAC40当时，盛金公式?:
xbaKxxK,,，,,,/;/2， 123
A,0其中KBA,/，()。
2,,,,BAC40当时，盛金公式?:
， xbAa,,,(2cos(/3))/(3),1
， xxbAa,((cos(/3)3sin(/3)))/(3),,，,,,23
,13,,cosT(0,11)AT,,,,其中，，。 TAbaBA,,(23)/(2)
盛金公式的判别法:
? 当AB,,0时，方程有一个三重实根;
2,,,,BAC40? 当时，方程有一个实根和一对共轭虚根;
2,,,,BAC40? 当时，方程有三个实根，其中有一个两重根;
2,,,,BAC40?当时，方程有三个不相等的实根。
显然盛金公式与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高。虽然我们不能因此而忽略卡尔丹公式所具有的历史意义及其对数学的发展所做出的重大贡献，但是我想我们今后如果遇到一元三次方程我们应该会选择盛金公式而不
再是卡尔丹公式。当然现在解决一元三次方程的求根问题的方法有很多，我们就要灵活应用，具体问题具体对待。
由一元三次方程的求根公式问题我们可以知道，在数学上同一个问题往往会有多种解法，此时我们不仅要掌握它们更要学会如何利用它们更好的解决问题且能设法去追寻更简便的方法。我想说的是，由一元三次方程的求根公式变化我们应该知道，我们不仅仅要求自己学会已有的知识，我们更应该学会创新～这是学习数学，研究数学所必备的思想，更是数学的魅力所在———它既严肃却又不乏多姿～
参考文献
1(顾沛，数学文化[M]，高等教育出版社，2008
2(何艳平,李邦荣，高等函授学报(自然科学版)4(2000)，华中师范大学主办
3(李坤花;赵娜，数学学习与研究(教研版)0151.1，2009
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