含速率平方阻力项的一维相对论谐振子的Lagrange函数与守恒量

含速率平方阻力项的一维相对论谐振子的Lagrange函数与守恒量 含速率平方阻力项的一维相对论谐振子的 Lagrange函数与守恒量 第54卷第4期2005年4月 1000..3290/2005/54(04)/1457.03 物理 ACTAPHYSICASINICA , lf Vo1.54,No.4,April,2005 ?2005Chin.Phys.Soc. 含速率平方阻力项的一维相对论谐振子的 Lagrange函数与守恒量 楼智美 (绍兴文理学院物理系,绍兴312000) (2004年8月2日收到;2004年8月25日收到修改稿) 用Taylor级数展开的方法得到含速率平方阻力项的一维相对论谐振子的运动微 分方程.从守恒量的性质及运 动微分方程出发得到了系统的Lagrange函数和守恒量的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式. 关键词:相对论谐振子,Lagrange函数,守恒量 PACC:0320 1.引言 已知力学系统的1.agrange函数,可以研究系统 的对称性与守恒量J,系统的稳定性与周期性.因 此,力学系统的Lagrange函数在物理学的发展中起 到很重要的作用.保守的力学系统的Lagrange函数 易求,但非保守的力学系统的Lagrange函数却较难 求,从力学系统的运动微分方程出发求系统的 Lagrange函数或Hamilton函数是分析力学的一大任 务,已引起不少学者的重视.含速率平方阻力项 的一维相对论谐振子是一典型的力学系统,本文运 用Taylor级数展开的方法写出其运动微分方程,从 守恒量的性质及运动微分方程出发,得到了一维相 对论谐振子的Lagrange函数与守恒量的表达式. 2.一维相对论谐振子的运动微分方程 设一维相对论谐振子振动体的静质量为m.,弹 簧的劲度系数为k,振子处在某种介质中,所受阻力 与速率的平方成正比,则振子的运动微分方程为 号.对(1b)式进行Taylor级数展开,得 du(一 cc,.2千)(1一a2):g(,), 式中 23— 2C—2 (2) 3.一维相对论谐振子的Lagrange函数 与守恒量 设系统存在一守恒量,=,(,),则 31 5Sx+g)_0.+L'u' 设 苦l苦l ' 对于自治系统,由:0得 a' ,:一. 由(5)式得 (1a). .式中 (1b) 式中,cc,.2=为系统的经典固有角频率,为系统 mn 的阻尼系数.(1b)式中,>0时取负号,<0时取正 (3) (4) (5) = (6) G:. d 将(6)式代入(3)式得 +gG_0.(7) ,ll-_, c — l ,,?__ , ,, c蓦. 一十 20? , 一 ( == 一一 l458物理54卷 由(7),(4)式得 +下 a(g6): 0.(8)+?L 将(2)式代入(8)式得 G(,)=exp(a2oj~?2fix)?(9) 则系统的Lagrange函数为 = IdvIG(,v)dv+CI()+C2() = 1n()exp(022?2fix) +CI()+C2(),(10) 式中C.(),C:()是关于的任意函数,由于 Lagrange函数的选择不是唯一的,可令 C.()=0. 将(10)式代入Lagrange方程, [2】 [3】 一 d{ , a a a dt)一_o,,a』a一 可得 c:()=一cu~exp(a2cu2.2?2flx)d. 则系统的IJagraJ1ge函数为 = )exp(a2cu2?2) (11) 一 cu 2 0~exp(a?2)(12) 将(12)式代入(5)式得守恒量 ,:exp(a(u2.2. 3x)?? +I(uexp(a(u?2)dx.(13) 由(11)式可进一步求得系统的广义动量和Hamilton 函数. ZhaoYY,MeiFX1999SymmetryandInrar/antofMechan/ea/ 跏腓(Beijing:SciencePress)(inChinese)[赵跃宇,梅风翔 1999力学系统的对称性与不变量(北京:科学出版社)] ZhaoYY,MeiFX1993Adv.Mech.2,3360(inChinese)[赵跃 宇,梅风翔1993力学进展.73360] zIIangY,MeiFX2000ActaMath.Phys.2095(inChine~)[张 毅,梅风翔2000数学物理2095] [4]FangJH,ZhaoSQ2002Chin [5]WangSY,MeiFx2002Ch/n [6]LouZM2004ActaPAys.Sin Phys.11445 Phys.115 532046(inChinese)[楼智美 2004物理532046] [7]SantilliRM1978Foundat/onsofTheoret/ea/Mechan/csI(New York:Springer-Verlag) [8】 [9】 [10] [11] [12] GewK,MeiFX2001ActaArmamentarii22241[葛伟宽,梅风 翔2001兵工22241] I/apezG1996Ann.Phys.251363.372 LuukyM1979J.Phys.A:Math.Gen.12973 WillyS1981J.Phys.A:Math.Gen.142227 GoldsteinG1980C/a~/ca/朋ec,s(Reading:Addison—Wesley) 4期楼智美:含速率平方阻力项的一维相对论谐振子的Lagrange函数与守恒量 1459 Lagrangianfunctionandconservedquantityofone?dimensional relativisticharmonicoscillatorcontainingaquadratic velocitydragforceterm LouZhi—Mei (DepartmentofPh~ies,ShaoxingCollegeofAmandSciences,Shaoxing312000,Ch/na) (Received2August2004;revisedmanuscriptreceived25August2oo4) Abstract Inthispaper,thedifferentialkinematicequationofone— dimensionalrelativisticharmonicoscillatorcontainingaquadratic velocitydmgforcetermisobtmnedbyusingTaylorseriesexpansion. TheexpressionsofLagrangianfunctionandconsenred quantityareobtmnedbasedonthedifferentialkinematicequationandthecharacteristicofthe conservedquantity. Keywords:relativisticharmonicoscillator,Lagrangianfunction,conservedquantity PACC:0320